第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）含答案

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1、第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1（3分）计算：190.125+281+12.5 2（6分）农谚逢冬数九讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，九九，冬至那天是一九的第一天2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是 九的第 天3（3分）某些整数分别被，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，则满足条件且大于1的最小整数是 4（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP4：1，QC：AQ2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积

2、是 5（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个； 乙班分，每人4个还剩11个； 丙班分，每人5个还剩12个那么这筐苹果至少有 个6（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为 7（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米两车分别到达B地和A地后，立即返回返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为 千米8（3分）用“学”和“习”代表两个不同

3、的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有 个二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？10（10分）如图，三角形ABC中，AD2BD，ADEC，BC18，三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？11（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务问：共有多少人参加了植树？12（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，

4、则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）用八个如图所示的21的小长方形可以拼成一个44的正方形若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？14（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分

5、别相同参考答案一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1【解答】解：190.125+281+12.5190.125+2810.125+1000.125（19+281+100）0.1254000.12550故答案为：502【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月10日的元旦共有11+31+1052天，52957，说明已经经过了5个9天，还余7天，这一天就是六九的第7天答：2013年的2月10日是六九的第7天故答案为：六，73【解答】解：设这个数为x，则：xx，xx，xxxx因此这个数应是分母的最小公倍数+1，即57911+13465+13466答：满足条件且大于1的最小整数是3

6、466故答案为：34664【解答】解：连结QD，作EFAB，交AD于F，交BC于E，QGDC于G，因为正方形ABCD的面积为25，所以ADEF5；因为QC：AQ2：3，根据正方形的对称性，所以QEQG2，QF3因为PD：AP4：1，所以AP1，PD4SPQDS正方形ABCDSCQBSDQCSPQDSPAB25252252432152255562.56.5答：三角形PBQ的面积是6.5故答案为：6.55【解答】解：10331，11423，12522，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，所以苹果至少：345+760+767（个）；答：这筐苹果至少有

7、67个故答案为：676【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：4416，小正方体一个面的面积是：44312416610，所以这个立体图形的表面积是：166+10496+40136，答：这个立体图形的表面积为136故答案为：1367【解答】解：甲乙两车的速度比是：40：602：3，甲车加速后是每小时行：60（1+）60千米，（1）250（）50（）50（千米）答：两地相距千米故答案为：8【解答】解：根据题干分析可得：111122222468642，111133333702963，111144444937284，它们的积的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习1，所以“”

8、所能代表的两位数有21、31、41，一共有3个答：“”所能代表的两位数共有 3个故答案为：3二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：图中共有长方形：2110210（个），含有A的标记*的长方形：41560（个），含有B的标记*的长方形：41560（个），含有标记A和标记B的长方形：4416（个），所以含有*的长方形：60+6016104（个），不含“*”的长方形：210104106答：不含“*”的长方形有106个10【解答】解：设SAFCS四边形DBEF1，SCEFx，SADFy，因为AD2BD，所以，即，解得y2x+1则，所以所以ECBC186，则ADEC6又

9、因为AD2BD，BDAD2623综上，ABAD+BD6+39答：AB的长度是911【解答】解：设原来a人，每人b棵ab2013，a52（a5）5b3（a5）2（a5）5b3（a5）5b在0.5（a5）附近20133361符合a61，b33共有61人参加植树答：共有61人参加了植树12【解答】解：每个正方体总点数为1+2+3+4+5+621，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少根据相邻边的点数推出：最上面正方体底面点数为5；右面正方体的左面的点数为6；中间正方体5的对面是2，因此被遮住部分的总点数为215268；左边正方体右面的点数为6因此立体的表

10、面上（包括底面）所有黑点的总数至多是84（5+6+8+6）842559故答案为：59三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：如图：答：以拼成4种两条对角线都是其对称轴的正方形图形14【解答】解：（1）因为 a1，a2，a3，ai；b1，b2，b3，bj；c1，c2，c3，ck包含了1到30的所有整数，所以n30，另一方面，3155a1+a2+a3+ai+b1+b2+b3+bj+c1+c2+c3+ck1+2+3+304653155所以ni+j+k30，三种分类的类数之和是30（2）不妨设a130，记这30个盒子的类为A类因为i+j+k30，必有j14或k14，不妨设j14A类的30个盒子分到这不超过14个类中去，必有一类至少有三个盒子，这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同