第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）含答案

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1、第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一填空题（每小题10分，共80分）1（10分）算式 （）的值为 2箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为 3（10分）设某圆锥的侧面积是10，表面积是19，则它的侧面展开图的圆心角是 4设ab和ab分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，343，344，那么对于不同的自然数x，64（x5）的取值共有 个5（10分）某水池有A，B两个水龙头如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开

2、10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满如果单独打开B龙头注水，需要 分钟才可将水池注满6如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为2按图所示数据，这个五棱柱的体积等于 7（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇那么O与B两点的距离是 米8（10分）从1到1000中最多可以选出 个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和二解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。9（10分）一个四位数与它的反序数之差可

3、否为1008？请说明理由10（10分）已知99个互不相同的质数p1，p2，p99，记作N+，问N被3除的余数是多少？11（10分）能否用500个如图所示的12的小长方形形成一个5200的大长方形，使得5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由12（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同币值的纸币，4枚不同的硬币纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整除问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸币，面值为5角、1

4、角、5分、2分和1分的硬币找零）三解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点已知，平行四边形ABCD的面积是1，三角形BHC的面积是，求三角形ADG的面积14（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？参考答案一填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：（），；故答案为：2【解答】解：1：1：32：61：23：6321615原有红球为2份、黑球为5份故：原来箱子里的红球与黑球之比为2：53【解答】解：设角度

5、为A侧面半径为R，则有R210，2R6，解得：A324度答：它的侧面展开图的圆心角是324度故答案为：324度4【解答】解：当x5时，x55，4（x5）5，64（x5）5；当x4时，x5x，4（x5）4，64（x5）4故答案为：25【解答】解：1（1）40，1，60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满故答案为：606【解答】解：（2211）2（40.5）23.527；故答案为：77【解答】解：设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620x）米，所以乙走了（1620x）米，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3（1620x）米；因为ABAO+OB，得到：3

6、x1620+3（1620x），6x6480， x1080；O与B两点的距离是：3（16201080）1620（米）；答：O与B两点的距离是1620米故答案为：16208【解答】解：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，对被3除余2的所有数也如此，即2+24，43还是余1，在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；故答案为：334二解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。9【解答】解：设这个四位数为，如果这个四位数与它的反序数之差为

7、1008，则a9，d1，所以2000，10081000，则是四位数，1008是三位数，没有这样的数所以，一个四位数与它的反序数之差不能为100810【解答】解：除3外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，所以99个余数1加起来是99，再除以3，余数为0；若这些质数中有3，因为3233，余数为0，所以99个余数加起来是98，983322，答：N除以3的余数是0或2故答案为：0或211【解答】解：可以使5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500个小长方形就有500个小星星，5005100（个），每行100个是偶数；5002002（个）100（个）；再把余下

8、的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+24（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数；所以可以使5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星12【解答】解：能够被3整除，50+20+10+181元，50+10+5+166元，20+10+5+136元，取最小的数是36元，能被7整除是50+10+2+163分，36元+63分36元6角3分，100元36元6角3分63元3角7分；答：小明最多用了63元3角7分钱三解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13【解答】解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah1AE，BE，h1计算F点在CD上的位置：SBEHBEh

9、2SBCH，a，；h12SBEHBE（h1为BEH之BE边上的高），2a，；SCFHCF（hh1）2，CFh2SBCH，所以CF（）2CF2， CFCF， CF， CF；DFDCCF；2计算ADG的面积：SADGSADESAEG，AEh2AEh22，（h2为AEG之AE边上的高）2h22，h2，（1）SADGSADFSDFG，DFh2DF（hh2）2，（DFh2）2，h22，h2，（2）（2）代入（1）可得：h2h2，h2h2， h2，SADGh2，；答：ADG的面积是14【解答】解：总和a100x+99002100x+4950，如果100x+4950两数相加没有进位，则数字和x的数字和+4+9+550，x的数字和32，x至少是5位数：99950；如果100x+4950两数相加t次进位，则数字和x的数字和+4+9+59t50，x的数字和9t32，进位一次则x的数字和41，最小199949；进位2次则x数字和50，最小699899；更多进位，x位数也必超过5所以x最小是99950