第十三届《希望杯》全国数学邀请赛六年级（第2试）试卷附答案

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1、第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2试）一、填空题（每小题5分，共60分）1（5分）计算：，得 2（5分）某商品单价先上调，再下降20%才能降回原价该商品单价上调了 %3（5分）请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是 4（5分）若（n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是 5（5分）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）那么，这本书原来有 页6（5分）2015减去它的，再减去余下的，再减去余下的，最后一次减去余下的，最后得到的数是

2、7（5分）已知两位数与的比是5：6，则 8（5分）如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于 9（5分）某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的，此后，增加了6人一起来完成这项工程则完成这项工程共用 天10（5分）将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数12345678920142015，这个多位数除以9，余数是 11（5分）如图，向装有水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的处，则圆柱形容器最多可以装水 立方分米12（5分）王老师开车从家出发去

3、A地，去时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高20%；返回时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距 千米二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程13（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？14（15分）如图，半径分别是15厘米、10厘米、5厘米的圆形齿轮A、B、C为某传动机械的一部分，A匀速转动后带动B匀速转动，而后带动C匀速转动，请问：（1）当A匀速顺时针转动，

4、C是顺时针转动还是逆时针转动？（2）当A转动一圈时，C转动了几圈？15（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？16（15分）如图，点M、N分别是边长为4分米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒求：（1）第1秒时NPQ的面积；（2）第15秒时NPQ的面积；（3）第2015秒时NPQ的面积参考答案解析一、填空题（每小题5分，共60分）1（5分）计

5、算：，得【解答】解：）2（）2（）2（5分）某商品单价先上调，再下降20%才能降回原价该商品单价上调了25%【解答】解：把原价是1设单价上调了x（1+x）（120%）1 （1+x）0.81 1+x1.25 x1.251 x0.25 x25%答：该商品单价上调了25%故答案为：253（5分）请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是3【解答】解：设这个数是a，（a+5）242a2a+62aa+3a3，故答案为：34（5分）若（n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是3【解答】解：当n1时，不等式左边等于，小于，不能满足题意

6、；当n2时，不等式左边等于+，小于，不能满足题意；同理，当n3时，不等式左边大于，能满足题意；所以满足题意的n的值最小是3故答案是：35（5分）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）那么，这本书原来有100页【解答】解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是1+2+nn（n+1），由题意可知，n（n+1）4979，由估算，当n100，n（n+1）1001015050，所以这本书有100页答：这本书共有100页故答案为：1006（5分）2015减去它的，再减去余下的，再减去余下的，最后一次减去余下的，最后得到的数是1

7、【解答】解：2015（1）（1）（1）（1）20151故答案为：17（5分）已知两位数与的比是5：6，则45【解答】解：因为（10a+b）：（10b+a）5：6，所以（10a+b）6（10b+a）560a+6b50b+5a所以55a44b则ab，所以b只能为5，则a4所以45故答案为：458（5分）如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于20【解答】解：如图，设D的面积为x，9：1215：x 9x1215 x x20 答：第4个角上的小长方形的面积等于20故答案为：209（5分）某项工程，开始由6人用35天完

8、成了全部工程的，此后，增加了6人一起来完成这项工程则完成这项工程共用70天【解答】解：总工作量看做单位“1”剩余工作量为1，一个人的工作效率为635，（1）635（6+6）（63512）35（天）35+3570（天）答：完成这项工程共用70天故答案为：7010（5分）将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数12345678920142015，这个多位数除以9，余数是0【解答】解：连续9个自然数的数字和必是9的倍数，201592238，所以可以取出前8位，从9开始后面的数字和正好是9的倍数，12345678的数字和是：1+2+3+4+5+5+7+836，12345678也能被9整

9、除，所以：多位数12345678920142015除以9的余数是0故答案为：011（5分）如图，向装有水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的处，则圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米【解答】解：3.14133（）12.5615188.4（立方分米）答：圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米故答案为：188.412（5分）王老师开车从家出发去A地，去时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高20%；返回时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距3

10、30千米【解答】解：已知去时的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50（1+20%）50千米/小时；返回的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50（1+32%）66千米/小时设总路程为x千米，得：（x+x）（x+x） xx x x330答：王老师家与A地相距330千米故答案为：330二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程13（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？【解答】解：（11111011111）21210+129+128+127+126+025+

11、124+123+122+121+1201024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1（2015）10答：是201514（15分）如图，半径分别是15厘米、10厘米、5厘米的圆形齿轮A、B、C为某传动机械的一部分，A匀速转动后带动B匀速转动，而后带动C匀速转动，请问：（1）当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动还是逆时针转动？（2）当A转动一圈时，C转动了几圈？【解答】解：（1）如图，答：当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动（2）A：B：C15：10：53：2：1答：当A转动一圈时，C转动了3圈15（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面

12、积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？【解答】解：大正方体表面积：666216，体积是：666216，切割后小正方体表面积总和是：216720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（6353）1391（个），这时表面积总和是：526+12691696720，所以不可能有棱长为5的小正方体（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则解得：（2）棱长为3的小正方体要少于（6

13、3）（63）（63）8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，化简：由上式可得：b9c+24，a，当c0时，b24，a24，当c1时，b33，a19.5，（不合题意舍去）当c2时，b42，a15，当c3时，b51，a10.5，（不合题意舍去）当c4时，b60，a6，当c5时，b69，a28.5，（不合题意舍去）当c6时，b78，a3，（不合题意舍去）当c7时，a负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个16（15分）如图，点M、N分别是边长为4分米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒求：（1）第1秒时NPQ的面积；（2）第15秒时NPQ的面积；（3）第2015秒时NPQ的面积【解答】解：（1）第1秒时，如图，NPQ的面积：（1+2）423426（平方分米）；（2）第15秒时，如图，NPQ的面积：（2+1）423426（平方分米）；（3）因为16116，1628，所以，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M，20151612515（秒）所以第2015秒时点P、点Q与第15秒时相同，面积也是6平方分米