第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（二组一试）含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组一试）一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）小林做下面的计算：M37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 2（10分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔1分钟向前跳36米，每跳3分钟就原地玩耍，第1次玩耍0.5分钟，第2次玩耍1分钟，第3次玩耍1.5分钟，第k次玩耍0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒，A地到森林游乐园有2640米，则小龟1分钟爬行 米3

2、（10分）a1，a2，a3，an是满足0a1a2a3an的自然数，且+，那么n的最小值是 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4（10分）长方形O1O2BA的宽AO11厘米，分别以O1与O2为圆心，1厘米为半径画圆O1和圆O2，交线段O1O2于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？5（10分）如图，在直角三角形ABC中，ABC90，ABPAB，BCPBC，ACPAC，且三对平行线的距离都是1，若AC10，AB8，BC6，求三角形ABC上的点到三角形ABC三边距离的最大值6（10分）n张纸片，每张都写有不大于n的3个不同正整数，任意2张纸片恰有一个数是相同的，求纸

3、片上所有写的数的和参考答案一、填空题（共3题，每题10分）1【解答】解：根据题意可设9+（m36），m36，所以是循环节由3个数组成的纯循环小数0.684469是7位小数四舍五入的结果，因此是2个循环节，它的最后一位是循环节的第3位加1得到的，所以循环节的第一位是6，循环节的正确排序是0.所以正确的计算结果是9.648649故答案为：9.6486492【解答】解：依题意可知：小兔子不休息需要2640367324372证明兔子休息了24次24次休息的时间成等差数列0.5，1，12那么休息时间是0.5+1+1.5+2+12150（分钟）兔子的总时间为：150+73+223乌龟的时间是2233220

4、（分）乌龟的速度为：264022012（米/分）故答案为：123【解答】解：设1，令a12，则+，令a23，则+，令a311，则+，所以a4231所以，n最小值是4二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4【解答】解：根据分析，如图，过D作DEAB于E，易知AEO1DO2C，AED与BCO2的面积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO2D的面积111（平方厘米）故答案是：15【解答】解：设设点为P，若点P在AC上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为24，

5、于是有5+3b+4a24可得b，a+b+1然后再分情况进行讨论当a1时，a+b+17，取得最大值7；若点P在BC边上，则同样方法可得a+c+7若点P在AB边上，则同样方法可得b+c+1b+5，而易得b最大是5，所以此时距离和的最大值也是7综上，三角形ABC上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7；答：三角形ABC上的点到三角形ABC三边距离的最大值是76【解答】解：设a是出现最多的数字一共有k张，则这k张纸片一共写有2k+1个不同的数字，因为每个数都不大于n，所以2k+1n因此，kn，所以，至少还有一张纸片没写上a这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同，这些数字彼此不

6、同，而且这个数不是a但是这张纸片上只有三个不同的数字，所以，k3因此，n2k+17另外，n张纸片写有3n个数，同 一个数最多写 3 次，所以，1，2，n 每个数都写了3次如果n7，三张写有1的纸片上有7个不同的数，由于 n7，所以，还有一 个数不出现在这三张纸片上，记为 b写有b的纸片上有3个数，这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字，这个数字不是 1，也不是b但是写有b的纸片上，除了b外，还只有2个数字，不可能与写有1的三张纸片每张都有一个相同的数字所以n7 每个数恰在三张纸片上出现，所有写的数的和为3（1+2+7）32884下面是一个实例：1，2，3；1，4，5；1，6，7；2，4，6；2，5，7；3，4，7；3，5，6