2024年高考数学复习试卷：函数的应用（含答案解析）

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1、2024年高考数学复习试卷：函数的应用一选择题（共8小题）1已知函数，若f（a）1，则a（）A2B2或1CD2或2我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨在实施生活垃圾管理例之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（）A2026年B2027年C2028年D2029年3函数，若g（x）2f2（x）（2a+3）f（x）+3a有4个零点，则a的取值范围是（）A（1，2）BCD4 “学如逆水行舟，不进则退；心

2、似平原跑马，易放难收”（明增广贤文）是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）3651.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（11%）3650.99365.一年后“进步”的是“退步”的倍如果每月的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（）月后“进步”的是“退步”的一万倍（lg20.3010，lg30.4771）A20B21C22D235二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是2121大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉31015个二维码，那么大约可以用（）A10117万年B117

3、万年C10205万年D205万年6已知函数，若互不相等的实根x1，x2，x3满足f（x1）f（x2）f（x3），则x1+x2+x3的范围是（）A（2，8）B（8，4）C（6，0）D（6，8）7牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度若Ta25，现有一杯80的热水降至75大约用时1分钟，那么水温从75降至45，大约还需要（）（参考数据：lg20.30，lg111.04）A8分钟B9分钟C10分钟D11分钟8已知函数，若方程f（x）a0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A（0，1）B（0，

4、2）C（0，3）D（1，3）二多选题（共4小题）9已知函数，若关于x的方程f2（x）2af（x）+a210有k（kN）个不等的实根x1、x2、xk且x1x2xk，则下列判断正确的是（）A当a0时，k5B当k2时，a的范围为（，1）C当k8时，x1+x4+x6x73D当k7时，a的范围为（1，2）10已知函数若函数g（x）f（x）2（m1）f（x）m有4个零点，则m的取值可能是（）AB1C0D211已知函数，函数g（x）f（f（x）m，下列结论正确的是（）Af（x）有2个零点B若m3，则g（x）有4个零点C若g（x）只有1个零点，则m的取值范围是（，3）（3，+）D若g（x）恰有5个零点，则m的

5、取值范围是1，1）12已知f（x），若关于x的方程4ef2（x）af（x）+0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（）ABCD三填空题（共5小题）13已知奇函数f（x）eaxex+2tx（t0），有三个零点，则t的取值范围为 14已知函数若f（x）在R上是单调函数，则a ；若对任意实数k，方程f（x）k0都有解，则a的取值范围是 15设函数f（x），其中a0若a3，则ff（9） ；若函数yf（x）2有两个零点，则a的取值范围是 16已知函数，若a0，函数f（x）的单调增区间为 ；若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围为 17已知定义域为R的奇函数f（x）满足：，若方程在1，2

6、上恰有三个根，则实数k的取值范围是 四解答题（共5小题）18对于实数a、b，定义，设f（x）（2x1）*（x1），且关于x的方程为f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，若x1x2x3，求的取值范围19科技创新是企业发展的源动力，是企业能够实现健康持续发展的重要基础某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用，经调研，该企业生产此设备获得的月利润p（x）（单位：万元）与投入的月研发经费x（15x40，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，p（x）+8x90；当投入月研发经费高于36万元时，p（x）0.4x+54对于企业而言，研发利润率y是优化企业管理

7、的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小（1）求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于1.9，求月研发经费x的取值范围20在校园美化、改造活动中，要在半径为30m、圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示取CD的中点M，记MOC（1）写出矩形ABCD的面积S与角的函数关系式；（2）求当角为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积21湿地公约第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险武汉市某企

8、业生产某种环保型产品的年固定成本为1900万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元）经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以

9、便保证奖金数逐年增加假设基金平均年利率为r资料显示：2020年诺贝尔奖发放后基金总额约为51000万美元设f（x）表示第x（xN*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（2020年记为f（1），2021年记为f（2），依次类推）（参考数据：（1.0312）81.28，（1.0312）91.32，（1.0312）101.36）（1）分别求出f（2）、f（3）与f（1）的关系式；（2）根据（1）所求的结果归纳出函数f（x）的解析式（无需证明）（3）若r6.24%，试求出2029年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少参考答案解析一选择题（共8小题）1【答案】B【分析】结合函数的解析式，列出方程，根据对数与指数函数

10、的运算性质，即可求解【解答】解：由题意，当a1时，令f（a）log2a1，解得a2，当a1时，令f（a）3a21，解得a1故选：B2【答案】C【分析】从2023年起第n年处理生活垃圾的量为，nN*，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果【解答】解：从2023年起第n年处理生活垃圾的量为，nN*，显然an单调递增，而51.147.3205，51.158.05255，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量，故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是2023+52028故选：C3【答案】D【分析】由g（x）0可得出或f（x）a，数形结合可知直线与函

11、数f（x）的图象有两个交点，从而可知直线ya与函数f（x）有两个零点，结合图形可得出实数a的取值范围【解答】解：由g（x）2f2（x）（2a+3）f（x）+3a0，可得2f（x）3f（x）a0，解得或f（x）a，如下图所示：由图可知，直线与函数f（x）的图象有两个交点，又因为函数g（x）有四个零点，故直线ya与函数f（x）有两个零点，且，所以1a2且，因此，实数a的取值范围是故选：D4【答案】D【分析】设大约经过x月后“进步”的是“退步”的一万倍，则10000（10.2）x1.2x，再结合对数公式，即可求解【解答】解：设大约经过x月后“进步”的是“退步”的一万倍，则10000（10.2）x1.

12、2x，即，则x故选：D5【答案】A【分析】直接作商，然后利用取对数法进行化简求解即可【解答】解：1万年用掉31015个二维码，大约能用万年，设x，则lgxlglg2441（lg3+lg1015）441lg2lg3154410.3010.47715117，即x10117万年故选：A6【答案】A【分析】先画出函数f（x）的大致图象，由图象可知x2+x38，6x10，进而求出x1+x2+x3的取值范围【解答】解：画出函数f（x）的大致图象，如图所示：不妨设x1x2x3，则x2和x3关于直线x4对称，x2+x38，令2x+48，得x6，6x10，x1+x2+x3的取值范围为：6+8x1+x2+x30+

13、8，即x1+x2+x3（2，8），故选：A7【答案】C【分析】由题意可得，代入4525，得，两边取常用对数得t，再利用对数的运算性质即可求出t的值【解答】解：由题意可得7525，4525，两边取常用对数得t，t10，水温从75降至45，大约还需要10分钟，故选：C8【答案】A【分析】画出函数yf（x）的图像，将方程f（x）a0恰有三个不同的实数根转化为函数yf（x）与ya有3个不同的交点即可【解答】解：若方程f（x）a0恰有三个不同的实数根，则函数yf（x）与ya有3个不同的交点，如图yf（x）与ya的图像，由图可得函数yf（x）与ya有3个不同的交点，则0a1故选：A二多选题（共4小题）9【

14、答案】ABC【分析】令tf（x），求出方程t22at+a210的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于a的不等式组，求出a的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项【解答】解：令tf（x），则t22at+a210t1a1，t2a+1，A当a0时，t11，t21，由f（x）1有1解，f（x）1有4解，故k5，A对；B当k2时，则方程f（x）a1、f（x）a+1各有一解，当x0时，f（x）x24x+1（x+2）2+55，当且仅当x2时，等号成立，由图可得，解得a1，B对；C当k8时，如下图所示：由图象可知，点（x1，a1）、（x4，a1）关于直线x2对称，则x1+

15、x44，由图可知，0x61，x71，由|lnx6|lnx7|可得lnx7lnx6，所以，则x6x71，因此，x1+x4+x6x74+13，C对；D当k7时，有两种情况：或，从而可得a的范围为（1，2）4，D错故选：ABC10【答案】AC【分析】利用导数研究函数f（x）的图像，寻找yf（x）与ym有两个交点的m的取值范围，即可解答【解答】解：令g（x）f（x）2（m1）f（x）m0，即f（x）+1f（x）m0，解得f（x）1或f（x）m当x0时，f（x）6x26x6x（x1）由f（x）0，得x1，由f（x）0，得0x1，则f（x）在0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，且f（0）1，f（1

16、）2画出f（x）的图象，如图所示由图可知f（x）1有2个不同的实根，则g（x）有4个零点等价于f（x）m有2个不同的实根，且m1，故m（2，1）0故选：AC11【答案】ABD【分析】利用导数，确定当当x0时函数的单调性，并作出函数的图象，结合图象分m3、1m3、1m1、3m1、m3及 m3讨论即可得答案【解答】解：当x0时，f（x）x33x+1，所以f（x）3x23，所以当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以yf（x）的图象如图所示：由图可知f（x）有2个零点，则A正确；设tf（x），则mf（t），当m3时，mf（t）的解是 t11，

17、t23，所以f（x）t 有2个不同实根，f（x）t2 有2个不同实根，则 tf（x）有4个不同实根，故B正确；当1m3时，mf（t）有3个不同实根 t3，t4，t5，设 t3（2，1），t4（1，0，t52，3）f（x）t3 有2个不同实根，f（x）t4 有2个不同实根，f（x）t5 有3个不同实根，则tf（x）有7个不同实根；当1m1 时，mf（t） 有2个不同实根 t6，t7，设 t62，1），t71，2），f（x）t6 有2个不同实根，f（x）t7有3个不同实根，则 tf（x）有5个不同实根；当3m1时，mf（t）有2个不同实根 t8，t9，设 t8（3，2），t9（0，1），f（x）t

18、8 有2个不同实根，f（x）t9有2个不同实根，则tf（x）有4个不同实根；当m3时，mf（t）有且只有1个实根 t10，当 t103 时，则tf（x）有2个不同实根；当 t103时，tf（x） 只有1个实根；当 m3 时，mf（t） 有且只有1个实根 t11，且 t113，则tf（x）只有1个实根故C错误，D正确故选：ABD12【答案】AB【分析】利用导数判断出单调性，作出f（x）的图像，令tf（x），把题意转化为关于t的方程4et2at+0在t（0，）内有2个不等实根，分离参数后，令h（t）4et+，利用图像法求解【解答】解：令g（x），则g（x），所以g（x）在0，1）上单调增，在（1，

19、+）上单调减，所以f（x）的大致图像如下所示：令tf（x），所以关于x的方程4ef2（x）af（x）+0有6个不同实根等价于关于t方程4et2at+0在t（0，）内有2个不等实根，即h（t）4et+与ya在t（0，）内有2个不同交点，又因为h（t）4e，令h（t）0，则t，所以当t（0，）时，h（t）0，h（t）单调递减；当t（，+）时，h（t）0，h（t）单调递增；所以h（t）4et+的大致图像如下所示：又h（）4，h（）5，所以a（4，5）对照四个选项，AB符合题意故选：AB三填空题（共5小题）13【答案】（1，+）【分析】由f（x）为奇函数求出a的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，

20、由f（x）有三个零点，求t的取值范围【解答】解：若a1，f（x）2tx（t0），函数没有三个零点，所以a1，f（x）为奇函数，则f（x）+f（x）0，即eaxex+2tx+eaxex2tx0，得eax+eaxex+ex，设g（x）ex+ex，函数定义域为R，g（x）g（x），g（x）为偶函数，g（x）exex，g（x）是R上的增函数，且g（0）0，则g（x）0，解得x0；g（x）0，解得x0，即g（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，g（ax）g（x），由a1，则有a1，所以f（x）exex+2tx（t0），f（x）exex+2t，由ex+ex2，当且仅当x0时等号成立，则exe

21、x2，若0t1，则f（x）exex+2t0，f（x）单调递减，没有三个零点；若t1，令exm，则方程，即m22tm+10，判别式4t240，方程有两个不相等实数根，设两根为m1，m2且m1m2，则有m1+m22t0，m1m21，所以0m1m2，令，由m1m21，则x10x2且x1x2，f（x）0，即，即m22tm+10，解得m1mm2，得x1xx2；f（x）0，即，即m22tm+10，解得mm1或mm2，得xx1或xx2，所以f（x）在（，x1）和（x2，+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，由f（0）0，则有f（x1）0，f（x2）0，由函数yex的单调性和递增速度可知，x0时，存在f

22、（x）0，f（x）的图像如图所示，此时奇函数f（x）有三个零点综上可知，t的取值范围为（1，+）故答案为：（1，+）14【答案】0；0，2【分析】（1）作出函数的图象，由单调性的定义，结合图象可得a的值；（2）由题意可得f（x）的值域为R，结合图象，讨论a0，0a2时，a2时，函数f（x）的图象和值域是否为R，即可得到所求范围【解答】解：作出的图象，如图，因为函数f（x）在R上是单调函数，所以在a，+）上单调，由图象知在a，+）上单调递增，所以函数f（x）在R上是单调递增函数，故，解得a0；对任意实数k，方程f（x）k0都有解，即kf（x）恒有解，即直线yk和yf（x）的图象恒有交点，可得f（

23、x）的值域为R，当a0时，xa时，xa时，f（x）递增，且f（x）2aa20，故f（x）的值域不为R，故不成立；因为当x1时，由（2xx2）max1，令解得x2（x0），由图象可知，当0a2时，f（x）的值域为R，当a2时，由图象可得f（x）的值域不为R，综合可得a的范围是0，2故答案为：0；0，215【答案】见试题解答内容【分析】代值计算即可，分别画出yf（x）与y2的图象，如图所示，函数yf（x）2有两个零点，结合图象可得4a9【解答】解：当a3时，f（9）log392，f（2），ff（9），分别画出yf（x）与y2的图象，如图所示，函数yf（x）2有两个零点，结合图象可得4a9，故a的取

24、值范围是4，9）故答案为：，4，9）16【答案】（1，+）；0，2【分析】由导函数得到函数的单调区间，求出递增区间；分a0与a0两种情况，结合函数单调性，且f（0）是函数f（x）的最小值，列出不等式，求出实数a的取值范围【解答】解：当a0时，当x0时，f（x）2x0，故f（x）x2单调递减，当x0时，当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递减，故函数f（x）的单调增区间为（1，+）；当a0时，f（x）（xa）2在（，a）上单调递减，在（a，0）上单调递增，故f（a）f（0），不满足f（0）是函数f（x）的最小值，舍去；当a0时，当x0时，f（x）（xa）2

25、在（，0上单调递减，f（0）（0a）2a2当x0时，当x1时，f（x）0，当0x1时，f（x）0，故在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，且f（1）a+2，令f（0）f（1），即a2a2（a2）（a+1）0，解得1a2，又a0，所以0a2，所以实数a的取值范围是0，2故答案为：（1，+）；0，217【答案】【分析】由题可知直线与函数yf（x）的图像有三个交点，利用导数研究函数的性质，利用数形结合思想能求出实数k的取值范围【解答】解：定义为R的奇函数f（x）满足：，方程在1，2上恰有三个根，即直线与函数yf（x）的图像有三个交点，由f（x）是R上的奇函数，则f（0）0，当0x1时，f（

26、x）xlnx，则f（x）lnx+1，当时，f（x）0，当时，f（x）0，f（x）在上递减，f（x）在上递增，结合奇函数的对称性和“周期现象”得f（x）在1，2上的图像如下：由于直线过定点，如图，连接A，B（1，0）两点作直线，过点A作f（x）xlnx（0x1）的切线l2，设切点P（x0，y0），其中y0x0lnx0，f（x）lnx+1，则斜率，切线l2：yx0lnx0（lnx0+1）（xx0）过点，则，即，则，当直线绕点在l1与l2之间旋转时，直线与函数yf（x）在1，2上的图像有三个交点，故故答案为：四解答题（共5小题）18【答案】【分析】化简得出函数yf（x）的解析式，作出函数yf（x）的

27、图象，可知当时，直线ym与函数yf（x）的图象有三个交点，分析可知x2、x3为方程x2x+m0的两个不等的实根，由韦达定理可得x2x3m，根据可解得x1的取值范围，进而可求得的取值范围【解答】解：当2x1x1时，即当x0时，f（x）（2x1）2（2x1）（x1）2x2x；当2x1x1时，即当x0时，f（x）（x1）2（2x1）（x1）xx2f（x），作出函数yf（x）的图象如下图所示：因为x1x2x3，则x2、x3为方程xx2m的两个不等的实根，即x2、x3为方程x2x+m0的两个不等的实根，所以，x2x3m，由图象可知，当时，直线ym与函数yf（x）的图象有三个交点，由，可得，x10，解得，

28、所以：2x11（，1），因此，的取值范围是19【答案】（1）当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值2；（2）x|25x36【分析】（1）利用基本不等式以及函数的单调性分别求出分段函数的最值即可求解；（2）解一元二次不等式求解【解答】解：（1）当15x36时，当且仅当，即x30时，取等号；当36x40时，因为在（36，40上单调递减，所以因为21.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值2（2）若该企业生产此设备的研发利润不低于1.9，由（1）可知，此时月研发经费15x36，于是，令，整理得x261x+9000，解得25x36，因此当研发利润不小于1.9时，月研发经费的取值

29、范围是x|25x3620【答案】（1），；（2）当时，矩形ABCD的面积最大，最大值为【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出MN和NB，则SABCD2BNMN，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；（2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积【解答】解：（1）由题可知，在RtMOC中，OM30cos，MC30sin，BNCM30sin，在RtBON中，（2），当，即时，故当时，矩形ABCD的面积最大，最大值为21【答案】（1）；（2）当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1100万元【分析】（1）根据题意可得解析式（2）根据二次函

30、数，和基本不等式可求最值【解答】解：（1）当0x100时，当x100时，所以（2）当0x100时，当x90时，L取得最大值1050，当x100时，当且仅当，即x105时取等号，而11001050，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1100万元22【答案】（1），；（2）；（3）339.456万美元【分析】（1）根据已知条件列式化简，得出f（2）、f（3）与f（1）的关系式；（2）根据（1）所求的结果，归纳可得f（x）的解析式；（3）先求出2028年诺贝尔奖发放后基金总额，进而可得2029年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额，根据所给数据代入化简计算即可【解答】解：（1）由题意，；（2）根据（1）所求的结果，归纳可得：；（3）2028年诺贝尔奖发放后基金总额为，故2029年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是万美元