第十届《希望杯》全国数学邀请赛四年级（第2试）试卷附答案

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1、第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）一填空题（每小题5分，共60分）1（5分）将6个连续的自然数从小到大地排列，如果后3个数的和是前3个数的2倍，那么这6个数中最大的数是 ，这6个数的和是 2（5分）规定：n个a相乘，记为：an观察下面的计算：818；8264；83512；844096；8532768；86262144；872097152；8816777216，而82012除以10，得到的余数是 3（5分）如果6个连续奇数的乘积为135135，那么这6个数的和是 4（5分）今年，姐姐的年龄是妹妹的3倍，2年后，姐姐的年龄将是妹妹的2倍，那么，今年，姐姐的年龄是 岁5（5分）A

2、型电脑的键盘有104个键，比B型钢琴的键的个数的2倍少72个，则B型钢琴的键盘有 个键6（5分）如图表示的是一个建筑的顶部结构的平面图，由11根钢材组成，图中三角形的个数是 7（5分）已知m1，m个连续的自然数的和是33，则m所有可能取的值是 8（5分）有两个数：515，53，将第一个数减去11，第二个数加了11，这算一次操作，那么操作 次后，第一个数和第二个数相等9（5分）将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒子里最多可放 个球，至少要放 个球10（5分）如图所求，AB24（厘米），长方形BDEF中EF15（厘米），阴影BCE的面积是60平方厘米，则DCE

3、的面积是 平方厘米11（5分）一条公交线路的两端分别是A站，B站，公交公司规定：（1）每辆公交车都在50分钟内驶完一个单程（包括在中间站依靠的时间），当达到一端时停驶10分钟（2）A站和B站每6分钟各发一辆车那么，这条公交线路上需要的公交车至少有 辆12（5分）元旦前，小芳给她的五位同学做贺卡，将贺卡装入信封时她装错了，五位同学都没收到小芳给自己做的贺卡，收到的是小芳给别人的贺卡，则一共有 种可能出现的情形二解答题（每题15分，共60分，每题都要写出推算过程）13（15分）某天，M市大雾天气，只能看清楚100米之内的物体甲、乙两人在一条平直的马路边的A点反向同时出发，甲、乙两人的速度分别是4米

4、/秒，6米/秒，1分钟后，甲走到B点，乙走到C点，然后甲、乙同时掉头往回走，此后，多长时间后甲、乙就能彼此看见？此时，甲、乙分别离A多少米？14（15分）某商场大厅的主楼梯如图所示，1楼到2楼共15级台阶，每级台阶高16厘米，每级台阶进深26厘米，已知楼梯宽3米，要在1楼到2楼的楼梯上铺设每平方米80元的地毯，则买地毯至少需要多少钱？15（15分）甲、乙两个商场推出迎新年优惠活动，甲商场规定：“每满200元减101元”乙商场规定：“每满101减50元”小明的爸看中了一双标价699元的运动鞋和一件标价910的羊毛衫，这两类商品在两个商场都有销售，问：怎么买更便宜呢？共需多少钱？请说明理由16（1

5、5分）某次射箭比赛中，所用的箭靶上画有4个同圆心的圆环如图，每个圆环内的数字是射中此圆环时可得到的分数，运动员黄亮射中10支箭，每个圆环都有箭射中，共得110分，问：每个圆环各被射中几支？参考答案解析一填空题（每小题5分，共60分）1（5分）将6个连续的自然数从小到大地排列，如果后3个数的和是前3个数的2倍，那么这6个数中最大的数是7，这6个数的和是27【分析】可先设其中任意一个自然数为n，表示出其他的自然数，根据题意列出方程解答即可【解答】解：设6个连续的自然数为n2，n1，n，n+1，n+2，n+3（n2）+（n1）+n2（n+1）+（n+2）+（n+3）， （3n3）23n+6， n4；

6、所以6个连续的自然数2，3，4，5，6，7，6个数中最大的是7 这6个数的和是27，故答案为：7，272（5分）规定：n个a相乘，记为：an观察下面的计算：818；8264；83512；844096；8532768；86262144；872097152；8816777216，而82012除以10，得到的余数是6【分析】观察“818；8264；83512；844096；8532768；86262144；872097152；8816777216，”知道除去第一项，后面的几个项除以10的余数是4、2、6、8、4、2、6、8、即以4、2、6、8为一组进行循环，因此用20121除以4求出几个循环余几，即

7、可得出答案【解答】解：（20121）4，20114，5023，即一个循环中的第3个数，所以82012除以10，得到的余数是6，故答案为：63（5分）如果6个连续奇数的乘积为135135，那么这6个数的和是48【分析】首先把135135分解质因数，再根据连续奇数的排列规律，相邻的两个奇数相差2，然后根据题意再把135135的质因数作适当的调整计算即可【解答】解：135135333511713；由于是6个连续的奇数，因此除了奇数3，5，7，11，13外，还有：339，所以6个连续奇数分别是：3，5，7，9，11，13，6个连续奇数的和是：3+5+7+9+11+1348；故答案为：484（5分）今年

8、，姐姐的年龄是妹妹的3倍，2年后，姐姐的年龄将是妹妹的2倍，那么，今年，姐姐的年龄是6岁【分析】设妹妹今年的年龄为x岁，则根据“今年，姐姐的年龄是妹妹的3倍，”知道姐姐今年的年龄是3x岁，2年后妹妹的年龄是x+2岁，姐姐是3x+2岁，最后根据“2年后，姐姐的年龄将是妹妹的2倍，”即2年后，姐姐的年龄妹妹的年龄2，列出方程求出妹妹的年龄，进而求出姐姐的年龄【解答】解：设妹妹今年的年龄为x岁，则姐姐今年的年龄是3x岁，则2年后妹妹的年龄是x+2岁，姐姐是3x+2岁，3x+22（x+2），3x+22x+4， x42， x2，姐姐今年的年龄：326（岁），答：今年姐姐的年龄是6岁，故答案为：65（5分

9、）A型电脑的键盘有104个键，比B型钢琴的键的个数的2倍少72个，则B型钢琴的键盘有88个键【分析】根据已知比一个数的几倍少几的数是多少，求这个数，首先求出B型钢琴键的个数的2倍是多少，然后再用除法解答【解答】解：（104+72）2，1762，88（个）；答：B型钢琴的键盘有88个键故答案为：886（5分）如图表示的是一个建筑的顶部结构的平面图，由11根钢材组成，图中三角形的个数是34【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可计数【解答】解：以A为顶点的三角形有：21个，以B为顶点的三角形有：6个，以C为顶点的三角形有：5个，以D为顶点的三角形有：1个，以E为顶点的三角形有：1个，

10、所以共21+6+5+1+134（个），故答案为：347（5分）已知m1，m个连续的自然数的和是33，则m所有可能取的值是2、3、6【分析】因为m1，则m最小为2只要求出m最大为多少即可知道m的取值可能；而m最大的时候，一定是从1开始，1+2+3+4+5+6+72833；1+2+3+4+5+6+7+83533；所以m最大为7因此m的所有可能取值为2到7的自然数；再对m的取值进行验证【解答】解：33216.5，所以16+1733，所以m2 33311 推出 10+11+1233，所以m33348.25 推出7+8+9+1034 所以舍去m43356.6 推出5+6+7+8+935 所以舍去m533

11、65.5 推出3+4+5+6+7+833，所以m6，3374.7，1+2+3+4+5+6+7+828不符合题意 舍去m7，8个连续自然数相加，肯定大于33，所以m不可能是比8大的数所以m的所有可能取值：2、3、6；故答案为：2、3、68（5分）有两个数：515，53，将第一个数减去11，第二个数加了11，这算一次操作，那么操作21次后，第一个数和第二个数相等【分析】515和53两数相差462；515减11，53加11，这样两数就相差22；要让两数相等，也就是把相差的462按515减11，53加11操作，操作多少次就相等，即看462里有几个22，也就操作多少次【解答】解：51553462，11+

12、1122，4622221；答：操作21次以后两个数相等故答案为：219（5分）将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒子里最多可放8个球，至少要放5个球【分析】要使每个盒子都有球，且彼此不同，则最少有一个盒子放1个球，第二个盒子放2个，这时第三个盒子放球最多，用1112，即可得解【解答】解：11128（个），答：将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒子里最多可放 8个球，要是最多的尽量少，应该相互接近，放2，3，4，只能放下11个球，最多的至少放5个故答案为：8，510（5分）如图所求，AB24（厘米），长方形BDEF中EF

13、15（厘米），阴影BCE的面积是60平方厘米，则DCE的面积是30平方厘米【分析】AB和EF的长度已知，于是可以求出三角形ABE的面积，又因三角形BCE的面积为60平方厘米，进而求出三角形ABC的面积，于是就能求出BC的长度，也就能求出DE的长度，进而求出三角形DCE的面积【解答】解：三角形ABC的面积：2415260，18060，120（平方厘米）；BC的长度：120224，24024，10（厘米）；所以DC的长度为：15105（厘米）；DE的长度：6021012（厘米）；所以三角形DCE的面积为：512230（平方厘米）；答：DCE的面积是30平方厘米故答案为：3011（5分）一条公交线路

14、的两端分别是A站，B站，公交公司规定：（1）每辆公交车都在50分钟内驶完一个单程（包括在中间站依靠的时间），当达到一端时停驶10分钟（2）A站和B站每6分钟各发一辆车那么，这条公交线路上需要的公交车至少有20辆【分析】假设第一辆车从A站出发，经过50分钟驶完一个单程到达B站，停驶10分钟，可以再出发驶回A站，此时B站已经出发了60610辆车，这时B站不用再派车，同理从A站也需要派1辆车，据此计算即可解答【解答】解：6062，102，20（辆）；答：这条公交线路上需要的公交车至少有20辆故答案为：2012（5分）元旦前，小芳给她的五位同学做贺卡，将贺卡装入信封时她装错了，五位同学都没收到小芳给自

15、己做的贺卡，收到的是小芳给别人的贺卡，则一共有44种可能出现的情形【分析】（1）当五张贺卡全部发错，且不存在两两互错时，那么1号同学有四种错法，如：1号同学得到是2号贺卡，则2号同学即不得到1号贺卡，也不能得2号贺卡，则只有3种错法，3号同学除不得到3号外，也不能得到1、2号同学已得到的贺卡，只有2种情形，所以有：432124种；（2）当五张贺卡全部发错，且存在两两互错时，那么另外三张也互错；当一组两两互错的同学确定时，余下的3名同学互错只有2种情况；从5名同学中选出2名同学，是5选2，共有10种选法；21020种；所以一共有：24+2044种【解答】解：根据分析，两种情况共有：4321+54

16、22，24+20，44（种）；答：一共有44种可能出现的情形故答案为：44二解答题（每题15分，共60分，每题都要写出推算过程）13（15分）某天，M市大雾天气，只能看清楚100米之内的物体甲、乙两人在一条平直的马路边的A点反向同时出发，甲、乙两人的速度分别是4米/秒，6米/秒，1分钟后，甲走到B点，乙走到C点，然后甲、乙同时掉头往回走，此后，多长时间后甲、乙就能彼此看见？此时，甲、乙分别离A多少米？【分析】1分钟60秒，则1分钟后，两人相距（6+4）60600米，由于大雾天气，只能看清楚100米之内的物体，则两人返回对而行600100500米时，能彼此看见，此时两行了500（6+4）50秒，

17、由于甲去时行了60秒，回来是此时已行了50秒，速度不变，则此时甲距A4（6050）40米，同理乙距A6（6050）60米【解答】解：1分钟60秒，（6+4）60100（6+4）106010010，60010010，50（秒）；4（6050）410，40（米）；6（6050）610，60（米）答：50秒时间后甲、乙就能彼此看见，此时，甲离A40米，乙距A60米14（15分）某商场大厅的主楼梯如图所示，1楼到2楼共15级台阶，每级台阶高16厘米，每级台阶进深26厘米，已知楼梯宽3米，要在1楼到2楼的楼梯上铺设每平方米80元的地毯，则买地毯至少需要多少钱？【分析】地毯的总长度为AC+BC，AC的长度

18、每级台阶高度15，BC的长度15，已知了楼道的宽度，即地毯的宽度，可由长方形的面积公式Sab，求出地毯的总面积，再根据：总价单价面积计算即可【解答】解：16厘米0.16米，26厘米0.26米，（0.16+0.26）15380，0.4215380，1.261580，18.980，1512（元）答：买地毯至少需要1512元15（15分）甲、乙两个商场推出迎新年优惠活动，甲商场规定：“每满200元减101元”乙商场规定：“每满101减50元”小明的爸看中了一双标价699元的运动鞋和一件标价910的羊毛衫，这两类商品在两个商场都有销售，问：怎么买更便宜呢？共需多少钱？请说明理由【分析】由题意可知，这两

19、件商品共需699+9101609（元）由于甲商场规定：“每满200元减101元”160920089元，即需花16098101801元；乙商场规定：“每满101减50元”16091011594元，即需花16095015859元；801元859元，所以在甲商场购买便宜，共需801元【解答】解：699+9101609（元）甲商场：160920089元，即需花16098101801元；乙商场：16091011594元，即需花16095015859元；801元859元，所以在甲商场购买便宜，共需801元16（15分）某次射箭比赛中，所用的箭靶上画有4个同圆心的圆环如图，每个圆环内的数字是射中此圆环时可得

20、到的分数，运动员黄亮射中10支箭，每个圆环都有箭射中，共得110分，问：每个圆环各被射中几支？【分析】根据“每个圆环都有箭射中，”说明至少有四箭分别射中8、12、14、18分，那么剩下的6箭所得分数为：110812141858，然后把58裂项拆分为：588+12+14+18+6，再把6加到其他4个数里，使得到的这个数加6的和，能使另外的三个分值的3倍，只有18+68+8+8合适，所以588+12+14+18+68+12+14+（18+6）8+12+14+8+8+8，据此可以得出每个圆环各被射中的次数【解答】解：因为每个圆环都有箭射中，所以6次射中的得分是：110812141858（分），588+12+14+18+68+12+14+（18+6）8+12+14+8+8+884+12+14，所以：11085+122+142+181；因此，8分被射中了5次，12分被射中了2次，14分被射中了2次，18分被射中了1次