第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第1试）含答案

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1、第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第1试）一、填空题（共3题，每题10分）1（10分）计算：+ 2（10分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，AEED，且EF2FC，那么ABF的面积是 3（10分）某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗则这段时间有 天，其中全天晴有 天二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4（10分）已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且a2+bc求所有满足条件的（a，b，c）5（10分）纸板上写着100、200、400三个自然数

2、，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数那么k最大是多少？6（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：（1）正三角形各边上的数之和相等；（2）正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等问：有多少种不同的填入方法？（注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）参考答案一、填空题（共3题，每题10分）1【解答】解：+1+1故答案为：2【解答】解：连接DF，易得SABF+SDCFSABCD6，根据A

3、EED可得SECDSABCD3，根据EF2FC可得SDFCSECD1，则SABF615；答：ABF的面积是5故答案为：53【解答】解：白天或夜间晴朗：6+713（个）；不是全天下雨的天数共有：（9+13）211（天）；总天数为：11+112（天）；全晴天有：1292（天）答：这段时间有12天，其中全天晴有2天故答案为：12，2二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4【解答】解：由分析可知：a33，a21089，c1111，b22，符合题意；a44，a21936，c2222，b296，不符合题意；a55，a23025，c3333，b308，不符合题意；a66，a24356，c4444，b

4、88，符合题意；a77，a25929，c6666，b737，不符合题意；a88，a27744，c7777，b33，符合题意；a99，a29801，c9999，b198，不符合题意；满足要求的解有三组：（a，b，c）（33，22，1111），（66，88，4444），（88，33，7777）5【解答】解：100、200、400最多称出6种重量：100、200、300、500、600、700；再加一个砝码A，有不放、放左边、放右边三种情况，最多：6318种；另外，与400组合和与差有2种，共20种；再加第二被砝码B，同上最多有：20360种；与400、A分别组合和与差有4种，共64种答：k最大是6

5、46【解答】解：依题意可知设字母如图所示：a+b+c+dd+e+f+gg+h+i+aPa2+b2+c2+d2d2+e2+f2+g2g2+h2+i2+a2Q（mod3）由3Pa+b+c+d+d+e+f+g+g+h+i+a45+a+d+g得a+d+g0（mod3）3Qa2+b2+c2+d2+d2e2+f2+g2+g2+h2+i2+a2285+a2+d2+g2得：a2+d2+g20（mod3）由（3）和（4）得到adg0（mod3）按照余数分类3，6，9余数是0，1，4，7余数是1，2，5，8余数是2首先设a1，d4，g7则b+c+e+f+h+i451233那么b+c+e+f+h+i3（b+c）63，b+c14（1）、b+c9+5，e+f2+6，h+i8+3由于两边中间数都可以互换，所以共有238种情况（2）、b+c8+6，e+f3+5，h+i9+2，又是8种对于a2，d5，g8和a3，d6，g9也各有16种因此一共有48种综上所述共48种