江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（每题3分，共24分）1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）A 瓜熟蒂落B. 旭日东升C. 日行千里D. 守株待兔2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为下列判断正确的是（ ）A. 2是变量B. 是变量C. r是变量D. C是常量3. 学校科技节上8位评委给一个参赛作品的评分各不相同，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数4. 已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段

2、，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是（）A. 1B. 9C. 20D. 165. 一元二次方程根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6. 如图，在的正方形网格中，以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，则A的对应点为（ ）A. 点B. 点C. 点D. 点7. 如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）9.

3、立冬是二十四节气中第十九个节气，每年11月78日之间交节，立冬后早晚的温度变化渐大今天的的最高气温为，最低气温为，该日的气温极差为_10. 若用配方法解一元二次方程时，则可以将该方程变形为_11. 若，则_12. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是_13. 若从一个腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为_14. 如图，已知是的直径，点P在外，连接分别交于点C、D，若设，则的度数为_（用含n的代数式表示）15. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值_16. 如图，已知矩形的边长，点M

4、在矩形的对角线上，若，则的长为_17. 若一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则符合条件的x的值有_个18. 如图，已知中，于点D，点E为的中点，点P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点Q是直线上的一个动点，连接，点A关于的对称点是点，连接，则的最小值为_三、解答题（本大题共有10小题，共6分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解方程：（1）；（2）20. 甲、乙两班各选10名学生参加电脑汉字录入比赛，将参赛学生每分钟录入汉字的个数图所示：录入汉字/个132133134135136137甲班参赛学生/人101521乙班参赛学生/人014122（1

5、）根据以上信息，完成下面表格：平均数中位数众数甲班135_135乙班135134.5_（2）已知甲班方差为1.6，哪一个班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定？21. 九年级A、B、C、D四个班各有一名选手参加了学校组织的“经典诵读大赛”活动（1）若4名选手抽签决定参赛顺序，则A班选手第一个比赛的概率为_：（2）若将4名选手随机分成两组，每组2名选手，求A、B两班的选手被分在同一组的概率22. 某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？23 如图，两条弧和围成

6、新月形（1）请用无刻度直尺和圆规画出的圆心O和的圆心（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接，若，求弦长，24. 已知关于x的方程（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）若方程的两实数根都为正整数，求k的值25. 已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接过点C作于点E，且（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，且点A为的中点，求图中阴影部分的面积26. 如图，点P在的外部，连结，在的外部分别作，连结（1）求证：；（2）判断与的数量关系，并说明理由27. 我们定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“陨四边形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“陨四边形”的直径（1

7、）如图1，已知是的直径，点P是上的一点，连接图中的_是“陨四边形”；（2）如图2，已知是“陨四边形”的直径，点O是的中点，交于点E若，求的值；（3）如图3，中，以为边向形外作等边，再以为边向形外作等边，连接交于点O，连接，若，求等边的面积28. 【模型建立】（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，求证：；【模型应用】（2）如图2，在中，于点D，点E在边上，点F在边上，则的值为_；【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，点D、E分别在边上，若，求的长江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（每题3分，共24分）1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）

8、A. 瓜熟蒂落B. 旭日东升C. 日行千里D. 守株待兔【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案【详解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；B、旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；C、日行千里，是随机事件，有先进的交通工具，发生的可能性较大，不符合题意；D、守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，

9、记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为下列判断正确的是（ ）A. 2是变量B. 是变量C. r是变量D. C是常量【答案】C【解析】【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可【详解】解：2与为常量，C与r为变量，故选：C【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键3. 学校科技节上8位评委给一个参赛作品的评分各不相同，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数【答案】B【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解【详解】解：根据题意，从8

10、个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化故选：B【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差4. 已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是（）A. 1B. 9C. 20D. 16【答案】C【解析】【分析】根据四条线段

11、成比例可得、，分别求出d即可得【详解】解：根据题意，得：当时，解得：d=16；当时，解得：d=9；当时，解得：d=1；则这条新线段长不可能是20故选：C【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解5. 一元二次方程根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】根据方程特点，先求出该方程的根，即可做出判断【详解】，解得：，方程有两个不相等的实数根故选：A【点睛】本题考查了解一元二次方程、判断方程的根的情况，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答的关键，此题也可以利用根的判别式判断一元二次方程的根的

12、情况6. 如图，在的正方形网格中，以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，则A的对应点为（ ）A. 点B. 点C. 点D. 点【答案】C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案【详解】解：如图所示：以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，对应点到位似中心距离比值为1：2，A的对应点为：点故选：C【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键7. 如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接、，由垂径定理得到，由勾股定

13、理得到，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可【详解】解：连接、，如图所示，的直径为26，点M、N分别是弦的中点，当时，M、O、N三点共线，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，线段的长度的取值范围是，故选：A【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键8. 若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则变为，得到一元二次方程的两根分别为，或者，即

14、可求得答案【详解】解：设，则变为：，一元二次方程的两根分别为，一元二次方程的两根分别为，或者，解得故选：B【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键二、填空题（每题3分，共30分）9. 立冬是二十四节气中的第十九个节气，每年11月78日之间交节，立冬后早晚的温度变化渐大今天的的最高气温为，最低气温为，该日的气温极差为_【答案】11【解析】【分析】用最大值减去最小值即可求得极差【详解】解：该日的气温极差为故答案为：11【点睛】本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差10. 若用配方法解一元二次方程时，则可以将该方程变形为_【答案】【解析】

15、【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可【详解】解：，移项得，配方得，即，故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数11. 若，则_【答案】【解析】【分析】根据比的基本性质，将化为，然后即可得出答案【详解】根据比例的基本性质可知，且，故答案为：【点睛】本题主要考查求比值，掌握比的基本性质是解题的关键12. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些

16、球除颜色外无其他差别现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是_【答案】【解析】【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，任意摸出1个，摸到红球的概率是故答案为：【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比13. 若从一个腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为_【答案】【解析】【分析】分别求出以点A为圆心，为半径作弧，求出扇形面积，再以点O为圆心，为半径作半圆，求出面积比较即可得出答案【详解】如图，过点A作，于点O

17、，以点A为圆心，为半径作弧在中，cm，cm根据勾股定理，得（cm），则cm 所以（）（以点C为圆心，为半径作弧，其扇形的面积也是）；过点O作，以点O为圆心，为半径作半圆由，即，解得所以（），可知，所以该扇形的面积是故答案为：【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求三角形的面积等，注意多种情况讨论，再比较得出答案14. 如图，已知是的直径，点P在外，连接分别交于点C、D，若设，则的度数为_（用含n的代数式表示）【答案】【解析】【分析】连接，根据圆周角定理得到，则，即可得到，然后根据圆周角定理可得到的度数，即可得到答案【详解】解：连接，如图，是的直径，的度数为故

18、答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键15. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值_【答案】7【解析】【分析】由m是一元二次方程的一个根得到，再整体代入求值即可【详解】解：m是一元二次方程的一个根，故答案为：7【点睛】此题考查了代数式的求值、一元二次方程的解等知识，整体代入是解题的关键16. 如图，已知矩形的边长，点M在矩形的对角线上，若，则的长为_【答案】#【解析】【分析】先根据勾股定理得的长，再由矩形的性质可得，根据相似三角形的判定与性质

19、可得答案【详解】解：四边形是矩形，故答案为：【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键17. 若一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则符合条件的x的值有_个【答案】3【解析】【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置【详解】解：（1）将这组数据从大到小的顺序排列为10，8，x，6，处于中间位置的数是8，x，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，平均数为，数据10，8，x，6，的中位数与平均数相等

20、，解得，大小位置与8对调，不影响结果，符合题意；（2）将这组数据从大到小的顺序排列后10，8，6，x，中位数是，此时平均数是，解得，符合排列顺序；（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x，10，8，6，中位数是，平均数，解得，符合排列顺序x值为4、8或12，共3个故答案为：3【点睛】本题结合平均数考查了确定一组数据中位数的能力涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数18

21、. 如图，已知中，于点D，点E为的中点，点P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点Q是直线上的一个动点，连接，点A关于的对称点是点，连接，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】连接，以点E为圆心，以为半径作圆，求得，由线段绕点E顺时针旋转得到线段，则，得到，则的最大值为6，再证得，则当时，的值最小，进一步求解即可【详解】解：连接，以点E为圆心，以为半径作圆，于点D，点E为的中点，B、C、D三点都在上，是的弦，点P不在外，线段绕点E顺时针旋转得到线段，的最大值为6，点A关于的对称点是，当时，的值最小，当取得最大值时，的值最小，时，此时取得最小值为4，最小值为4，故答案为：

22、4【点睛】此题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、轴对称的性质、点与圆的位置关系、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助圆是解的关键三、解答题（本大题共有10小题，共6分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程变形得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可【小问1详解】解：，移项得，配方得，即，；【小问2详解】解：，移项得，或，【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解

23、一元二次方程最常用的方法也考查了配方法20. 甲、乙两班各选10名学生参加电脑汉字录入比赛，将参赛学生每分钟录入汉字的个数图所示：录入汉字/个132133134135136137甲班参赛学生/人101521乙班参赛学生/人014122（1）根据以上信息，完成下面表格：平均数中位数众数甲班135_135乙班135134.5_（2）已知甲班的方差为1.6，哪一个班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定？【答案】（1）表格见解析 （2），甲组方差较小，成绩更稳定【解析】【分析】（1）计算出甲的加权平均数，再根据中位数和众数定义计算出乙班的中位数和众数，然后再根据方差公式计算方差；（2）根据方差的意义：它反映

24、了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立可得答案【小问1详解】解：把乙班所用数据从小到大排列起来，位置处于中间的是135，135，中位数为；乙班出现次数最多的数据是134，众数为134；表格如下：平均数中位数众数甲班135135135乙班135134.5134【小问2详解】解：乙班的方差为：，甲班的方差为1.6，且，方差越大，波动性越大，甲板方差比乙班小，因此甲班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定【点睛】此题主要考查了加权平均数、众数、中位数、方差，正确进行方差的计算是解题关键21. 九年级A、B、C、D四个班各有一名选手参加了学校组织的“经典诵读大赛”活动（1）若4名选手抽签决定参

25、赛顺序，则A班选手第一个比赛的概率为_：（2）若将4名选手随机分成两组，每组2名选手，求A、B两班的选手被分在同一组的概率【答案】（1） （2）A、B两班的选手被分在同一组的概率为【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A、B两班的选手被分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：若4名选手抽签决定参赛顺序，则A班选手第一个比赛的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A、B两班的选手被分在同一组的结果有4种，A、B两班的选手被分在同一组的概率为【点睛】此题考查的是用树状图法求概率树状图

26、法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比22. 某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？【答案】9【解析】【分析】设票价应降低x元，由题意：票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张要使门票收入达到47560元，列出一元二次方程，解一元二次方程，即可得出结论【详解】解：设票价应降低x元，则：，解得，（舍去），答：票价应降低9元【点睛】本题考查了

27、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键23. 如图，两条弧和围成新月形（1）请用无刻度直尺和圆规画出的圆心O和的圆心（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接，若，求弦的长，【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交于点C，连接，作线段的垂直平分线分别交直线于点O，点O，即为所求；（2）设，利用勾股定理构建方程组求解即可【小问1详解】解：如图，点O，点即为所求；【小问2详解】于点E，经过圆心O，设，则有，解得（不符合题意的解已经舍去），【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径

28、定理，重合利用参数构建方程组解决问题24. 已知关于x的方程（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）若方程的两实数根都为正整数，求k的值【答案】（1）见解析 （2）或【解析】【分析】（1）分及两种情况考虑即可求解；（2）利用因式分解发法，可求出方程的两个实数根，结合方程的两实数根都为正整数，即可求解【小问1详解】解：当时，原方程为，解得：；当时，方程是一元二次方程，方程总有两个实数根；综上所述，无论k取什么实数值，方程总有实数根；【小问2详解】解：即解得：方程的两实数根都为正整数或的值为或【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次方程及因式分解法解一元二次方程，解题

29、的关键是分及两种情况说明方程有实数根，利用因式分解法求出方程的两个实数根25. 已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接过点C作于点E，且（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，且点A为的中点，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据等边三角形的判定和性质得到，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案【小问1详解】证明：连接，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：在中，点A为的中点，为等边三角形，的半径为2，【点睛】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握切线的判定定

30、理是解题的关键26. 如图，点P在的外部，连结，在的外部分别作，连结（1）求证：；（2）判断与的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析 （2），理由见解析【解析】【分析】（1）由，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，据此即可求解；（2）由，变形为，而，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，得【小问1详解】证明：，；【小问2详解】解：，理由：，【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键27. 我们定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“陨四边形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“陨四边形

31、”的直径（1）如图1，已知是的直径，点P是上的一点，连接图中的_是“陨四边形”；（2）如图2，已知是“陨四边形”的直径，点O是的中点，交于点E若，求的值；（3）如图3，中，以为边向形外作等边，再以为边向形外作等边，连接交于点O，连接，若，求等边的面积【答案】（1）四边形 （2）900； （3）【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可知，即可得出答案；（2）根据直角三角形斜边上中线的性质得，再利用勾股定理得，代入变形即可；（3）取的中点M，连接，首先可知四边形是菱形，得，由（2）同理得，从而得出的长，即可得出等边的边长，进而解决问题【小问1详解】解：为直径，四边形“陨四边形”，故答案为：四边形；【

32、小问2详解】解：，点O是的中点，即，；【小问3详解】解：取的中点M，连接，和都是等边三角形，四边形是菱形，由（2）同理得，是等腰直角三角形，的面积为【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键28. 【模型建立】（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，求证：；【模型应用】（2）如图2，在中，于点D，点E在边上，点F在边上，则的值为_；【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，点D、E分别在边上，若，求的长【答案】（1）见解析；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质解答即可；（2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案；（3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案【详解】（1）证明：是等边三角形， ，；（2）解：，为等边三角形，是直角三角形，即,故答案为：2（3）在上截取，连接，如图3，是等边三角形， ，在和中，解得或（不合题意，舍去），【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键