第九届《希望杯》全国数学邀请赛五年级（第2试）试卷附答案

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1、第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）一、填空题（每小题5分，共60分）1（5分）计算：0.152.156 2（5分）15+115+1115+11115+1111111115 3（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3若用这个自然数除以6，得余数 4（5分）数一数图中有 个正方形5（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）如：111111 6488444那么，1000以内的自然数中，这样的数有 个6（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是30

2、8，则这个自然数是 7（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有 个白子8（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍经过60分钟，两人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到达B地后，再经过 分钟，乙到达A地9（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是 平方米10（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克

3、水，依据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装 千克水，小明的桶最多可以装 千克水11（5分）将12011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）则最后一个括号内的各数之和是 12（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍时，爷爷61岁那么，爷爷比小明大 岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是 岁二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程13（15分）如图，大小两个正

4、方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积（直接作图，不写解答过程）14（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？15（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50千米/时经过1小时，两车第一次相遇然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米求：（1）AB两地的距离

5、（2）乙车的速度16（15分）观察以下的运算：若是三位数，因为100a+10b+c99a+9b+（a+b+c）所以，若a+b+c能被9整除，能被9整除这个结论可以推广到任意多位数运用以上的结论，解答以下问题：（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数求N被9除，得到的余数参考答案解析一、填空题（每小题5分，共60分）1（5分）计算：0.152.1564【解答】解：0.152.156，0.15562.10.15872.11.2，4故答案为：42（5分）15+115+1115+11115+1111111115123456793

6、5【解答】解：15+115+1115+11115+11115+1111111115，（10+110+1110+11110+1111110+1111110+11111110+111111110+1111111110）+59，1234567890+45，1234567935故答案为：12345679353（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3若用这个自然数除以6，得余数5【解答】解：设这个商除以4得余数3时所得商为x，则这个商为4x+3，这个自数数为：（4x+3）3+212x+116（2x+1）+5，所以若用这个自然数除以6，得余数5故答案为：54（5分）数一数图中有18个

7、正方形【解答】解：1个小正方形的个数为：13个；含有4个小正方形的大正方形的个数为：4；含有9个小正方形的大正方形的个数为：1故有13+4+118个正方形或直接利用公式先求中间由9个小正方形组成的正方形一共有：32+22+1214，加上四周的4个共14+418个故答案为：185（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）如：111111 6488444那么，1000以内的自然数中，这样的数有3个【解答】解：既是平方数，又是立方数的数一定是完全六次方数，所以：161，2664，36729，464096而46409

8、6超过了1000，所以共有3个故答案为：36（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是385【解答】解：因为，最小的约数为1，所以第二小的约数为1+4，因此最大的约数为本身x，第二大的约数为x5，所以，xx5308， x308， x308， x308， x308， x385；故答案为：3857（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有3个白子【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能

9、有3个答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子故答案为：38（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍经过60分钟，两人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A地【解答】解：设乙的速度是x米/分钟，则甲的速度是3x米/分钟，相遇后甲到达B地的时间：60x（3x2），60x1.5x，40（分钟）；相遇后已到达A地的时间：（603x）x，180xx，180（分钟）；18040140（分钟）；答：当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A地故答案为：1409（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长

10、宽高三个方向锯开1，2，3次得到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是18平方米【解答】解：126+（2+4+6）126+1218（m2）故答案为：1810（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装3.2千克水，小明的桶最多可以装6.4千克水【解答】解：设小丽的桶最多可以装x千克水，则小明的桶最多可以装（80.5x）千克水，根据题意可得方程：5（x3）（80.5x）， x2， x3.2，80.53.26.4（千克），答：小丽的桶最多能装3.2千克，小明的桶最多可装6.4千克故答案为：3.2；6.411（5分）将12011的奇数排

11、成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）则最后一个括号内的各数之和是6027【解答】解：1+2+3+28，即分组规律为每8个数一循环，20102+11006（个），10068125612011中最后6个奇数为：（2001），（2003，2005），（2007，2009，2011）则最后一个括号内的各数之和为：2007+2009+20116027故答案为：602712（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的

12、年龄的8倍时，爷爷61岁那么，爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是31岁【解答】解：（1）设爷爷比小明大x岁，根据题意可得方程： x+1618（61x），整理可得：15x855， x57，（2）小明1岁时，爷爷的年龄是：57+158（岁），爸爸的年龄是：58229（岁）；所以爷爷与爸爸的年龄差是：582929（岁），爸爸与小明的年龄差是：29128（岁）设当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄为y岁，根据题意可得方程：29+y20（y28）， 19y589， y31，答：爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是31岁故答案为：57；

13、31二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程13（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积（直接作图，不写解答过程）【解答】解：答案如图，14（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？【解答】解：设甲乙丙丁分别钓了a、b、c、d条鱼，且abcd，根据题意可得方程：a+b+c+d25，；ab+c，；bc+d，；把代

14、入可得：a2c+d，；把和都代入可得：4c+3d25，解得这个二元一次方程的整数解有：当c1时，d7；当c4时，d3；又因为：cd，所以符合题意的只有c4，d3，所以b4+37；a7+411；答：甲乙丙丁分别钓了11条、7条、4条、3条15（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50千米/时经过1小时，两车第一次相遇然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米求：（1）AB两地的距离（2）乙车的速度【解答】解：（1）第二次相遇地点距A地50+2070千米时，AB两地的距离为：（503+50+20）222

15、02，110（千米）答：AB两地的距离为110千米乙车的速度为：11015011050，60（千米/小时）答：乙车的速度为60千米/小时成第二次相遇时距离A地502030千米时：（503+5020）21802，90（千米）答：AB两地的距离为90千米乙车的速度为：901509050，40（千米/小时）答：乙车的速度为40千米/小时16（15分）观察以下的运算：若是三位数，因为100a+10b+c99a+9b+（a+b+c）所以，若a+b+c能被9整除，能被9整除这个结论可以推广到任意多位数运用以上的结论，解答以下问题：（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数求N被9除，得到的余数【解答】解：（1）201124022；402294468，所以N被9除，得到的余数是8；（2）自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n9余3，所以不妨设n9k+3，则7n7（9k+3）63k+21（63k+18）+39（7k+2）+3；那么N3的各个数位上数字和为7n39（7k+2）能被9整除，所以N3能被9整除，所以N被9除的余数也是3答：（1）N被9除，得到的余数是9，（2）N被9除，得到的余数是3