天津市河东区2022-2023学年高二上期中数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年天津市河东区高二上期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36分）1. 直线：的方向向量可以是（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线，与平行，则的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D. 3. 在正方体中，则（ ）A B. C. D. 4. 已知向量，则有（ ）A. B. C. D. 5. 已知点，则以线段AB为直径的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含7. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 8. 椭圆与椭圆（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D.

2、 焦距相等9. 已知椭圆C：（）的左右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. .二、填空题（本大题共6小题，共24分）10. 直线l方程为：，则直线l的倾斜角为_11. 直线 与直线 之间的距离为_.12. 已知空间向量，若，共面，则_.13. 已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为_14. 已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为_15. 如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：直线与直线所成角的大小为定值；二面角的大小为定值；若Q是对角线，上一点，则长度的最小

3、值为；若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线有可能平行其中真命题有_（填序号）三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程.17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，M是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18. 如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，H为DE的中点（1）证明：平面BDE；（2）若P是棱DE上一点，且，求二面角的夹角的余弦值19. 设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且（1

4、）求椭圆长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；（2）求的面积；（3）求点坐标20. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45，到直线l的距离为（1）求椭圆C的焦距；（2）若，求椭圆C的方程2022-2023学年天津市河东区高二上期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36分）1. 直线：的方向向量可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用直线的方向向量定义求解.【详解】因为直线：的斜率为2，所以其方向向量可以是，故选：A2. 已知直线，与平行，则的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D. 【答案】C【解析】【详解】试

5、题分析：由题意得：或，故选C.考点：直线平行的充要条件3. 在正方体中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为，而，所以有，故选：A4. 已知向量，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于A，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；对于B，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；对于D，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B不正确；对于C，因为，所以

6、，又，所以，即，故C正确.对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：C.5. 已知点，则以线段AB为直径的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式得到圆心，再计算直径得到圆方程.【详解】AB的中点坐标为，即以线段AB为直径的圆的方程为.故选：A6. 圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含【答案】D【解析】【分析】根据两圆的方程，求得圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可求解.【详解】由圆与圆，可得，则，又由，所以，所以圆和圆的位置关系式内含.故选：D.7. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【

7、答案】D【解析】【分析】先求得圆关于直线对称圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.【详解】圆的圆心坐标为，半径为3设点关于直线的对称点为，则 ，解之得则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为， 故选：D8. 椭圆与椭圆（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等【答案】D【解析】【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.【详解】解：椭圆的长轴长为4，短轴长为，离心率为，焦距为；椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为；故两个椭圆的焦距相等.故选：D.9. 已知椭圆C：（）的左右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值

8、范围为（ ）A. B. C. D. .【答案】B【解析】【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B二、填空题（本大题共6小题，共24分）10. 直线l的方程为：，则直线l的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】根据直线方程结合倾斜角的定义求解.【详解】解：由于直线l的方程为：和x轴垂直，故直线l倾斜角为，故答案为：.11. 直线 与直线 之间的距离为_.【答案】#【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】因为直线 与直线

9、平行,而直线可化为，故直线 与直线 之间的距离为 ，故答案为：12. 已知空间向量，若，共面，则_.【答案】3【解析】【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值.【详解】因为，共面，所以存在唯一实数，使，即，则，解得，.故答案为：313. 已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为_【答案】6【解析】【分析】根据题意可得直线的方程为，根据垂径定理可求，再求点到直线的距离，计算面积【详解】由已知点，所以因为为线段的中点，所以，所以，所以直线的方程为，即设点到直线的距离为，则，所以设点到直线的距离为，则，则的面积故答案为：614. 已知，是椭圆C：的两个焦点

10、，P为C上一点，且，则C的离心率为_【答案】#【解析】【分析】利用椭圆的定义结合已知条件可得，再在中利用余弦定理列方程可求出椭圆的离心率.【详解】解：因为，由椭圆的定义可得，可得，在中，由余弦定理可得：，而，即，可得，可得离心率，故答案为：15. 如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：直线与直线所成角的大小为定值；二面角的大小为定值；若Q是对角线，上一点，则长度的最小值为；若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线有可能平行其中真命题有_（填序号）【答案】【解析】【分析】对于，由正方体的性质可得，进行判断；对于，由平面与平面所成的二面角为定值进行判断；对于，将平面沿直线翻折

11、到平面内，过C点做，此时，的值最小，从而可求得结果；对于，设，结合余弦定理可得在上必然存在一点E，使得二面角为， 设平面EBD与平面的交线为ED，则，过P点作BD的垂线PR，从而可得结论.【详解】解：对于，由正方体的性质可知，平面，又平面，故，异面直线与直线的所成的角为定值，正确；对于，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，而这两个平面位置固定不变，故二面角为定值，正确；对于，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过C点做，此时，的值最小，由题可知，则，故，又，故的最小值为，故错误；对于，正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体棱长为1，故，则，由余弦定理得，故，同理，故在上

12、必然存在一点E，使得二面角为，即平面平面，平面EBD与平面的交线为ED，则，过P点作BD的垂线PR，此时平面，又平面，故，故正确故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）分析可知圆心在直线上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出

13、直线的方程.【小问1详解】解：过点且与直线垂直的直线的方程为，由题意可知，圆心即为直线与直线的交点，联立，解得，故圆半径为，因此，圆的方程为.【小问2详解】解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，M是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理

14、可证得结论成立；（2）设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形为正方形，且，为的中点，又因为为的中点，平面，平面，平面；（2）设，底面，且四边形为正方形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、，设平面的法向量为，由，令，可得，则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念

15、；求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.18. 如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，H为DE的中点（1）证明：平面BDE；（2）若P是棱DE上一点，且，求二面角的夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可得线面垂直，结合所给长度，证明正方形，根据线面垂直判定定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，根据公式，可得答案.【小问1详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，而CD在平面ABCD中，即，又，四边形FHDC为正方形，又，

16、平面BDE，平面BDE，平面BDE.【小问2详解】由题意可建立以D为原点，以DC、DB、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，则，平面ABCD，且平面ABCD，即，又，平面PDF，平面PDF，平面PDF，平面PDF的一个法向量为，设平面BPF的一个法向量为，则，取，则，平面BPF的一个法向量为，由图形得二面角的夹角为锐角，二面角的夹角的余弦值为19. 设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且（1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；（2）求的面积；（3）求点的坐标【答案】（1）长轴长为，短轴长为，焦点为，离心率为 （2） （3）或或或【解析】【分析】（1）由椭圆方程

17、可求得，由此可依次求得结果；（2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积；（3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果.【小问1详解】由椭圆方程得：，则，椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，离心率.【小问2详解】由椭圆定义知：，即，解得：，.【小问3详解】设，则，解得：，解得：；点坐标为或或或.20. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45，到直线l的距离为（1）求椭圆C的焦距；（2）若，求椭圆C的方程【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.【小问1详解】由题意知直线l的方程为因为到直线l的距离为，所以，解得：，所以椭圆C的焦距为2【小问2详解】由（1）知直线l的方程为，设，联立方程组消去x得，所以，因为，所以，所以，消去得，解得：，从而，所以椭圆C的方程为