三年（2021-2023年）全国Ⅰ卷高考数学真题分类汇编：概率与统计（含答案解析）

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1、三年（全国卷）高考数学真题分类汇编：概率与统计一选择题（共2小题）1（2021新高考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立2（2022新高考）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）ABCD（多选）3（2023新高考）有一组样本数据x1，x2，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）

2、Ax2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，x6的平均数Bx2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x6的中位数Cx2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，x6的标准差Dx2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，x6的极差（多选）4（2021新高考）有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中yixi+c（i1，2，n），c为非零常数，则（）A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同二填空题（共6小题）5（2022浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5

3、，6从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则P（2） ，E（） 6（2022浙江）已知多项式（x+2）（x1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2 ，a1+a2+a3+a4+a5 7（2021浙江）袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则mn ，E（） 8（2021浙江）已知多项式（x1）3+（x+1）4x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1 ；a2+a3+a4 9（2023新高考）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3

4、门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）10（2022新高考）（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）三解答题（共3小题）11（2023新高考）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi1）1P（Xi0）qi，i1，2，n，则E（）记前

5、n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）12（2022新高考）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R（）

6、证明：R；（）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（）的结果给出R的估计值附：K2 P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82813（2021新高考）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0

7、.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2021新高考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

8、【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【答案】B【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲），P（乙），P（丙），P（丁），A：P（甲丙）0P（甲）P（丙），B：P（甲丁）P（甲）P（丁），C：P（乙丙）P（乙）P（丙），D：P（丙丁）0P（丙）P（丁），故选：B2（2022新高考）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

9、概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】整体思想；数学模型法；概率与统计；数学运算【答案】D【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为故选：D（多选）3（2023新高考）有一组样本数据x1，x2，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）Ax2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，x6的平均数Bx2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x6的

10、中位数Cx2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，x6的标准差Dx2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，x6的极差【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算【答案】BD【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可【解答】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，x6的平均数，A错误；B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于，x1，x2，x6的中位数等于，B正确；C选项，设样本数据x1，x2，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，x

11、1，x2，x6的方差（05）2+（15）2+（25）2+（85）2+（95）2+（105）2，x2，x3，x4，x5的方差（15）2+（25）2+（85）2+（95）2，s1s2，C错误D选项，x6x5，x2x1，x6x1x5x2，D正确故选：BD（多选）4（2021新高考）有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中yixi+c（i1，2，n），c为非零常数，则（）A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【专题】方程思想；定义法；概率

12、与统计；数据分析【答案】CD【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，标准差D（yi）D（xi+c）D（xi），两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，yixi+c（i1，2，n），c为非零常数，x的极差为xmaxxmin，y的极差为（xmax+c）（xmin+c）xmaxxmin，两组样本数据的样本极差相同，故D正确故选：CD二填空题（共6小题）5（2022浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片

13、上数字的最小值为，则P（2），E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】分类讨论；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【答案】；【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解【解答】解：根据题意可得：的取值可为1，2，3，4，又P（1），P（2），P（3），P（4），E（）1+2+3+4，故答案为：；6（2022浙江）已知多项式（x+2）（x1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a28，a1+a2+a3+a4+a52【考点】二项式定理【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算【答案】8，2【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次

14、项系数乘以（x1）4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x0，x1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值【解答】解：（x1）4x44x3+6x24x+1，a24+128；令x0，则a02，令x1，则a0+a1+a2+a3+a4+a50，a1+a2+a3+a4+a52故答案为：8，2【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题7（2021浙江）袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则mn1，E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】方

15、程思想；定义法；概率与统计；数学运算【答案】1；【分析】根据取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，得到关于m，n的方程，然后求出m，n的值，得到mn的值；先确定的可能取值，求出相应的概率，由数学期望的计算公式求解即可【解答】解：由题意，P（2），又一红一黄的概率为，所以，解得m3，n2，故mn1；由题意，的可能取值为0，1，2，所以P（0），P（1），P（2），所以E（）0+1+2故答案为：1；8（2021浙江）已知多项式（x1）3+（x+1）4x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a15；a2+a3+a410【考点】二项式定理【专题】转化思想；定义法；二项式定理；数学运算【答案

16、】5；10【分析】利用通项公式求解x3的系数，即可求出a1的值；利用赋值法，令x1，即可求出a2+a3+a4的值【解答】解：a1即为展开式中x3的系数，所以a1；令x1，则有1+a1+a2+a3+a4（11）3+（1+1）416，所以a2+a3+a4165110故答案为：5；10【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查了运算能力，属于基础题9（2023新高考）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 64种（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】分类讨论；定

17、义法；排列组合；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】利用分类计数原理进行计算即可【解答】解：若选2门，则只能各选1门，有种，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有+24+2448，综上共有16+4864种不同的方案故答案为：64【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题10（2022新高考）（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 28（用数字作答）【考点】二项式定理【专题】方程思想；转化法；二项式定理；数学运算【答案】28【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和

18、即可【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1C8rx8ryr，当r6时，当r5时，（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为故答案为：28三解答题（共3小题）11（2023新高考）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi1）1P（Xi0）qi，i1，2，n，则E（）记前n次（即从

19、第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】转化思想；转化法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【答案】（1）第2次投篮的人是乙的概率为0.6；（2）第i次投篮的人是甲的概率为Pi+（）i1；（3）E（Y）1（）n+，nN【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn+10.6Pn+0.2（1Pn）0.4Pn+0.2，构造得Pn+10.4（Pn），结合等比数列的定义可得Pn是首项为，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；（3）由（2）得Pi+（）i1，结合题意可得甲第i次投篮次数Yi

20、服从两点分布，且P（Yi1）1P（Yi0）Pi，即E（）E（Y），分类讨论n1，n0，即可得出答案【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P0.50.4+0.50.80.6；（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn+10.6Pn+0.2（1Pn）0.4Pn+0.2，Pn+10.4（Pn），又P10，则Pn是首项为，公比为0.4的等比数列，Pn（）n1，即Pn+（）n1，第i次投篮的人是甲的概率为Pi+（）i1；（3）由（2）得Pi+（）i1，由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P（Yi1）1P（Yi0）Pi，E（）E（Y），当n1时，E（Y）+1（）n+，综上所述

21、，E（Y）1（）n+，nN【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题12（2022新高考）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生

22、习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R（）证明：R；（）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（）的结果给出R的估计值附：K2 P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验；条件概率与独立事件【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算；数据分析【答案】（1）有99%的把握（2）（i）见解析；（）；6【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可【解答】解：（1）补充列联表为：不够良

23、好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异（2）（i）证明：R：；（）利用调查数据，P（A|B），P（|B）1P（A|B），P（|）1P（A|），所以R6【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题13（2021新高考）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问

24、题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算【答案】（1） X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题【分析】（1）由已知可得，X的

25、所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；（2）由（1）可得E（X），若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E（Y），比较E（X）与E（Y）的大小，即可得出结论【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P（X0）10.80.2，P（X20）0.8（10.6）0.32P（X100）0.80.60.48，所以X的分布列为： X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）00.2+200.32+1000.4854.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y0）10.60.4，P（Y80）0.6（10.8）0.12，P（Y100）0.60.80.48，则Y的期望为E（Y）00.4+800.12+1000.4857.6，因为E（Y）E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题