浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高二上期中数学试卷(含答案解析)
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1、杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高二上期中数学试题一单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 2. 设是虚数单位,复数,则( )A. 1B. C. D. 23. 在中,已知,则等于( )A. 1B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积单位:为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积单位:是( )A B. C. D. 5. 已知m和n是两条不同直线,和是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )A. ,则B. ,则C. 若,则D. 若,则6. 已知向量,满足,则在上的投影向量的坐标为( )A. B. C. D. 7. 已知
2、A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为( )A. B. 1C. D. 8. 柜子里有3双不同鞋子,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的概率为( )A. B. C. D. 二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 设复数,下列说法正确的是( )A. z的虚部是yB. C. 若,则z为纯虚数D. 若满足,则z在复平面内的对应点的轨迹是圆10. 如图,在棱长为的正方体中,下列选项正确的是( )A. 异面直线与所成的角为B.
3、 三棱锥的体积为C. 直线平面D. 二面角的大小为11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字,记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”,事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”,则下列结论正确的是( )A. 事件B与事件C是互斥事件B. 事件A与事件B是相互独立事件C. 事件B与事件C是相互独立事件D. 12. 已知圆,点P是圆C上的一个动点,点,则下列选项中正确的是( )A. B. 的最大值为C. 的最大值为12D. 的最大值为9三填空题:本题共4小题,每小题5分,共
4、20分.13. 已知向量,若,则_14. 写出过点,且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程_.15. 已知圆,以点为圆心,半径为r的圆与圆C有公共点,则r的取值范围为_.16. 已知直四棱柱,底面ABCD为平行四边形,以为球心,半径为2的球面与侧面的交线的长度为_.四解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 已知直线(1)求证:直线l过定点,并求出此定点;(2)求点到直线l的距离的最大值.18. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动,现已有高一540人、高二360人,高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排,拟采用分层抽样的方法,从已报名的志愿者中
5、抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计,运动时间均在至分钟之间,其频率分布直方图如下:(1)需从高一、高二、高三报名学生中各抽取多少人?(2)(i)请补全频率分布直方图;(ii)求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?19. 袋中有形状、大小都相同的个小球,标号分别为. (1)从袋中一次随机摸出个球,求标号和为奇数的概率;(2)从袋中每次摸出一球,有放回地摸两次.甲、乙约定:若摸出的两个球标号和为奇数,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.20. 如图,四棱锥的底面为正方形,底面设平面平面(1)证明:平面,(2)若,求直线l与平面PAC所成角
6、的正弦值.21. 已知圆C的半径为3,圆心C在射线上,直线被圆C截得的弦长为(1)求圆C方程;(2)过点的直线l与圆C交于M、N两点,且的面积是为坐标原点,求直线l的方程.22. 如图1是直角梯形ABCD,以BE为折痕将折起,使点C到达的位置,且,如图(1)证明:(2)求二面角余弦值.杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高二上期中数学试题一单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程,由,求得倾斜角.【详解】由直线方程知,直线斜率为,则,故倾斜角为,故选:A2. 设是虚数单位,复数,则( )A.
7、 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简复数,再求得解.【详解】由题得,所以.故选:B.3. 在中,已知,则等于( )A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理,即,解得故选:B.4. 已知圆锥的侧面积单位:为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积单位:是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的侧面积公式,再利用弧长公式及圆的周长公式,结合圆锥的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥侧面展开图是半圆,面积为,如图所示设圆锥的母线长为a,则,解得,所以侧面展开扇形的弧长为,设圆锥的底面半径,
8、则,解得,所以这个圆锥的体积为故选:C.5. 已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )A. ,则B. ,则C. 若,则D. 若,则【答案】D【解析】【分析】由空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】由题意可知,在A中,若,则m与相交或平行或,A错;在B中,若,则或m与n异面,B错;在C中,若,则n与相交或平行或,C错;在D中,若,则平面内存在一直线平行于m,该直线垂直于平面,则,D正确.故选:D.6. 已知向量,满足,则在上的投影向量的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的计算公式,可得答案.【详解】解:在上的投影向量的坐标
9、为故选:B.7. 已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为( )A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的模,向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.详解】A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),(1,0,0),(1,2,2),点A到直线BC的距离为:d1故选:A【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算,向量的模,向量的夹角,属于容易题.8. 柜子里有3双不同的鞋子,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用列举法列出所有可能
10、情况,再找出符合题意的基本事件数,最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】解:分别用,表示6只鞋,则可能发生的情况有种,如下所示:,取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的事件有6种,即,故选:C二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 设复数,下列说法正确的是( )A. z的虚部是yB. C. 若,则z为纯虚数D. 若满足,则z在复平面内的对应点的轨迹是圆【答案】AD【解析】【分析】对A选项,由复数概念即可判断,对B选项展开即可判断,对C选项,当且时,z是纯虚数,对D选项由复数模的
11、几何意义即可得到其轨迹.【详解】由复数的概念知,A正确;,故B不正确;当且时,z是纯虚数,故C不正确;因为,所以,即,表示以为圆心,1为半径的圆,故D正确.故选:AD.10. 如图,在棱长为的正方体中,下列选项正确的是( )A. 异面直线与所成的角为B. 三棱锥的体积为C. 直线平面D. 二面角的大小为【答案】ABC【解析】【分析】对于A,利用线线角的定义及正方体的性质,结合等边三角形的性质即可求解;对于B,利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解;对于C,利用线面垂直的判定定理即可求解;对于D,根据已知条件及二面角的平面角的定义,结合锐角三角函数即可求解;【详解】对于A,因为为正方体,所以,且,
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