第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（三组一试）含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组一试）一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3分钟就原地玩耍2分钟；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息和玩耍已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A地到森林游乐园有 米2（10分）小林做下面的计算：M37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 3（10分）a1，a2，a3，an是满足0a1a2a3an的

2、自然数，且+，那么n的最小值是 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4（10分）蓝精灵王国的A，B两地的距离等于2010米，国王每分钟派一名信使从A地向B地送信第1号信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米，直到派出第2010号信使为止问哪些信使能同时到达B地？5（10分）如图，在直角三角形ABC中，ABC90，ABPAB，BCPBC，ACPAC，且三对平行线的距离都是1，若AC10，AB8，BC6，求三角形ABC上的点到三角形ABC三边距离的最大值6（10分）13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个数参考答案一、填空题（共

3、3题，每题10分）1【解答】解：如线段图所示：每五分钟，兔子比龟快：4035070（米）15秒即分钟，兔走4010米6：40至9：00中间140分钟140101400（米）1400101390（米）13907019（组）即19个5分钟19595（分钟）则兔子第一阶段的路程：191202280（米）龟第一阶段的路程：1390+95102340（米）第二阶段：2340228060（米）60（4010）2（分钟）95+297（分钟）总路程：1400+97102370（米）2【解答】解：根据题意可设9+（m36），m36，所以是循环节由3个数组成的纯循环小数0.684469是7位小数四舍五入的结果，因

4、此是2个循环节，它的最后一位是循环节的第3位加1得到的，所以循环节的第一位是6，循环节的正确排序是0.所以正确的计算结果是9.648649故答案为：9.6486493【解答】解：设1，令a12，则+，令a23，则+，令a311，则+，所以a4231所以，n最小值是4二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4【解答】解：设第m名与第n名信使同时抵达B地则由tmn得出n，再得出n，则mn201023567，由此看出同时抵达B地的信使成对出现，共8对：（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）；答：有（

5、1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）这8对信使各自两人同时到达5【解答】解：设设点为P，若点P在AC上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为24，于是有5+3b+4a24可得b，a+b+1然后再分情况进行讨论当a1时，a+b+17，取得最大值7；若点P在BC边上，则同样方法可得a+c+7若点P在AB边上，则同样方法可得b+c+1b+5，而易得b最大是5，所以此时距离和的最大值也是7综上，三角形ABC上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7；答：三角形ABC上的点到三角形ABC三边距离的最大值是76【解答】解：99691106，所以这13个数的数码和除以9也6，又因为这13个数的数码和都相等，所以这13个数的数码和可能是6、15、24；数字和为6的最小13个数分别是6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150这13个数的和正好是996所以这13个数是：6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150