2024年高考数学复习试卷：计数原理（含答案解析）

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1、2024年高考数学复习试卷：计数原理一选择题（共8小题）1有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有（）种不同的报名方法A81B64C24D42某外语组有9人，其中5人会英语，4人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，不同的选法有（）A16种B18种C20种D91种3某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（）ABCD4的展开式中含x5项的系数是（）A112B112C28D285若（mx1）n（nN*）的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对（

2、m，n）共有（）组不同的解A1B2C3D46（2023春南昌月考）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A1050种B1260种C1302种D1512种7（2023春凉州区校级期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A5种B12种C20种D60种8

3、（2023春儋州校级期末）某数学兴趣小组把两个0、一个2、一个1与一个7组成一个五位数（如20107），若其中两个0不相邻，则这个五位数的个数为（）A18B36C72D144二多选题（共4小题）9（2023春贾汪区校级期中）下列说法正确的有（）A若，则x4B在（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）的展开式中，含x4的项的系数是15C38被5除所得的余数是1D现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成31种币值10（2023春武汉月考）已知，则下列结论正确的是（）Aa00Ba1+2a2+3a3+8a80Ca356D11（2023春市中区校级月考）下列关于排列组合数的等式或

4、说法正确的有（）AB设，则x的个位数字是6C已知nm，则等式对任意正整数n，m都成立D等式对任意正整数n都成立12（2023春浠水县校级期中）下列说法正确的是（）A10111220可表示为B6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次C若把英文“sorry”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种D将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法三填空题（共5小题）13（2023春常熟市校级月考）若一个三位数同时满足：各数位的数字互不相同；任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个（结果用数字作答）14（2023上海）已知（1+20

5、23x）100+（2023x）100a0+a1x+a2x2+a99x99+a100x100，若存在k0，1，2，100使得ak0，则k的最大值为 15（2023春长垣市月考）（1+x2）7展开式中x4的系数为 16（2023春贾汪区校级期中）若，则 17（2023春武功县校级月考）某学校新分配五名教师，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中老师C不分配到乙班的分配方案种数是 四解答题（共5小题）18（2023春湖北月考）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码（1）若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种；（2）若一次取出颜色不全相同的3

6、个球，有多少种取法19（2023春武汉月考）（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）20（2023春邯郸期中）从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员（1）若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情

7、况有多少种？21（2023春山东月考）某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他6名男同学中安排5名同学依次发言（1）若甲、乙同时参与，且她们发言时不能相邻，则不同的安排方法有多少种？（2）若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？22（2023春运城月考）已知（1）求a1+a2+a6；（2）求a1+2a2+3a3+6a6参考答案解析一选择题（共8小题）1【答案】A【分析】利用分步乘法计数原理可得共有34种报名方法【解答】解：根据题意可知，需分四步进行，每一步中每名同学都有数学、物理、化学三种科目可报，所以共有33333481种故选：A2【答案】C【分析】由分步计

8、数，应用组合数求不同的选法【解答】解：从会英语5人选一个种；从会日语4人选一个种；所以从中选出会英语和日语的各一人，不同的选法有5420种故选：C3【答案】B【分析】首先对10人分成4，3，3三组，再分早中晚三班排列即可得解【解答】解：10人分成三组，每组至少3人，故可分为4人，3人，3人三组，共有种，再把三组人员安排到早中晚三班，共有种，由分步乘法计数原理可得共有种故选：B4【答案】B【分析】根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果【解答】解：由题意可得，其通项公式为，令，可得r2，所以含x5项的系数是故选：B5【答案】D【分析】根据二项式系数的性质求解【解答】解：根据二项式系数

9、的性质知：由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9，10，11，又由题得：令x1，有（m1）n2n，当n9，11时，m3；当n10时，m3或1，故有序实数对（m，n）共有4组不同的解，分别为（3，9），（3，11），（1，10），（3，10）故选：D6【答案】C【分析】由题意可得，只需确定区域1，2，3，4的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解【解答】解：由题意可得，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种

10、选择，剩下的区域4有5种选择当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择故不同的涂色方案有76（55+6）1302种故选：C7【答案】B【分析】根据分类加法计算原理即可求解【解答】解：从油画中选，有3种不同的选法；从国画中选，有4种不同的选法；从水彩画中选，有5种不同的选法根据分类加法计数原理，共有3+4+512种不同的选法故选：B8【答案】A【分析】由于三个0均不相邻，所以采用插空法，第一步排列一个2，一个1，一个7，第二步再把0插入其中五个空，即可得答案【解答】解：利用插空法，第一步排列一个2，一个1，一个7，共有种排法，第二步最前面不能排0，再把0插入其中3个空，所以有种排法，

11、所以共有个五位数故选：A二多选题（共4小题）9【答案】BCD【分析】根据题意，根据组合数公式计算可判断A；根据二项展开式计算可判断B；根据二项式系数性质计算可判断C；根据组合数公式和二项展开式性质计算可判断D综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若，则x3x8或28x3x8，解得x4或x9，故A不正确；对于B，含x4的项是由（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）的5个括号中4个出x仅1个括号出常数，所以含x4的项的系数是1234515，故B正确；对于C，所以38被5除所得的余数是1，故C正确；对于D，壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成种币值，故D正

12、确故选：BCD10【答案】BCD【分析】令x0，可判定A不正确；两边求导，令x1，可判定B正确；利用展开式的通项，可判定C正确；令，可得，进而可判定D正确【解答】解：由，令x0，可得a01，所以A不正确；两边求导，可得，令x1，可得a1+2a2+3a3+8a80，所以B正确；由二项式（x1）8的展开式的通项为，令r5，可得x3，所以C正确；令，可得，又因为a01，所以，所以D正确故选：BCD11【答案】ACD【分析】对A：根据运算求解；对B：，结合排列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建（1+x）n（1+x）n（1+x）2n，利用xn的系数结合二项展开式的通项公式分析运算【解答】解

13、：对A：，A正确；对B：，则，故，其个位数字是0，故的个位数字是9，B错误；对C：若nm，则，C正确；对D：（1+x）n的展开式为，故（1+x）n（1+x）n展开式的xn的系数为，又，则，同理可得：（1+x）2n的展开式为，即（1+x）2n展开式的xn的系数为，由于（1+x）n（1+x）n（1+x）2n，故，D正确故选：ACD12【答案】BC【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，通过计算即可判断B；先对s，o，y进行排列，再将r放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；分3人，1人一组，和2人，2人一组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可【解答

14、】解：因为，故A错误；因为6人两两握手，共握（次），故B正确；先在5个位置中选出3个位置，对s，o，y进行全排列，剩下两个位置将r放入即可，故有（种），而正确的共有1种，所以可能出现的错误共有60159（种），故C正确；因为41+32+2，当按3，1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组，再将两组分配到两个不同科室中：共（种）分法，当按2，2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科，故有：（种）分法，故共有8+614（种）安排方法，故D错误故选：BC三填空题（共5小题）13【答案】432【分析】从百位开始讨论，然后分析十位数字，对应分析个位数字情况，最后找规律总结即可求解【解答】

15、解：从百位开始讨论：（1）百位数字为1，十位数字有0，2，3，4，5，6，7，9，（除1，8外所有数字）；当十位数字为0时，个位数字为2，3，4，5，6，7，（除1，0，8，9外所有数字），所以对应的三位数有8648种；（2）百位数字为2，3，4，5，6，7，8，9，情况同（1）；综上这样的三位数共有：948432种；故答案为：43214【答案】49【分析】由二项展开式的通项可得ak2023k+2023100k（1）k，若ak0，则k为奇数，所以ak（2023k2023100k），即2023k2023100k0，从而求出k的取值范围，得到k的最大值【解答】解：二项式（1+2023x）100的通

16、项为2023rxr，r0，1，2，100，二项式（2023x）100的通项为2023100r（1）rxr，r0，1，2，100，ak+2023k+2023100k（1）k，k0，1，2，100，若ak0，则k为奇数，此时ak（2023k2023100k），2023k2023100k0，k100k，k50，又k为奇数，k的最大值为49故答案为：4915【答案】21【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解【解答】解：因为（1+x2）7展开式为，令r2，则，所以x4的系数为21故答案为：2116【答案】1【分析】求出a01，利用赋值法，令即可求得答案【解答】解：由可得a01，令，则，故，故答案为：1

17、17【答案】100【分析】利用先分组再分配及计数原理即可求解【解答】解：依题意知，分2步完成，第1步，将5名教师分为3组分2类，第1类，若分为311的三组，有种分组方法，第2类，若分为221的三组，有种分组方法，则共有10+1525种分组方法，第2步，将老师C所在的组安排在甲或丙班，剩下2组任意安排，有224种安排方法，所以有254100种分配方案故答案为：100四解答题（共5小题）18【答案】（1）30（2）70【分析】（1）有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个红球”，利用组合数运算求解；（2）有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，利用组合数运算求解【解答】解：（1

18、）若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个红球”，故不同的取法有种（2）若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，故不同的取法有种19【答案】（1）150；（2）243；（3）6；（4）21【分析】（1）先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；（3）只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果；（4）问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可

19、，利用隔板法可求得结果【解答】解：（1）将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为种；（2）每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为35243种；（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，所以，不同的放法种数为种；（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块

20、板即可，所以，不同的放法种数为种20【答案】（1）870；（2）540【分析】（1）从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，可得答案；（2）先从男女生中各选一人，分别担任班长和学习委员，再从剩余的9人中选一人担任体育委员即可【解答】解：（1）由题意知担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，可从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，故不同的情况有种；（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有种21【答案】（1）1440；（2）2160【分析】（1）甲、乙同时参与，则还需要从6名男同学中选3人，而甲、乙不相邻，用插空法即可；（2）甲

21、、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则甲、乙被安排在最后两位发言，正难则反，用总的方法减去前3名发言的同学中没有女同学的情况即可【解答】解：（1）若甲、乙同时参与，则只需再从剩下的6名同学中选取3名即可，在安排顺序时，甲、乙不相邻，则“插空”，不同的安排方法有种，故甲、乙同时参与，且她们发言时不能相邻的安排方法有种；（2）只考虑甲、乙同时参与，不同的安排方法有种，若前3名发言的同学中没有女同学，则甲、乙被安排在最后两位发言，不同的安排方法有种，故甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学的安排方法有24002402160种22【答案】（1）728；（2）2916【分析】（1）利用赋值法得出a1+a2+a6；（2）对两边求导，再由赋值法得出a1+2a2+3a3+6a6的值【解答】（1）解：已知令x10，即x1时，此时a01令x11，即x2时，此时故（2）由对等式两边求导，可得：此时令x11，即x2时，有