浙江省宁波市江北区2022-2023学年九年级上期中数学试卷(含答案解析)
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1、宁波市江北区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题(每小题 4 分, 共 40 分)1. 若,则的值是( )A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标()A. (1,3)B. ()C. ()D. ()3. 已知在Rt 中, , 则Rt 的外接圆的半径为()A. 4B. 2.4C. 5 D. 2.54. 若将抛物线向上平移个单位,所得抛物线的解析式为( )A. B. C. D. 5. 如图, 已知的圆心角, 则圆周角的度数等于()A B. C. D. 6. 如图,D,E,F分别是,的中点,则与的相似比是()A. B. C. D. 7. 下列结论正确的是()A. 所有直角三角形都
2、相似B. 平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧C. 同弧所对的圆周角相等D. 当时, 二次函数的图象与坐标轴只有一个交点8. 如图,为正方形,图1是以为直径画半圆,阴影部分面积记为,图2是以为圆心,长为半径画弧,阴影部分面积记,则()A. B. C. D. 无法判断9. 已知点是边长为4的正方形内一点, 且, 垂足是点, 若在射线上找一点, 使以点为顶点的三角形与相似, 则为()A. 3B. C. 3 或 D. 以上都错10. 如图, 和是等腰直角三角形,的顶点A在的斜边上,若,连接交于点,则下列说法正确的个数为(); ;图中有4对相似三角形; A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4 个二、填
3、空题 (每题 5 分, 共 30 分)11. 已知线段, 其中为的比例中项, , 则_12. 若点抛物线上, 则_13. 抛物线yx24x+与x轴的一个交点的坐标为(1,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_14. 如图, 是上三点, 若, 则为_15. 如图, 是半圆直径, 半径于点平分交弧于点, 连接 , 给出以下四个结论: (1); (2) (3)(4) 其中正确结论的序号是_16. 如图, 抛物线与轴交于点, 顶点坐标为, 与轴的交点在之间 (包含端点), 则的取值范围为_三、解答题(第17,19,20,21题各8分,第18题10分,第22,23题12分,第24题14分,共80分
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且ODBC,OD与AC交于点E(1)若B=70,求CAD的度数;(2)若AB=4,AC=3,求DE的长18. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字3、1、0、2的四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次实验先搅拌均匀(1)从中任取一球,求抽取的数字为正数的概率;(2)从中任取一球,将球上的数字记为a,求关于x的一元二次方程ax22ax+a+30有实数根的概率;(3)从中任取一球,将球上数字作为点的横坐标,记为x(不放回);再任取一球,将球上的数字作为点的纵坐标,记为y,试用画树状图(或列表法
5、)表示出点(x,y)所有可能出现的结果,并求点(x,y)落在第二象限内的概率19. 已知交于点(1)试说明(2)若, 求的长20. 如图,为O的直径,交于,(1)求证:(2)求AB长21. 如图,已知AB是O的直径,弦CDAB,垂足为E,AOC=60,OC=2(1)求OE和CD的长;(2)求图中阴影部队的面积22. 某汽车城销售某种型号的汽车, 每辆进货价为25万元, 市场调研表明: 当销售价为29 万元时, 平均每周能售出8辆, 而当销售价每降低万元时, 平均每周能多售出4辆 如 果设每辆汽车降价万元, 每辆汽车的销售利润为万元(销售利润 销售价进货价)(1)请写出关于的函数解析式_;(2)
6、假设这种汽车平均每周的销售利润为万元,写出与之间的函数关系式;(3)当每辆汽车定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大? 最大利润是多少?23. 如图,抛物线与轴交于两点(在的左侧),与轴交于点, 点与点关于抛物线的对称轴对称.(1)求抛物线的解析式及点的坐标:(2)点是抛物线对称轴上的一动点,当的周长最小时,求出点的坐标;(3)点在轴上,且,请直接写出点的坐标.24. 定义: 若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形, 则称这个四边形 为 “友好四边形” 我们熟知的平行四边形就是 “友好四边形” (1)如图1, 在正方形网格中有一个Rt , 请你在网格中找格点, 使得四边形是被分
7、割成的“友好四边形” (只要画出点的一种位置)(2)如图2, 平分, 四边形是被分割成的 “友好四边形, 求长;(3)如图3, 圆内接四边形中, , 点是的中点, 连接交 于点, 连接求证: 四边形是“友好四边形” ;若的面积为, 求线段的长宁波市江北区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题(每小题 4 分, 共 40 分)1. 若,则的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设,然后用k表示a和b,进而求得的值【详解】解:设,则有,故选:A【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单,解题的关键是利用设k法,用k表示a和b即可2. 抛物线的顶点坐标()A. (1
8、,3)B. ()C. ()D. ()【答案】C【解析】【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标【详解】解:由,根据,顶点坐标是,可知顶点坐标为故选:C【点睛】本题考查二次函数顶点式,顶点坐标是,对称轴是,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3. 已知在Rt 中, , 则Rt 的外接圆的半径为()A. 4B. 2.4C. 5 D. 2.5【答案】D【解析】【分析】根据三角形外心的性质可知,直角三角形的外心为斜边中点,斜边为直径,先求斜边长,再求半径【详解】在中,根据勾股定理得,直角三角形的外心为斜边中点,的外接圆的半径为2.5,故选:D【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质,勾股定理的运用
9、,关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径4. 若将抛物线向上平移个单位,所得抛物线的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可【详解】由“上加下减”的原则可知,将二次函数y2x2向上平移3个单位可得到函数y2x23,故选A【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键5. 如图, 已知的圆心角, 则圆周角的度数等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆心角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得圆周角
10、的度数【详解】的圆心角,故选:D【点睛】本题考查了圆周角定理,注意掌握数形结合的应用是解题的关键6. 如图,D,E,F分别是,的中点,则与的相似比是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据三角形中位线的性质,可得,再根据相似三角形的性质,即可求得【详解】解:D,E分别是,的中点,与的相似比是故选:A【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,相似三角形的性质,熟练掌握和运用三角形中位线的性质是解决本题的关键7. 下列结论正确的是()A. 所有直角三角形都相似B. 平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧C. 同弧所对的圆周角相等D. 当时, 二次函数的图象与坐标轴只有一个交点【答案】
11、C【解析】【分析】举反例:等腰直角三角形与一般的直角三角形对A选项进行判断;当弦是直径时,结论不成立, B选项结论错误;同弧所对的圆周角相等说法正确,故C正确;当时,二次函数的图象与x轴有一个交点,从而可判断D项错误【详解】解 A、不是所有的直角三角形都相似,如等腰直角三角形与一般的直角三角形,此选项错误;B、平分弦(弦不是直径)的直径平分弦所对的两条弧,故本选项错误;C、同弧所对的圆周角相等,此选项正确;D、当时, 二次函数的图象与x轴只有一个交点,此选项错误;故选C【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定定理等知识,解答本题的关键是熟练掌握课本中各个
12、定理8. 如图,为正方形,图1是以为直径画半圆,阴影部分面积记为,图2是以为圆心,长为半径画弧,阴影部分面积记,则()A. B. C. D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】先设出正方形的边长,再根据勾股定理求出对角线AB的长,根据大减小求出、,最后比较大小即可.【详解】设正方形的边长为a,则,由题意可知,故.故选:B.【点睛】本题考查扇形面积的计算,解决此题的关键是掌握扇形面积的计算公式以及组合图形面积的计算方法.9. 已知点是边长为4的正方形内一点, 且, 垂足是点, 若在射线上找一点, 使以点为顶点的三角形与相似, 则为()A. 3B. C. 3 或 D. 以上都错【答案】C【解析】【
13、分析】由于,同时减去后可得到,若以点B,M,C为顶点的三角形与相似,那么必有或,可据此求得BM的值【详解】四边形ABCD正方形,又,若以点B,M,C为顶点的三角形与相似,则:如图1中,即,解得,如图2中,即,解得,综上所述,满足条件的BM的值为3或,故选:C【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,应注意相似三角形的对应顶点不明确时,要分类讨论,不用漏解10. 如图, 和是等腰直角三角形,的顶点A在的斜边上,若,连接交于点,则下列说法正确的个数为(); ;图中有4对相似三角形; A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4 个【答案】B【解析】【分析】连接,根据证明可得,由勾股定理得
14、,从而可得,进一步可得结论即可判断;由可得,从而可判断;根据相似三角形的判定可判断;证明,由得,即可判断【详解】解: 如图,连接,和都是等腰直角三角形, , , ,在中,又,又, ,故正确;由知,故正确;,同理可得,故错误;由知, 由知,要证,即证,故,故错误;综上正确,故选:B【点睛】此是主要考查了三角形全等的判定与性质,相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,熟练掌握相关的判定与性质是解答此题的关键二、填空题 (每题 5 分, 共 30 分)11. 已知线段, 其中为的比例中项, , 则_【答案】3【解析】【分析】根据比例中项的定义可求得的值【详解】是、的比例中项,或(舍去),故答案为:3
15、【点睛】本题主要考查比例中项的定义,掌握为、的比例中项则有是解题的关键12. 若点在抛物线上, 则_【答案】【解析】【分析】将代入即可求解【详解】当时,即,故答案为:【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,代入计算即可13. 抛物线yx24x+与x轴的一个交点的坐标为(1,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_【答案】(3,0)【解析】【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值,再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标【详解】把点(1,0)代入抛物线y=x2-4x+中,得m=6,所以,原方程为y=x2-4x+3,令y=0,解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3
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