江苏省南通市海安市2022-2023学年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省南通市海安市2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 在同一平面直角坐标系内，将函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象的顶点坐标是()A. (2，4)B. (4，2)C. (2，1)D. (2，1)3. 已知二次函数，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 若与点关于原点对称，则的值是（ ）A. B. C.

2、 D. 5. 如图，九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点坐标为（ ）A. B. C. D. 7. 已知的半径为13cm，弦，则弦之间的距离为（ ）A. 7cmB. 17cmC. 5cm或12cmD. 7cm或17cm8. 已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A.

3、 B. C. D. 9. 如图，矩形中，点E在边上运动，连接，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接设，则y关于x的函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，的半径为，是的直径，点在上，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第1112题每小题3分，第1318题每小题4分，共30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 若2是关于的方程的一个根，则_12. 已知a，b是方程两个根，则的值为_13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系

4、式是小球运动的时间是_s时，小球最高14. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，如图所示，则能使成立的x的取值范围是_15. 如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点C落在边上，则的度数是_16. 如图，都是的半径，若，则的度数是_17. 京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为_分钟 18. 已知点在二次函数（a为的常数）的图象上，当时，n的取值范围是_三、解答题（本大题

5、共8小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 用适当的方法解下列方程：（1）；（2）20. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上（1）画出关于原点成中心对称的；（2）画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为_；（3）若P为y轴上一点，求的最小值21. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程已知：如图，是的直径求作：的内接等腰直角三角形作法：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；作射线交于点C；连接所以就是所求作的等腰直角三角形根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补

6、全图形（保留作图痕迹）；（2）证明是等腰直角三角形22. 已知关于x一元二次方程（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值，23. 如图，AB为O的直径，CD为弦，CDAB于点E，连接DO并延长交O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC（1）求证：ACDF；（2）若AB = 12，求AC和GD的长24. 海安宾馆有50个房间供游客居住当每个房间的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空着设房价为x元（1）求宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式；（2）若有游客居住时，宾馆需要对每个房间支出2

7、0元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润W最大？（利润营业额支出）25. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为E、F，点H在x轴正半轴上运动，连接，点C为的中点，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接（1）当点H在点E左侧时，判断的形状，并说明理由；当，时，求度数；（2）连接，当点H在x轴正半轴上运动时，请直接写出的最小值（用含m的式子表示）26. 已知关于x函数y，当时，函数y的最大值为P，最小值为Q，令函数，则称函数g为函数y的“关联函数”（1）若，求函数y的“关联函数”g的值；（2）若，当，时，求函数y的“关联函数”g的最小值；当函数y的“关联函数”g的值

8、为时，求t的值江苏省南通市海安市2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误故选：C【点睛】本题主要

9、考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心2. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象的顶点坐标是()A. (2，4)B. (4，2)C. (2，1)D. (2，1)【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质，先确定抛物线的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标，从而得到平移后抛物线的顶点坐

10、标【详解】解：函数的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位是点（2，1），即平移后抛物线的顶点坐标是（2，1）故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式3. 已知二次函数，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可【详解】解：图象的开口向上，对称轴为直线，当时，

11、y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故选：B【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键4. 若与点关于原点对称，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据“关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数”求出，代入即可求解【详解】解：与点关于原点对称，故选：A【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数”是解题关键5. 如图，九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈十尺），

12、一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程【详解】解：竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺图中直角三角形的斜边长尺根据勾股定理建立方程得：故选：D【点睛】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键6. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析

13、】建立平面直角坐标系，然后确定点A与对应点B的位置，再写出坐标即可【详解】解：如图，依题意，点A的对应点为，故选：B【点睛】此题考查了坐标与图形变化旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观7. 已知的半径为13cm，弦，则弦之间的距离为（ ）A. 7cmB. 17cmC. 5cm或12cmD. 7cm或17cm【答案】D【解析】【分析】过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案【详解】解：过点O作于点E，延长交于点F，连接，当在圆心同侧时，如图，当时在圆心两侧时，如图，故选：D【点睛】此题考查了垂径定理，勾

14、股定理，正确掌握圆的垂径定理是解题的关键，解题中注意分类讨论8. 已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到，然后即可得到x0的取值范围【详解】解：点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，该函数图象开口向下，即，故选：A【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答9. 如图，矩形中，点E在边上运动，连接，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接设，则y关于x的函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析

15、】勾股定理求出，作于M，证明，得到，由此求出，然后根据勾股定理即可得结论【详解】解：四边形是矩形，作于M，又，在中，图象对称轴为y轴，开口向上，当点E与点C重合时，y关于x的函数图象大致为A，故选：A【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题10. 如图，的半径为，是的直径，点在上，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用

16、等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值。【详解】解：如图，连接，点是的中点，点在以为直径的圆上，设为连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，作于，于，是的中点，最小值为故选D【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及解直角三角形，解题关键是确定点在以为直径的圆上。二、填空题（本大题共8小题，第1112题每小题3分，第1318题每小题4分，共30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 若2是关于的方程的一个根，则_【答案】4【解析】【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得【详解】解

17、：由题意，将代入方程得：，解得，故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程的根，掌握理解一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键12. 已知a，b是方程的两个根，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系解答即可【详解】解：a，b是方程的两个根，故答案：【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是小球运动的时间是_s时，小球最高【答案】3【解析】【分析】先将二次函数一般

18、式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解【详解】解： ，当时，有最大值，最大值为45故答案为：3【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键14. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，如图所示，则能使成立的x的取值范围是_【答案】【解析】【分析】即为的图象在图象的下方，根据图象直接解答即可【详解】解：二次函数与一次函数的图象交于点，由图象可知，当时，故答案为：【点睛】此题考查了利用图象确定不等式的解集，正确理解函数图象及与图象的关系是解题的关键15. 如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点C落在边上，则的度数是_【答案】#度【解析】【分析】由旋转

19、性质得，根据等边对等角求出的度数，以及，再根据三角形外角的性质求出的度数【详解】解：由旋转得，故答案为：【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形外角性质，等边对等角求角度，熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键16. 如图，都是的半径，若，则的度数是_【答案】#度【解析】【分析】先利用同弧关系求出，根据，求出的度数，再利用同弧关系求出的度数即可【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了圆周角与圆心角的关系利用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，熟练掌握此关系是解题的关键17. 京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处如图，如果该摩天轮的

20、直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为_分钟 【答案】12【解析】【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可【详解】解：如下图所示， 根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，CE=ED-CD=34-12=22，OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sinOFE=，OFE

21、=30，FOE=60，FOB=120，圆转动的速度为， 最佳观赏时长为=12（分钟），故答案为：12【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数18. 已知点在二次函数（a为的常数）的图象上，当时，n的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先将抛物线化为顶点式，确定抛物线开口方向和对称轴，再根据，结合二次函数的性质即可得答案【详解】解：，抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，,又抛物线开口向上，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，即：故答案为：【点睛】本题考出来二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数性质是解题关键三、解答题

22、（本大题共8小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 用适当的方法解下列方程：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可【小问1详解】解：或，【小问2详解】解：，【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键20. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上（1）画出关于原点成中心对称的；（2）画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为_；（3）若P

23、为y轴上一点，求的最小值【答案】（1）见解析 （2）图见解析， （3）见解析，的最小值为【解析】【分析】（1）根据中心对称确定点，顺次连线即可；（2）根据旋转的性质得到点，连线即可得到及的坐标；（3）取点C关于y轴的对称点，连接交y轴一点即为点P，此时的值最小，利用勾股定理计算即可【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】如图，即为所求，；故答案为：；【小问3详解】如图，点P即为所求，此时，即的最小值为，的最小值为【点睛】此题考查了作图旋转变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短路径问题21. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺

24、规作图过程已知：如图，是的直径求作：的内接等腰直角三角形作法：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；作射线交于点C；连接所以就是所求作的等腰直角三角形根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）证明是等腰直角三角形【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）利用基本作图得到垂直平分，所以，再根据圆周角定理得到，于是可判断是等腰直角三角形小问1详解】解：如图，即所求；【小问2详解】证明：由作法得垂直平分，为直径，是等腰直角三角形【点睛】本题考查了作图:复杂作图，解决此类题目的

25、关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了三角形的外接圆和等腰直角三角形22. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值，【答案】（1）证明见解析 （2）k的值为或【解析】【分析】（1）先计算判别式的值得到，然后根据非负数的性质得到，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求得的解为，然后根据整数的整除性可确定整数的值【小问1详解】证明： 不论k为何值，该方程总有两个实数根【小问2详解】解：原方程的两根为，即， 方程的根为整数，k为整数，k的值为或【点睛

26、】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根23. 如图，AB为O的直径，CD为弦，CDAB于点E，连接DO并延长交O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC（1）求证：ACDF；（2）若AB = 12，求AC和GD的长【答案】（1）见解析 （2）AC =6，【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到C=F，由GA=GC推出CAF=C，得到CAF=F，即可得到结论ACDF （2）连接AD，利用ACDF推出C=1，根据圆周角定理得到，进而证得AOD是等边三角形，得到利用垂径定理求出AC=AD=6，利

27、用三角函数求出AG【小问1详解】证明： C，F都在O上， C=F GA=GC， CAF=C CAF=F ACDF【小问2详解】解：连接AD ACDF， C=1， ABCD于E， BED=90由，得1=30，2=60 OA=OD， AOD是等边三角形直径ABCD于E， AC=AD=6 AOD等边三角形， ADO=60，1=30 3=AOD-1=30 DF是O的直径， FAD=90 在RtGAD中，【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键24. 海安宾馆有50个房间供游客居住当每个房间的定价为180元时，房

28、间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空着设房价为x元（1）求宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式；（2）若有游客居住时，宾馆需要对每个房间支出20元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润W最大？（利润营业额支出）【答案】（1） （2）房价定为350元时，宾馆利润W最大【解析】【分析】（1）根据营业额=房价房间数列出函数解析式即可；（2）根据利润=营业额支出列出函数解析式，再由函数的性质求最值即可【小问1详解】解：由题意得：，宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式为；【小问2详解】解：，当时，W最大，最大值为10890，答：房价定为350元时，宾馆利润W最大【点睛】此题考查

29、了二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型25. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为E、F，点H在x轴正半轴上运动，连接，点C为的中点，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接（1）当点H在点E左侧时，判断的形状，并说明理由；当，时，求的度数；（2）连接，当点H在x轴正半轴上运动时，请直接写出的最小值（用含m的式子表示）【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析； （2）【解析】【分析】（1）过C作于M，交干N，证明，可得，进而可证，由，即可得，是等腰三角形；当，时，过C作于S，交于R，过B作，交延长线于K

30、，过B作于T，可得，证明，即得，故，从而是等腰直角三角形，的度数为45；（2）设，过C作于P，交于G，过B作，交延长线于Q，过B作于W，由，C是的中点，得，同（1）可证，即得的最小值【小问1详解】是等腰三角形，理由如下：过C作于M，交干N，如图，轴，轴，C为的中点，四边形是矩形，是等腰三角形；当，时，过C作于S，交于R，过B作，交延长线于K，过B作于T，如图，C为的中点，将线段绕点C顺时针旋转得到，是等腰直角三角形，即的度数为；【小问2详解】设，过C作于P，交于G，过B作，交延长线于Q，过B作于W，如图，C为的中点，同（1）可证，的最小值为，的最小值为【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角

31、形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形26. 已知关于x的函数y，当时，函数y的最大值为P，最小值为Q，令函数，则称函数g为函数y的“关联函数”（1）若，求函数y的“关联函数”g的值；（2）若，当，时，求函数y的“关联函数”g的最小值；当函数y的“关联函数”g的值为时，求t的值【答案】（1） （2）；或【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质分别求出最大值P，最小值Q，即可得到g的值；（2）当时，求出，得到函数的增减性：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，由，得到，即可得出y最小值与最大值，代入公式计算即可；分三种情况：当时，当时，当时，分别求出P、Q的值，即可求出g【小问1详解】解：时，当时，y有最小值；当时，y有最大值，；【小问2详解】解：当时，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，时，y有最小值，时，y有最大值，故当时，g的最小值为；，对称轴为直线，当时，即，y的最小值，y的最大值，解得（舍去）；当时，y的最小值，y的最大值，解得（舍去）；当时，即，y的最小值，若，则，解得，y的最大值，解得；若，则，解得，y的最大值，解得，综上，或【点睛】此题考查了一次函数的性质、二次函数的性质，二次函数的最大值与最小值，正确分情况求出不同位置的最值是解题的关键