第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第2试）含答案

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1、第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第2试）一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是 2（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69则三角形AED的面积等于 3（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4有5

2、7个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分则这个六边形的周长至少是多少？5（10分）黑板上写有1，2，3，2011一串数如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？6（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）（22011+1）的末两位的数字参考答案解析一、填空题（共3题，每题10分）1【解答】解：36（1+2）36312（人）；设买2支铅笔的人数是x人1221+2x+（12x）350 24+2x+3

3、63x50 60x+x50+x 605050+x50 x10；答：买2支铅笔的人数是10故答案为：102【解答】解：若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，所以ADE的高为ADB和ADC的高的平均数，因此ADE的面积就等于ADB和ADC的面积的平均数所以，SADE（SADB+SADC）2（45+18+18+69）275；答：三角形AED的面积等于753【解答】解：这个数列：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0（20113）8251（0+3+3+2+0+1+3+0）251+1+7+812251+163028故答案为：3028二、解答题（共3题，每题10分

4、，写出解答过程）4【解答】解：我们把一个等边三角形每条边2等分，可以连结各边中点一共构成224个小等边三角形；如果把每条边3等分，连结各边三等分点一共构成339个小等边三角形；以此类推，把每条边n等分，连结各边n等分点一共构成nn个小等边三角形77578899，8864，64577，7不能分解成为3个完全平方数之和的形式，9981，814+4+16，所以我们就可以把这57个小三角形放在如图所示的等边三角形中，每条边被9等分，ABC的边长为9，三个角各被切除一部分，此时DE5，EF2，FG3，GH4，HI3，DI2，则DE+EF+FG+GH+HI+DI19，即这个六边形的周长至少是19答：这个六

5、边形的周长至少是19故答案为：195【解答】解：（1）1+2+3+2011（1+2011）201122012201122023066答：最后剩下的这个数是2023066（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于1616256个数，这256个数的和也同上2011（161）x256，x117次，显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数原有2011个数，和2023066操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和这117个和2023066（1873+2011）13921753128操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和

6、2023066操作1次，黑板剩余1个数2023066综上，所有出现过的数2023066+1753128+2023066+202306678223266【解答】解：设n（21+1）（22+1）（23+1）（22011+1），由于各因数2k+1均为奇数，其中22+15，26+165513，所以n0（mod25），此时知n的末两位数字要么为25，要么为75又21+13（mod4），对k2，都有2k+11（mod4），所以n3（mod4），即n的末两位数字被4除余3，而251（mod4），753（mod4），所以n的末两位数字为75答：（21+1）（22+1）（23+1）（22011+1）的末两位的数字75