第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）含答案

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1、第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题3分，共80分）1（3分）算式1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）得值为 2（3分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为 3（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加6其面积增加了114那么这个长方形的面积 4（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存

2、粮的袋数是甲粮库的2倍如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍那么甲粮库原来最少存有 袋粮食5（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力每种巧克力的数量都超过633颗规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有 名同学6（3分）张兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和那么这一年他 岁7（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为2按图所示数据，这个五棱柱的体积等于 8（3分）在乘法算式中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同数字，那么所代表的四位数最小是 二、解

3、答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由10能否用500个如图所示的12的小长方形形成一个5200的大长方形，使得5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由11将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）23025，所以3025是一个拉布列克怪数请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？12已知98个

4、互不相同的质数p1，p2p98，记Np+p+p，问：N被3除的余数是多少三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）13小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？14把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？参考答案一、填空题（每小题3分，共80分）1【解答】解：1010.55.214.6（9.25.2+5.

5、43.74.61.5），1010.55.214.69.25.25.43.7+4.61.5，1010.55.2（14.69.2）5.43.7+4.61.5，1010.55.25.45.43.7+4.61.5，1010.55.4（5.23.7）+4.61.5，1010.55.41.5+4.61.5，1010.51.5（5.4+4.6），1010.515，100.7，9.3故答案为：9.32【解答】解：设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个， x+a+b4a， x3ab，3a+3x2b+2x， x2b3a，把x3ab代入进行计算，3ab2b3a， 3b6a， a：b1：2，原来箱子里红球与黑球

6、数量之比为1：2故答案为：1：23【解答】解：设长方形的长和宽分别为a和b，则a+b（11466）613，根据体积比为5：8可知：，化简为，再化简为，而a+b13，所以a、b分别为8和5，而积为5840，答：这个长方形的面积为40故答案为：404【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a90）b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c6（bc）（2）；由（1）式得b2a270 （3），将（3）代入（2），并整理得11a7c1620，由于ca232+又a、c是正整数，从而有1，即a148；并且7整除4（a+1），又因为4与7互质，所以7整除a+

7、1，a+1最小为154，则a最小是153答：甲库原来最少存粮153袋故答案为：1535【解答】解：根据题干分析可得：一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+435；这35种情况可以看做35个抽屉，2113561；所以6+17（人），答：人数最多的一组至少有7人故答案为：76【解答】解：设那一年是19AB年；根据题意可得：1900+10A+B19531+9+A+B， 10A+B5310+A+B， 9A63， A7；因为他的年龄是9的倍数，那么1+9+A+B是9的倍数；1+9+7+B17+B是9的倍数；那么B1时，17+118是9的倍数；所以，在1971年，他的年龄是9的倍数并且是这一

8、年的各位数字之和；这一年他的年龄是：1971195318（岁）答：这一年他18岁故答案为：187【解答】解：（2211）2（40.5）23.527；故答案为：78【解答】解：有9个汉字，没有0，所以9个汉字对应19，9个数字；要求最小，那么“花”和“草”我们只能取1和2；根据两个数和一定，差越小积越大，我们选择“花”为1，“草”是2；“春”字只能取3或者4；，中，个位的三个数字，至少有2个是5、6、7、8、9这五个人数字中的2个；一个数与5相乘的末尾不是0就是5，因此不能有5；又因为6742，个位是2，有重复不可以；依次判断，只能是6954，或者7856，或者7963；当是7856时，有281

9、574396，这时最小故答案为：4396二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：如图，连结AC因为ABCD，所以SDCESDCA（同底等高）S四边形ABOD+SODKSABK，S四边形ECKO+SODKS四边形EDKCSDCE+SDCKSADC+SCDKSACK，又因为DCAB，所以AKCSAKB所以S四边形ABOD+SODKS四边形ECKO+SODK即S四边形ABODS四边形ECKO；故答案为：相等10【解答】解：可以使5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500个小长方形就有500个小星星，5005100（个），每行100个是偶数；500200

10、2（个）100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+24（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数；所以可以使5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星11【解答】解：设该数的前两位为x，后两位为y于是有（x+y）2100x+yx+y+99x，即：（x+y）（x+y1）99x，从而看出x+y与x+y1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），可以找出满足条件的三个数：45，55和99，平方得2025，3025，9801；即符合：（20+25）22025；（30+25）23025；（98+1）29801；答：在四位数中的卡

11、不列克怪数有：2025，3025，980112【解答】解：（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，所以N被3除的余数就是98被3除的余数，是2；（2）如果有3，那么剩下97个除以3余13的平方除以3余数是0，那么N除以3的余数1答：N被3除的余数是1或2三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：小华出划定区域用时为（2）9，小张出划定区域用时（2）10，109，所以为9秒；80（12），80，70（秒）；72（1+2），72，81（秒）；817011（秒）；第三次：小华135153，小张150170范围150153时间为3秒；小华入划定区域

12、用时（12）63（秒），出区域时间（1+2）81（秒）；816318（秒）；综上：答案为：3，9，11，18答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为3，9，11，18秒14【解答】解：设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块，根据题意可得x+y+z40410，xy+xz+yz66233，由和可得，x2+y2+z210223334，并且x、y、z5，由可得，（x+y）（x+z）x2+33，若x1，（1+y）（1+z）12+33217134，那么x和y是：211，17116，或110，34133，都不合x、y、z5，舍去；同理，若x2，（2+y）（2+z）22+33137，那么x和y是：121，37235，不合x、y、z5，舍去；若x3，（3+y）（3+z）32+33426731414221，显然，314和142都不合要求，那么x和y是：633，734，符合x、y、z5；若x4，（4+y）（4+z）42+334977，那么x和y是：743，743，符合x、y、z5；并且和上一种情况是同一种情况，若x5，（5+y）（5+z）52+3358158，显然，那么x和y是：154，58554，不符合x、y、z5；所以，长方体的长、宽、高是：4+26，3+25，3+25，所以，体积是：655150；答：这个长方体的体积是150