第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（一组二试）含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（一组二试）一、填空题（共3小题，每题10分）1（10分）不满足不等式|x+2|x1|2的x应满足的条件是 2（10分）分别写有 1、2、3、4、5 的五张纸片，从小到大正面向上，摞成一摞现在将 1、3 和 5 反面后，仍放在原来位置将整摞纸片从任一张纸片分成两摞，将上一摞整摞反转后再放在下一摞上，或者把 5 张纸片整摞反转，算是一次“反转”若要使上述摆放的五张纸片都转变成正面向上的状态，则至少要进行 次“反转”（有数字的面为正面）3（10分）a表示不大于a的最大整数，已知（+1）（+1）（+1）（+1）被13除的余数是7，则不超过48的最大的正整

2、数k 二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）4（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？5（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资问：这个安置点最少有多少顶帐篷？6（10分）（1）如图1中 的大正方形被分成了4个小长方形已知黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等证明，一定能将这两个黑色小长方形完整地对接拼成为一个大长方形（2）如果图2所

3、示的大正方形中黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等还能将这些黑色小长方形完整地对接拼在一起成为一个大长方形吗？参考答案一、填空题（共3小题，每题10分）1【解答】解：根据分析，即：求|x+2|x1|2的解，先去绝对值，分三种情况：x2时，x+20； x10，故：|x+2|x1|2（x+2）（1x）232，成立；x2；x1时，x+20； x10，故：|x+2|x1|2x+2（x1）22+12，（不符合，舍去）；2x1时，x+20；x10，故：|x+2|x1|2x+2（1x）22x+12x；2x综上，x时，满足不等式|x+2|x1|2，即此时x不满足不等式|x+2|x1|2故答案是：x2

4、【解答】解：如果把整摞纸片看成为，每一部分都是同方向的：“子摞”而成，因此原来的整摞纸片有5摞纸片组成，一次“反转”只能从一张纸片开始，把上部分最上面的纸片与下部分的上面第一张纸片相邻，中间次序没有发生变化，一次反正后“子摞”数只会出现三种情况：增加1，不变，减少1，并且整摞反转时，“子摞”数目，不会发生变化按照要求，要把5变成正面向上，一定有一次5张纸片一次反转，而整摞的数码保持不变，要把5个“子摞”变成一个子摞，至少“反转”4次，因此，至少反转5次，下面说明5次可以保证5张纸片都是正面向上的状态：即：先将1先“反转”，再将1和2同时反转，依次再反转2，1，3，再反转3，1，2，4，最后反转

5、4，2，1，3，5就全都正面向上了，共5次，（此种反转为其中一种），故答案为：53【解答】解：前6个数相乘的积是1111111；第7个数到第13个数的积是2222222128；12813911；第14个数到第20个数的积是33333332187，2187131683；11333，331327；第21个数到第27个数的积是444444416384，163841312604；4728，281322；第28个数到第34个数的积是555555578125，781251360098；2816，161313；第35个数到第41个数的积是6666666279936，27993613215337；3721，2

6、11318；因为8777719208，192081314777，所以k是45二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）4【解答】解：设至少挑出n张牌，但是1，2，3，5，8，13中没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，所以n6，若n7，所取的7张牌，从小到大排列为：a1，a2，a7，任取2个am和an，设aman，则21个在112的差，这些差中（1）不可能出现amanakan，（2）若有amananal，即2anam+al（mnl），则不能有m1m，l1l（m1nl1），使得2anam1+al1，否则存在2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，即对于同一个

7、n，出现amananal或2anam+al（mnl）具有唯一性，出现2anam+al（mnl）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，16个取值在112的差，必有两个相同5【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶据题意得：去掉Y得：解得：30X61因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的故车辆X从取整数31开始试起，直到找出适合所列原不等式组Y的值把X31代入原不等式组，解得：故：Y无解把X32代入原不等式组解得：故：Y最小值整数值为213答：这个安置点最少有213顶帐篷6【解答】解：（1）如图：，S长方形APKM+S长方形KNCQS长方形PBNK+S长方形KQDMAPPK+KNKQPKKN+APKQAPPKAPKQPKKNKNKQAP（PKKQ）KN（PKKQ）AP（PKKQ）KN（PKKQ）0（APKN）（PKKQ）0从而得出APKN或PKKQ，从而得出两个黑色长方形的边中一定有一条是相等，从而能拼成一个大长方形（2）同理可证明这些黑色小长方形完整地对接拼在一起能拼成一个大长方形