湖北省武汉市洪山区2022-2023学年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、湖北省武汉市洪山区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ）A. ， B. ， C. ，1D. ，12. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 把方程转化成的形式，则，的值是（ ）A. 2，15B. 2，-1C. 2，3D. 2，54. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 开口向上B. 当时，随的增大而减小C. 有最小值3D. 顶点坐标是5. 某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元如果平均每月增长率为，

2、则由题意列方程应为（ ）A. B. C. D. 6. 抛物线图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为，则的值为（ ）A. B. C. D. 7. 已知点在二次函数图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 8. 如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降（ ）米A. 1米B. 2米C. 3米D. 10米9. 如果是一元二次方程两个根，那么多项式的值等于（ ）A. 2018B. 2012C. D. 10. 如图，等边边长为6，点是中线上一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接当在点运动

3、过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上11. 方程的根是_12. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_13. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为_人14. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是_15. 已知二次函数（是常数），满足且下列四个结论：；抛物线与轴一定有两个不同的公共点；若抛物线经过，则；对满足的任意实数，都有其中正确的是_（填写序号）16. 如图中，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，则

4、的长为_三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程17 解方程：（1）；（2）18. 如图，在和中，点在边上，若（1）求证：；（2）求的度数19. 口袋公园已走入百姓的生活，某口袋公园有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长20. 如图，直线与抛物线交于，两点：（1）若，且，求点坐标；（2）若，且点纵坐标等于4，直接写出不等式的解集为_21. 如图，在长方形的网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点都为格点，建立适当的直角坐标系，使点请用一把无刻度的直尺画图

5、：（1）过点画一条与线段平行的线段，格点的坐标为_；（2）过点画一条与线段垂直的线段，格点的坐标为_；（3）画作的角平分线，格点的坐标可以是_；（4）画，那么格点的坐标可以是_22. 消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销已知该消毒洗手液的进价为每瓶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量（瓶）与销售单价（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如下表：（元/瓶）22242627（瓶）90807065（1）直接写出与之间的函数关系式；（不需要写自变量的取值范围）（2）若该药店每天想从这批消毒洗手液销售中获利375元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？（3）

6、该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，设这种消毒洗手液每天的总利润为（元），那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？23. 如图，等腰直角中，（1）如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：；（2）如图2，若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，求证：；（3）如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，则_24. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点（1）求的面积；（2）如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；（3）若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三

7、角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由湖北省武汉市洪山区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ）A. ， B. ， C. ，1D. ，1【答案】B【解析】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数和常数项即可【详解】将一元二次方程 ，化成一般式得： ，一次项系数和常数项分别为： 故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程一般形式掌握一元二次方程的一般形式是 ，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题关键2. 下列图案中

8、，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意故选：B【点睛】本题考查

9、的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等3. 把方程转化成的形式，则，的值是（ ）A. 2，15B. 2，-1C. 2，3D. 2，5【答案】C【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【详解】，则，即，故选：C【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的集中常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程特点选择合适、简便的方法是解题关键4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 开口向上B

10、. 当时，随的增大而减小C. 有最小值3D. 顶点坐标是【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质，一次进行分析即可【详解】解：A、，开口向下，故A不正确，不符合题意；B、二次函数对称轴为，函数开口向下，当当时，随的增大而增大，故B不正确，不符合题意；C、因为函数开口向下，所以当时，函数有最大值3，故C不正确，不符合题意；D、函数顶点坐标是，故D正确，符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴

11、右边，y随x的增大而减小5. 某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由该超市一月份营业额及平均每月增长率，可得出该超市二、三月份的营业额，再根据该超市第一季度的总营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程【详解】解：该超市一月份的营业额为万元，且平均每月增长率为x，该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，又第一季度的总营业额共万元，故选：D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键6. 抛物线图象向左平移2个单位

12、，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线解析式化成顶点式，得出其顶点坐标，根据顶点坐标向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出解析式，再展开整理即可【详解】解：抛物线，其顶点坐标为，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，将顶点，向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线顶点坐标为，平移后抛物线的表达式，展开得：故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，正确利用抛物线的顶点的坐标变化求解是关键7. 已知点在二次函数的图象上，二次函数图象与y轴的交点在

13、正半轴，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，然后利用抛物线的对称性和增减性即可得出答案【详解】解：，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，图象的开口向下，对称轴是直线，关于直线对称点是，故选：B【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键8. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降（ ）米A. 1米B. 2米C. 3米D. 10米【答案】A【解析】【分析】把拱桥作为平面直角坐标系的原

14、点，以水平线为横轴，以过原点且垂直垂直于横轴的直线为纵轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为轴，根据二次函数的性质求出水面下降的距离即可【详解】如图，设抛物线解析式为由已知可得过 ， ， 当 时， ， 水面下降1米，故选：A【点睛】本题考查了二次函数解析式的性质，解决本题的关键是根据题意画图，求出抛物线解析式9. 如果是一元二次方程的两个根，那么多项式的值等于（ ）A. 2018B. 2012C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，进而得出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算【详解】解：m、n是一元二次方程的两个实

15、数根，m、n是一元二次方程即的两个实数根，原式故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，10. 如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示,为等边三角形，且直线为的对称轴，,，由旋转可

16、知：，又，当时，最小，,，点为的中点，为的中位线，点为的中点，点为的中点，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质勾股定理，中位线的判定和性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出以及的最小值第卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上11. 方程的根是_【答案】，#，【解析】【分析】由因式分解法解一元二次方程，即可求出答案详解】解：，或；故答案为：，【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程12. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_【答案】【解析】【分

17、析】根据关于原点对称点的坐标特征即可进行解答【详解】解：点关于原点对称的点的坐标，故答案为：【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数13. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为_人【答案】343【解析】【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数=1+第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解【详解】解：设一个人可以传染x个人，解得：，（舍），经过三轮后患了感冒的人数为：（人），故答案为：343【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应

18、用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解14. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据抛物线与轴有交点则方程有实数根，根据根的判别式即可解答【详解】解：，抛物线与轴有交点，解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数与x轴有交点，则对应一元二次方程有实数根15. 已知二次函数（是常数），满足且下列四个结论：；抛物线与轴一定有两个不同的公共点；若抛物线经过，则；对满足的任意实数，都有其中正确的是_（填写序号）【答案】【解析】【分析】根据，即可得出a和c的符号，即可判断；根据根的判别式即可判断；将点代入

19、函数表达式得，与联立可得a和b的关系式，即可判断；方程的两个根，根据函数的开口方向即可判断【详解】解：，故不正确；，抛物线与轴一定有两个不同的公共点，故正确；将点代入得： ，联立得：，得：，整理得：，故正确；当时，是方程的一个根，则，整理得：，即，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，灵活运用二次函数表达式的各个系数16. 如图中，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，则的长为_【答案】#7.2【解析】【分析】由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由等腰三角形的性质可求的长【详解】解：

20、如图，过点A作于点H，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用面积法求AH的长是本题的关键三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程17. 解方程：（1）；（2）【答案】（1），； （2），【解析】【分析】（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，移项得，配方得，即，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法

21、、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18. 如图，在和中，点在边上，若（1）求证：；（2）求的度数【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用证明，即可得证；（2）根据，可得出的度数，再根据，即可得出，由可得出即可得出【小问1详解】证明：在和中，；【小问2详解】解：，【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和利用等腰三角形的性质求角度是解题的关键19. 口袋公园已走入百姓的生活，某口袋公园有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长【答案】15

22、米【解析】【分析】可设矩形草坪边的长为x米，则的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解【详解】解：设边的长为x米，且，根据题意得：解得：，不合题意，舍去，即：，答：该矩形草坪BC边的长为15米【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程20. 如图，直线与抛物线交于，两点：（1）若，且，求点坐标；（2）若，且点纵坐标等于4，直接写出不等式的解集为_【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用即可求出直线的解析式，再结合，可求出抛物线的解析式，联立直线和抛物线的解析式即可求解；（2）利用即可求出直线的解析式，再利用点纵坐

23、标等于4，求出点坐标，将变形为：，结合图象即可作答【小问1详解】直线与抛物线交于，两点，可得：，即：直线的解析式为，由可得，抛物线解析式为：，联立：，解得：或者，交点的坐标为：，【小问2详解】直线与抛物线交于，两点，可得：，即：直线的解析式为，点纵坐标等于4，如图：将变形为：，不等式的含义为：抛物线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围，即：解集为：，即答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数与直线的交点的问题以及利用图像法求解不等式解集的知识，注重数形结合是解答本题的关键21. 如图，在长方形的网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点都为格点，建立适当

24、的直角坐标系，使点请用一把无刻度的直尺画图：（1）过点画一条与线段平行的线段，格点的坐标为_；（2）过点画一条与线段垂直的线段，格点的坐标为_；（3）画作的角平分线，格点的坐标可以是_；（4）画，那么格点的坐标可以是_【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）图见解析， （4）图见解析，【解析】【分析】（1）根据线段是13格的对角线，即可画出平行线段；（2）根据线段的平行线段，即可画线段的垂直线段；（3）取格点F，作的角平分线，点F在格点即可；（4）根据（3）的画法即可画出，即可【小问1详解】解：如图，线段即为所求，格点的坐标为；故答案为：【小问2详解】解：如图，线段，格点的坐标为；故

25、答案为：【小问3详解】解：如图，角平分线，格点的坐标是；故答案为：【小问4详解】解：如图，即为所求，格点的坐标是故答案为：【点睛】本题考查了作图、应用与设计作图，解决本题的关键是建立平面直角坐标系也考查了正方形的性质，平行线的判定与性质22. 消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销已知该消毒洗手液的进价为每瓶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量（瓶）与销售单价（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如下表：（元/瓶）22242627（瓶）90807065（1）直接写出与之间的函数关系式；（不需要写自变量的取值范围）（2）若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利375元，

26、又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？（3）该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，设这种消毒洗手液每天的总利润为（元），那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1） （2）25元 （3）售价定为26元时该药店可获得的利润最大，最大利润是420元【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将表格中的数据代入求解即可；（2）根据总利润=单个利润数量，列出方程求解即可，（3）根据题意，列出总利润的函数表达式，化为顶点式，再根据每瓶利润不允许高于进价的30%确定自变量的取值，即可求解【小问1详解】解：设与之间的函数关系式

27、为，将时，和时代入得，解得：，与之间的函数关系式为【小问2详解】由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶，整理得：，解得：，尽量给顾客实惠，答：这批消毒洗手液每瓶的售价为25元【小问3详解】，每瓶利润不允许高于进价的30%，解得：，当时，总利润为最大，此时（元）售价定为26元时该药店可获得的利润最大，最大利润是420元【点睛】本题主要考查了求一次函数的表达式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据题意找出等量关系，正确列出利润的表达式23. 如图，等腰直角中，（1）如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：；（

28、2）如图2，若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，求证：；（3）如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，则_【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，可证明，即可；（2）连接交于点O，连接，根据旋转的性质可得，再证明，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可；（3）过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N，先证明，可得，从而得到，再由，以及等腰直角三角形的性质可得，再由勾股定理求出，即可求解【小问1详解】证明将线段绕点顺时针旋转得到，即，是等腰直角三角形，；【小问2详解】证明：如图，连接交于点O，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，是等

29、腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，；【小问3详解】解：如图，过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N，是等腰直角三角形，是斜边的中点，在中，为等腰直角三角形，在中，故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，利用类比思想解答是解题的关键24. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点（1）求的面积；（2）如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；（3）若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得

30、是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）24 （2） （3）存在，或【解析】【分析】（1）求出c点坐标，利用三角形的面积公式求出面积即可；（2）作于点D，证明，利用相似三角形的性质列方程求解即可；（3）分两种情况求解：当点M在第一象限的抛物线上时和当点M在第二象限的抛物线上时【小问1详解】解：把代入，得，解得，；c点坐标为，【小问2详解】解：如图2，作于点D，当时，设，解得，（舍去），；【小问3详解】解：如图3-1，当点M在第一象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为F，过点C作直线的垂线，垂足为E是等腰直角三角形，当时，设，解得，（舍去），如图3-2，当点M在第二象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为H，过点C作直线的垂线，垂足为G同理可得：设，解得，（舍去），点的坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键