第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（一组一试）含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（一组一试）一、填空题（共3小题，每题10分）1（10分）化简：1a+1（b+） 2（10分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔1分钟向前跳36米，每跳3分钟就原地玩耍，第1次玩耍0.5分钟，第2次玩耍1分钟，第3次玩耍1.5分钟，第k次玩耍0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒，A地到森林游乐园有2640米，则小龟1分钟爬行 米3（10分）A、B、C、D用10、20、30、40四个数的一个排列代入，使得式的值最大，则A+2B+3C+4D的值为 二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）4（10分

2、）长方形O1O2BA的宽AO11厘米，分别以O1与O2为圆心，1厘米为半径画圆O1和圆O2，交线段O1O2于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？5（10分）对于十进制自然数n，S（n）表示n的数码和，三位数中满足S（a）S（2a）的数a有多少个？6（10分）n张纸片，每张都写有不大于n的3个不同正整数，任意2张纸片恰有一个数是相同的，求纸片上所有写的数的和参考答案一、填空题（共3小题，每题10分）1【解答】解：1a+1（b+）1；故答案为：12【解答】解：依题意可知：小兔子不休息需要2640367324372证明兔子休息了24次24次休息的时间成等差数列0.5，1，12

3、那么休息时间是0.5+1+1.5+2+12150（分钟）兔子的总时间为：150+73+223乌龟的时间是2233220（分）乌龟的速度为：264022012（米/分）故答案为：123【解答】解：根据分析，要使得分数最大，分母要取最小值，则A10，则A后面的分数要最大，分母要最小，则B20，B加的后面那个分数要最小，分母要越大，故C40，D30则A+2B+3C+4D10+220+340+430290故答案为：290二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）4【解答】解：根据分析，如图，过D作DEAB于E，易知AEO1DO2C，AED与BCO2的面积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于

4、正方形EBO2D的面积111（平方厘米）故答案是：15【解答】解：解法一：以下用a表示满足条件的三位数0S（2a）S（a）S（2aa）S（a）（mod9），所以a是9的倍数，是9的倍数的三位数有129，139，1119共计100个，（1）数码5xyz0，且数字和为9的数组x，y，z4，4，1，4，3，2，3，3，3数组4，4，1可以组成3个三位数，数组4，3，2可以组成6个数字，数组3，3，3可以组成1个三位数这10个数不满足条件（2）设a100x+10y+z，x，y，z为数码，则2a1002x+102y+2z若x，y，z中有一个不小于5时，例如y5则2y10+m，0m82a100（2x+1）

5、+10m+2z，S（2a）2x+1+m+2z2x+1+（2y10）+2z2（x+y+z）92S（a）9，完全一样可以证明，当x，y，z中有k（0k3）个数码大于5时，S（2a）S（a）9k，因此数码x5yz0，且其和为9的数组x，y，z所组成的三位数是满足条件的数数码和为9的三位数不可能有2个大于4的数码（3）三个数码和是18的三位数，至少有2个数码大于4，由上面的说明，三个数码个位18的三位数恰好有2个数码大于4时这样的三位数满足条件，三个数码和为19，恰有3个数码大于4的数组x，y，z，xyzx，y，z5，5，8；5，6，7；6，6，6；用数码5，5，8可组成3个数字，用数码5，6，7可组

6、成6个三位数，用数码6，6，6可组成1个三位数，共计10个，这10个三位数不满足条件（4）三个数码和为27的三位数只有999，满足条件综上所述，这100个9的倍数的三位数中，有20个不满足条件，所以满足条件的三位数有80个解法二：三位数中9的倍数每100个数中都有10个是9的倍数从100999共有100个9的倍数当S（a）9需要进位一次是满足条件，三位数字都是小于5的组合没有进位不满足条件：（2，3，4）组合共6个数字，（1，4，4）组合共3个数字，（3，3，3）共1个数字S（a）18时需要进位两次满足条件，三位数字都大于4的组合进位三次不满足条件：（5，5，8）组合共3个数字，（5，6，7）

7、组合共6个数字，（6，6，6）组合1个数字S（a）27时，999满足条件100个9的倍数中有20个不满足条件1002080故答案为：806【解答】解：设a是出现最多的数字一共有k张，则这k张纸片一共写有2k+1个不同的数字，因为每个数都不大于n，所以2k+1n因此，kn，所以，至少还有一张纸片没写上a这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同，这些数字彼此不同，而且这个数不是a但是这张纸片上只有三个不同的数字，所以，k3因此，n2k+17另外，n张纸片写有3n个数，同 一个数最多写 3 次，所以，1，2，n 每个数都写了3次如果n7，三张写有1的纸片上有7个不同的数，由于 n7，所以，还有一 个数不出现在这三张纸片上，记为 b写有b的纸片上有3个数，这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字，这个数字不是 1，也不是b但是写有b的纸片上，除了b外，还只有2个数字，不可能与写有1的三张纸片每张都有一个相同的数字所以n7 每个数恰在三张纸片上出现，所有写的数的和为3（1+2+7）32884下面是一个实例：1，2，3；1，4，5；1，6，7；2，4，6；2，5，7；3，4，7；3，5，6