湖北省武汉市江夏区部分学校2023-2024学年九年级上月考数学试卷（含答案解析）

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1、2023-2024学年度武汉市部分学校九年级9月月考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国方块字中有些也具有对称性下列汉字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 3、1B. 3、1、C. 3、D. 3、4、14. 将进行配方变形，下列正确的是（）A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形C. 两边相等的平行四边

2、形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6. 对于抛物线，下列说法中错误的是（）A. 抛物线与轴没有交点B. 抛物线开口向下C. 顶点坐标是D. 函数有最大值，且最大值为17. 已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（）A. 3B. 1C. D. 8. 设，是抛物线（m为常数）上的三点，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 9. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水面距离都相同在其中一个桥洞中，水面宽度为12米，如图2，拱顶距离水面4米，并建立平面直角坐标系若水位上涨2米，则每个拱桥内水面的宽度是（） A. 4米B. 米C. 6米D. 米10

3、. 如图，在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，若，则的长度为（）A. B. C. D. 2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 抛物线的顶点坐标是_12. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：_13. 关于的方程有实数根，则的取值范围_14. 我国古代数学经典著作九章算术记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行二百步，善行者追之问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行

4、走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是_15. 抛物线过点，对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；若函数图像上有两点和，且，则其中判断正确的序号是_ 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段上任意一点在直线上取点E、使，延长到点F，使，分别取、中点M、N，连接，则的最小值是_三、解答题（共8小题，共72分）17. 计算下列各题（1）计算：；（2）解方程：18. 已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两个根，满足，求m的值19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本

5、，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.3，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表各组劳动时间的频数分布表：组别时间t/h频数A5BaC20D15E8请根据以上信息解答下列问题（1）A组数据中位数是_；（2）本次调查的样本容量是_，B组所在扇形的圆心角的大小是_；（3）若该校有2400名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数20. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接 （1）求证：四边形是菱形（2）若，求的长21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，为格点三角形，请仅用

6、无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题： （1）在图（1）中，找格点D使且，再在上画点E，使；（2）在图（2）中，M非格点且在上，在上找点N，使最小；然后在上找点P，使22. 某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米（1）_米；（用含x的代数式表示）；（2）若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及

7、墙体所占面积忽略不计）（3）篮球场的面积是否能达到1900平方米？请说明理由23. 如图1，正方形中，点E、F分别是边、上的点， （1）请你直接写出、之间的数量关系：_（2）如图2，在四边形中，与互补，点E、F分别是边、上的点，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；（3）在（1）条件下，若E、F分别在直线和直线上，若，则_24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点， （1）求抛物线表达式（2）直线（其中）与线段交于点，与抛物线交于点，连接，当线段长度最大时，求证：四边形是平行四边形（3）在（2）的条件下，连接，过点的直线与抛物线交于点，若求点的坐

8、标2023-2024学年度武汉市部分学校九年级9月月考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可【详解】解：A.，不是最简二次根式，不符合题意；B.是最简二次根式，符合题意；C.，不是最简二次根式，不符合题意；D.，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查最简二次根式定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键2. 现实世界中，对称

9、现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性下列汉字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用轴对称图形的概念可得答案【详解】解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意；B不是轴对称图形，故此选项不合题意；C不是轴对称图形，故此选项不合题意；D是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 3、1B. 3、1、C. 3、D. 3、4、1【答案】A【解析】【分析】直接根据方程的一般形式，确定二次项

10、系数，一次项系数以及常数项即可【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、1故选A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项4. 将进行配方变形，下列正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式进行配方即可求解【详解】解：，移项得，配方得，即，故选：B【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键5. 下列说法中，正确的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形C.

11、两边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断即可【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，不符合题意；B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意；C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键6. 对于抛物线，下列说法中错误的是（）A. 抛物

12、线与轴没有交点B. 抛物线开口向下C. 顶点坐标是D. 函数有最大值，且最大值为1【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质对B、C、D进行判断；通过判断方程的实数解的个数可对A进行判断【详解】解：A因为方程有两个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有两个交点，故A错误，符合题意；B，抛物线开口向下，故B正确，不符合题意；C抛物线的顶点坐标是，故C正确，不符合题意；D，函数有最大值，且最大值为1，故D正确，不符合题意故选：A【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a、b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程的解，也考查了二次函数的性质7. 已知a、b是一元二次

13、方程的根，则代数式的值是（）A. 3B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再整体代入求解即可【详解】解：a、b是一元二次方程的根，故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键8. 设，是抛物线（m为常数）上的三点，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质可得抛物线（m为常数）的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小【详解】解：抛物线（m为常数）的开口向下，对称轴为直线，又离直线的距离最近，离直线的距

14、离最远，故选：A【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键9. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水面距离都相同在其中一个桥洞中，水面宽度为12米，如图2，拱顶距离水面4米，并建立平面直角坐标系若水位上涨2米，则每个拱桥内水面的宽度是（） A. 4米B. 米C. 6米D. 米【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的解析式为，再令求得或，再结合题意即可解答【详解】解：根据题意知，抛物线与x轴的交点为，其顶点坐标为，设解析式为，将点代入可得：，解得：，则抛物线解析式为，令可得：，解得：或，所以水位上涨2米，则每个拱桥

15、内水面的宽度是（米）故选B【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转换为二次函数问题是解答本题的关键10. 如图，在平行四边形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，若，则的长度为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】如图：连接并延长交于P，连接,过E作交延长线于 I，根据平行四边形的性质得到；再说明，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，根据全等三角形的性质得到，进而求得，再由勾股定理可得，最后运用三角形的中位线定理即可解答【详解】解：连接并延长交于P，过E作交延长线于 I,四边形是平行四边形，点E、F分别是边、的中点，,，在与中，,，点

16、G是的中点，,故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 抛物线的顶点坐标是_【答案】（2，-5）【解析】【分析】直接根据题目中的函数解析式直接写出该抛物线的顶点坐标即可【详解】解：该抛物线的顶点坐标为（2，-5）故答案为（2，-5）【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答12. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出

17、厂价为144元、依题意可列方程为：_【答案】【解析】【分析】平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格元，第二次降价后的价格为元根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可【详解】解：根据题意，列方程为故答案为：【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键13. 关于的方程有实数根，则的取值范围_【答案】【解析】【分析】当时，为一元一次方程，一定有实数根；当时，为一元二次方程，根据根的判别式列不等式求解即可【详解】解：当，即时，为一元一次方程，一定有实数根；当，即时，为一元二次方程，由方程有实数根可得：，解得：且；综上，的取值范围为故

18、答案为【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键14. 我国古代数学经典著作九章算术记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行二百步，善行者追之问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是_【答案】500【解析】【分析】根据题意可知：善行者和不善行者的函数关系式，然后再联立求解，即可得到两个一次函数交点坐标【详解】解：由题意可得：不善行者函数解析式为，善行者函数解析式为,联立可得：，解得：，两图像交点P的纵坐标为

19、500，故答案为：500【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数与二元一次方程组的关系等知识点，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键15. 抛物线过点，对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；若函数图像上有两点和，且，则其中判断正确的序号是_ 【答案】【解析】【分析】根据图象的开口方向、对称轴和与y轴的交点判断；由抛物线与x轴有两个交点判断；再根据抛物线的对称轴和与x轴的交点，求得抛物线与x轴的另一个交点坐标即可判断；因为，得点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，列出不等式求解即可【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，图象与y轴交点在y轴负半轴，故错误；由图象可知抛物线与x轴

20、有两个交点，故正确；由图可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为，把代入解析式得，故正确；，点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，解得：故正确，故答案为：【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段上任意一点在直线上取点E、使，延长到点F，使，分别取、中点M、N，连接，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】如图，连接、，设交于点J，连接，证明四边形是矩形，推出，求出的最小值即可求解【详解】解：连接、，设交于点J，连接，四边形是矩形，当时，的值最小，此时的值最小，且，直线的解析式为，设

21、直线的解析式为，直线经过点，即，直线的解析式为，联立方程组，解得，的最小值为，即的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组，解题的关键是运用转化的思想解决问题三、解答题（共8小题，共72分）17. 计算下列各题（1）计算：；（2）解方程：【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；（2）运用公式法解一元二次方程即可【小问1详解】解：【小问2详解】解：，该一元二次方程的解为：【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算、解一元二次方程等知识点，掌握二次根式的性质和运用

22、公式法解一元二次方程是解答本题的关键18. 已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两个根，满足，求m的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，即可得出结论【小问1详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，解得：；【小问2详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，即，解得：，又在（1）中求出，故答案为【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记当时，方程有实数根；（2）根据，

23、结合，得到关于m的一元二次方程19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.3，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表各组劳动时间的频数分布表：组别时间t/h频数A5BaC20D15E8请根据以上信息解答下列问题（1）A组数据的中位数是_；（2）本次调查的样本容量是_，B组所在扇形的圆心角的大小是_；（3）若该校有2400名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数【答案】（1） （2） （3）1720人【解析】【分析】（1）利用中位数的定

24、义即可解答；（2）由D组的人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以B组所占百分比即可；（3）用总人数乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占百分比即可【小问1详解】解：A组的数据从大到小排列为：， 处于中间位置的数为，A组数据的众数是故答案为：【小问2详解】解：本次调查的样本容量是，B组所在扇形的圆心角的大小是故答案为：【小问3详解】解：（人）答：估计该校学生劳动时间超过的大约有1720人【点睛】本题主要考查频数（率）分布表、扇形图和利用统计图获取信息的能力、用样本估计整体、中位数等知识点利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图是正确解答的关键20. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，

25、平分，过点C作，交的延长线于点E，连接 （1）求证：四边形是菱形（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析； （2）4【解析】【分析】（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线即可解答【小问1详解】证明：，平分，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形；【小问2详解】四边形是菱形，对角线，交于点O，中，在中，O中点，【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平

26、面直角坐标系，为格点三角形，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题： （1）在图（1）中，找格点D使且，再在上画点E，使；（2）在图（2）中，M为非格点且在上，在上找点N，使最小；然后在上找点P，使【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理可确定格点D的位置，以做正方形,连接与的交点即为点E；（2）如图：先利用正方形的性质找到点A关于直线的对称点,连接与的交点即为点N，再找点M关于直线的对称点,连接与的交点即为点P【小问1详解】解：如图（1）：点D、点E即为所求【小问2详解】解：如图（1）：点N、点P即为所求【点睛

27、】本题主要考查了无刻度直尺作图、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键22. 某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米（1）_米；（用含x的代数式表示）；（2）若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计）（3）篮球场的面积是否能达到1900平方米？请说明理由【答案】（1） （2）40米

28、（3）篮球场的面积不能达到1900平方米，理由见解析【解析】【分析】（1）根据各边之间关系，即可用含x的代数式表示出的长；（2）根据围成的篮球场的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；（3）令篮球场的面积等于1900平方米，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式得出方程没有实数根，即可得出结论【小问1详解】解：的长为x米，故答案为：；【小问2详解】解：由题意可得，解得，当时，符合题意；当时，不符合题意，故舍去，答：篮球场宽的长为40米【小问3详解】解：篮球场的面积不能达到1900平方米，理由如下：由题意可得，整理得，该方程没有实数根，篮球场的面积不能达到1

29、900平方米23. 如图1，正方形中，点E、F分别是边、上的点， （1）请你直接写出、之间的数量关系：_（2）如图2，在四边形中，与互补，点E、F分别是边、上的点，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；（3）在（1）的条件下，若E、F分别在直线和直线上，若，则_【答案】（1），理由见解析 （2）（1）中结论仍然成立，理由见解析 （3）或【解析】【分析】（1）如图1，先证，得出，再证明，即可证明结论；（2）如图2，先证，得出，再证明即可证明结论；（3）分点E在线段上延长线上两种情况，分别运用全等三角形的性质和勾股定理求解即可【小问1详解】解：，理由如下：如图1，延

30、长到点G，使，连接， 四边形是正方形，在ABE和ADG中，在和中，；【小问2详解】解：（1）中结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接， ，在和中，在和中，；【小问3详解】解：如图：当点E在线段上时， ，解得：，如图，当点E在线段的延长线上时，在上截取，连接， 在和中，在和中，综上所述：的长为或24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点， （1）求抛物线的表达式（2）直线（其中）与线段交于点，与抛物线交于点，连接，当线段长度最大时，求证：四边形是平行四边形（3）在（2）的条件下，连接，过点的直线与抛物线交于点，若求点的坐标【答案】（1） （2）见解析 （3）【解析】

31、【分析】（1）根据直线经过点B，C，求出B点和C点的坐标，再用待定系数法求解析式即可；（2）由题知，根据二次函数的性质求出的最大值，根据平行且等于得出四边形是平行四边形即可；（3）由，得出直线和直线关于直线对称，由（2）得出Q点的坐标，A的对称点A的坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出D点的坐标【小问1详解】解：直线经过点B，C，当 时，即，当时，即，点B、C在抛物线上，抛物线的解析式为【小问2详解】证明：，有最大值，且当时，的最大值为4此时又，四边形为平行四边形【小问3详解】解：，直线和直线关于直线对称由（2）知，当线段最大时，直线的解析式为此时，设与x轴的交点为，则A和关于PQ对称，即点的坐标为设直线的解析式为，代入点，的坐标，得，解得，直线的解析式为联立，解得，点的坐标为【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质等知识是解题的关键