江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一般形式是（ ）A. B. C. D. 3. 方程x22x0的根的情况是（）A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无实数根4. 若是方程的解，则下列各式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定6. 的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（）A. 1B.

2、 2C. 3D. 67. 如图，C15，且，则E的度数为（）A. 30B. 35C. 40D. 458. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）A. 1米B. 米C. 2米D. 米二、填空题（本大题共10小题。每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为_10. 定义一种运算“”，其规则为，则方

3、程解为 _11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则该方程的另一个根为 _12. 若m是方程x2+x-10的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为_13. 已知圆锥侧面展开的扇形面积是，圆心角是，则该圆锥的母线长是 _14. 在中，过点A画直线，与以点C为圆心，长为半径的圆交于点P，则线段的长为 _15. 如图，中，以A为圆心长为半径作圆A，延长交圆A于点D，则长为 _16. 工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为_cm17. 根据下列表格的对应值：x0.590.600.610.620.630.00440.0269判

4、断方程一个解x的取值范围为 _18. 如图，是的直径，点是半圆的中点，连接，点是劣弧上一点，连接，若，cm，则_cm三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解方程：（1）；（2）；（3）；（4）20. 已知关于x的方程（1）若该方程的两个解为、，且，求此时该方程的解；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根21. 如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（1）请画出该平面直角坐标系，写出该圆弧所在圆圆心P的坐标 ；（2）求过点B且与圆P相切的直线函数表达式22. 如图，是的

5、内接三角形，直径，平分交于点D，交 于点E，连接、（1）若，求的度数；（2）求的长23. 阅读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求的值解：设，则原方程变为，整理得，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程（1）已知实数x、y满足 ，求值；（2）已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径24. 如图，是斜边上中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点（1）求证：是切线；（2）若，求的长25. 某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动下

6、面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠领队：超过100人怎样优惠呢？导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？26. 如图，点是（半径为）上的一点（1）尺规作图：请你用两种不同方法作的内接等边；（保留作图痕迹

7、，不要求写作法）（2）在劣弧上任意取一点，连接、，请你直接写出、之间的数量关系_；（3）等边的三个顶点将分成三段弧，将这三段弧沿等边的三边向圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为_（用含的代数式表示）江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二元一次方程，故本选项不符合题意；C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题

8、意；D、 是一元二次方程，故本选项符合题意故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的定义只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 （且）特别要注意的条件2. 一元二次方程的一般形式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据去括号、移项、合并同类项的步骤转化为一般形式即可得出答案【详解】解：去括号为，移项合并同类项，得，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解题的关键3. 方程x22x0的根的情况是（）A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无实数根【答案】B【解析】

9、【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可【详解】解：x22x0，（2）241040，方程x22x0有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根4. 若是方程的解，则下列各式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x1代入方程ax2bxc0得，abc0【详解】x1是方程ax2bxc0的解，将x1代入方程得abc0，故选：A【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即

10、方程的解的定义解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2bxc0中几个特殊值的特殊形式：x1时，abc0；x1时，abc05. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线和O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断【详解】O的半径等于8cm，圆心O到直线的距离为9cm，即圆心O到直线的距离大于圆的半径，直线和O相离，直线与O没有公共点故选：A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则当直线和O相交dr；直线和O相切d=r；直线和O相离

11、dr6. 的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】设这个三角形的内切圆半径是r，再根据三角形的面积公式，即可得出结论【详解】解：设这个三角形的内切圆半径是r，三角形面积为36，周长为36，解得故选：B【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键7. 如图，C15，且，则E的度数为（）A. 30B. 35C. 40D. 45【答案】C【解析】【分析】连接OA、OB、OC和OD，根据圆心角定理求出AOD的度数，又知，即可求出AOBBOCCOD110，进而求出BAC55，再根据BACC+E，即可

12、求出E的度数【详解】连接OA、OB、OC和OD，C15，AOD30，AOBBOCCOD110，BACBOC55，BACC+E，E40故选：C【点睛】本题主要按考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系的知识点，解答本题的关键是求出BAC的度数，本题比较简单8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）A. 1米B. 米C. 2米D. 米【答案】B【解析】【分析】连接OC交AB于D，

13、根据圆的性质和垂径定理可知OCAB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OCOD即可求解【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OCAB，AD=BD=AB=3，在RtOAD中，OA=4，AD=3，OD=，CD=OCOD=4，即点到弦所在直线的距离是（4）米，故选：B【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键二、填空题（本大题共10小题。每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为_【答案】【解析】【分析】把代入原方程，即可求解【详解】解：关于

14、x的一元二次方程的一个根是0，且，解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键10. 定义一种运算“”，其规则为，则方程的解为 _【答案】，【解析】【分析】先根据新定义得到，再移项得，然后利用直接开平方法求解【详解】解：，所以，故答案为：，【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则该方程的另一个根为 _【答案】【解析】【分析】设该方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可【详解】解：设该方程的另一

15、个根为t，根据根与系数的关系得，解得，即该方程的另一个根为故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，12. 若m是方程x2+x-10的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为_【答案】2023【解析】【分析】先将m代入方程得m2+m1，再将m2+m1代入m3+2m2+2022变形后的式子进行化简求值即可【详解】解：m是方程x2+x-10的一个根，m2+m1，m3+2m2+2022= m3+m2+ m2+2022=m(m2+m) + m2+2022=m+ m2+2022=1+2022=2023故答案为：2023【点睛】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关

16、键是运用整体代入思想进行解题13. 已知圆锥侧面展开的扇形面积是，圆心角是，则该圆锥的母线长是 _【答案】12【解析】【分析】设这个圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图的特点和扇形面积公式得到，然后解方程求出l即可【详解】解：设这个圆锥的母线长为l，根据题意得，解得即这个圆锥的母线长为12故答案为：12【点睛】本题考查求圆锥的母线长，掌握圆锥侧面展开图的特点是解题的关键圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14. 在中，过点A画直线，与以点C为圆心，长为半径的圆交于点P，则线段的长为 _【答案】4或#或4【解析】【分析】画出相应图形，与直线有两

17、个交点，根据垂径定理和勾股定理可求出，进而求出的长即可【详解】解：如图，又，四边形是平行四边形，在中，的长为或，故答案为：4或【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键15. 如图，中，以A为圆心长为半径作圆A，延长交圆A于点D，则长为 _【答案】#【解析】【分析】利用垂径定理得出，两个直角三角形中 由勾股定理分别表示出,进而得出含有的方程，再求解求出，进而求出、即可【详解】解：如图，过点A作，垂足为E，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，所以，解得，即，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理以及勾股定理是正确解答的前

18、提16. 工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为_cm【答案】【解析】【分析】如图，切三角板的斜边于点，连接、，利用邻补角计算出，再根据切线长定理和切线的性质得到平分，所以，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到圆的直径【详解】解：如图，切三角板的斜边于点，连接、，则，与三角板和直尺相切，平分，在中，cm，该圆木的直径为cm故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟练掌握切线的性质及切线长定理是解题的关键17. 根据下列表格的对应值：x0.590.600610.620.630.00440.02

19、69判断方程一个解x的取值范围为 _【答案】【解析】【分析】根据函数的图象与x轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围【详解】解：由表中数据可知：当时，；当时，当时，在与之间，方程一个解x的取值范围为，故答案为：【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在18. 如图，是的直径，点是半圆的中点，连接，点是劣弧上一点，连接，若，cm，则_cm【答案】【解析】【分析】过作于点，先根据点是半圆的中点，得，由，求得，再证明得，再证明，求得，由线段和差求得便可；详解】解：过作于点，点是半圆的中点，是的直径，（AAS）

20、，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形，相似三角形，关键是作辅助线构造全等三角形与相似三角形三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解方程：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1），； （2），； （3），； （4），【解析】【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可【小问1详解】解：开方得：或，解得：，；【小问2详解】解：方程移项得：，分解因式得：，所以或，解得：，；【小问3详解】解：这里，

21、解得：，；【小问4详解】解：分解因式得：，所以或，解得：，【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键20. 已知关于x的方程（1）若该方程的两个解为、，且，求此时该方程的解；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】（1） ，； （2）见解析【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到，解得 ，则方程变形为，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算一元二次方程根的判别式，再判断与0的关系，然后根据根的判别式与根的关系得到结论小问1详解】解：根据题意得，则方程为，解得： ，；【小问2详解】解：由题意可得， 不论k取

22、何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若、，是一元二次方程的两根时， ，还考查了一元二次方程根与判别式的关系和解一元二次方程21. 如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（1）请画出该平面直角坐标系，写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标 ；（2）求过点B且与圆P相切的直线函数表达式【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据点A的坐标为可确定原点，从而可建立直角坐标系，由圆弧所在圆的圆心P在的垂直平分线上，可设，根据，即得，即可；（2）连接，设过点B且与圆P相切的直线交y轴于K，过B作y轴平行线，过P作x轴平行线，

23、两平行线交于G，利用，可求得，即可得K的坐标，从而可求出直线的函数表达式【小问1详解】解：建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，如图：由图可得，圆弧所在圆的圆心P在的垂直平分线上，设，解得，；故答案为：；【小问2详解】解：连接，设过点B且与圆P相切的直线交y轴于K，过B作y轴平行线，过P作x轴平行线，两平行线交于G，如图：与相切于B，设直线函数表达式为，将代入得： ，解得，直线函数表达式为【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及直角坐标系，圆的性质及应用，相似三角形的判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是确定圆心的坐标22. 如图，是的内接三角形，直径，平分交于点D，交 于点E，连接、（1）若

24、，求的度数；（2）求的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的定义可得，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用（1）的结论可得ADDB，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答【小问1详解】解：是O的直径，平分， ，的度数为；小问2详解】是O的直径，的长为【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键23. 阅读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求的值解：设，则原方程变为，整理得，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体

25、，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程（1）已知实数x、y满足 ，求值；（2）已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设，解一元二次方程得到 ，根据，得到，即可得到答案；（2）设，解一元二次方程得到，根据勾股定理求出c，即可得到答案【小问1详解】解：设，则原方程变形为，整理得：，解得，；【小问2详解】解：设，则原方程变形为 ，整理得，解得：或，外接圆的半径 【点睛】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键24. 如图

26、，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，证出，证明即可；（2）连接，证明，再由勾股定理求得，最后三角形的面积公式求得结果【小问1详解】证明：如图，连接，为斜边的中点，为半径，为的切线；【小问2详解】解：如图，连接，是斜边上的中线，为直径，【点睛】本题考查切线的判定和性质，用勾股定理解三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识25. 某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？导游：如果正常成年

27、人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠领队：超过100人怎样优惠呢？导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？【答案】学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人【解析】【分析】设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为元，根据该学校共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋

28、游费用没有达最低费用），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【详解】解：设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为元，依题意得：，整理得：，解得：，当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去答：学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键26. 如图，点是（半径为）上的一点（1）尺规作图：请你用两种不同方法作的内接等边；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在劣弧上任意取一点，连接、，请你直接写出、之间的数量关系_；（3）等边的三个顶点将分成三段弧，将这三段弧沿等边的三边向

29、圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为_（用含的代数式表示）【答案】（1）见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）方法1，以为圆心为半径作圆，与圆交于点，；再以，分别为圆心，为半径作圆，与圆交于点、；以为圆心，为半径作圆与圆交于；连接、即为所求三角形；方法2，以圆上任意一点为圆心，长为半径作圆；以为圆心，长为半径作圆，与圆交于点，圆与圆交点，；连接，；作和的垂直平分线分别交圆于点，点；连接、即为所求三角形；（2）在上截取，连接，证明，即可得；（3）过作交于点，由，分别求出圆的面积与面积即可求解【小问1详解】解：如图：方法1，以为圆心为半径作圆，与圆交于点，；再以，分别为圆心，为半径作圆，与圆交于点、；以为圆心，为半径作圆与圆交于；连接、即为所求三角形；方法2，以圆上任意一点为圆心，长为半径作圆；以为圆心，长为半径作圆，与圆交于点，圆与圆交点，；连接，；作和的垂直平分线分别交圆于点，点；连接、即为所求三角形；【小问2详解】在上截取，连接，是等边三角形，故答案为：；【小问3详解】过作交于点，在中，故答案为：【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的内接三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键