第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）不满足不等式|x+2|x1|2的x应满足的条件是 2（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗则n最小等于 3（10分）自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5S62，S1S21，那么S4S3 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成1

2、1，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？5（10分）将1，2，3，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，a37，其中a137，a21，并使得a1+a2+ak能被ak+1整除（k1，2，36），求a3？a37？6（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资问：这个安置点最少有多少顶帐篷？参考答案一、填空题（共3题，每题10分）1【解答】解：根据分析，即：求|x+2|x1|2的解，先

3、去绝对值，分三种情况：x2时，x+20； x10，故：|x+2|x1|2（x+2）（1x）232，成立；x2；x1时，x+20； x10，故：|x+2|x1|2x+2（x1）22+12，（不符合，舍去）；2x1时，x+20；x10，故：|x+2|x1|2x+2（1x）22x+12x；2x综上，x时，满足不等式|x+2|x1|2，即此时x不满足不等式|x+2|x1|2故答案是：x2【解答】解：设有k个方阵，那么8n225k+3，当k1时，225+3228，不是8的倍数；不符合题意；当k2时，2252+3453，不是8的倍数，不符合题意；当k3时，2253+3678，不是8的倍数，不符合题意；当k

4、4时，2254+3903，不是8的倍数，不符合题意；当k5时，2255+31128，是11288141；答：k最小为5时，n最小为141故答案为：1413 【解答】解：如图，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2AF2+FP2，BP2BF2+FP2，可得AP2BP2AF2BF2，同理，可得BP2CP2BD2CD2，同理，可得CP2AP2CE2EA2，+，可得AF2+BD2+CE2BF2+CD2+EA2，所以（AF2+BD2+CE2）（BF2+CD2+EA2），因此S1+S3+S5S2+S4+S6，所以S4S3（S5S6）+（S1S2）2+13故答案为：3二、解答题（共3题，每题10分，

5、写出解答过程）4【解答】解：设至少挑出n张牌，但是1，2，3，5，8，13中没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，所以n6，若n7，所取的7张牌，从小到大排列为：a1，a2，a7，任取2个am和an，设aman，则21个在112的差，这些差中（1）不可能出现amanakan，（2）若有amananal，即2anam+al（mnl），则不能有m1m，l1l（m1nl1），使得2anam1+al1，否则存在2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，即对于同一个n，出现amananal或2anam+al（mnl）具有唯一性，出现2anam+al（mnl）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，16个取值在112的差，必有两个相同5【解答】解：这37个数的总和是a37的倍数，所以总和3719是a37的倍数，所以a3719；对于a3，a3可以整除a1+a237+138，所以38是a3的倍数，所以a326【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶据题意得：去掉Y得：解得：30X61因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的故车辆X从取整数31开始试起，直到找出适合所列原不等式组Y的值把X31代入原不等式组，解得：故：Y无解把X32代入原不等式组解得：故：Y最小值整数值为213答：这个安置点最少有213顶帐篷