第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）含答案

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1、第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：57.6+28.814.480+10=2（10分）甲、乙、丙、丁四人共植树60棵已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树 棵3（10分）某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为 4（10分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成 个两两都是友国的三国联盟5（10分）由四个互

2、不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是 ，最小的是 6（10分）如图，三角形ABC的面积为1，DO：OB1：3，EO：OA4：5，则三角形DOE的面积为 7（10分）三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有 种可能数值二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）8（10分）将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由9（10分）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为

3、整数），余下部分的体积为120，求x和y10（10分）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？11（10分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）12（15分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC1：2，四边形EBFC为平行四边形，F

4、M与BC交于点G若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积13（15分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？参考答案一、填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：57.6+28.814.480+1057.6+57.657.620+1057.6（+20）+1057.6（2020）+1057.60+100+10102【解答】解：60（1）60（1）6013

5、（棵）答：丁植树13棵故答案为：133【解答】解：一个偶数除以3，4，5，6以后余数都是2那么这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数3，4，5，6的最小公倍数：345120，120+2122故答案为1224【解答】解：用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系，选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有135，136，146，246，247，257，357，一共7种（为了直观我们用1，2，3，4，5，6，7分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7），所以对于一种这样的星球局势，共可以组成7个两两都是友国的三国联盟故

6、答案为：75【解答】解：设四个互不相同的数字为a，b，c，d，字母a开头的，+6000a+200（b+c+d）+20（b+c+d）+2（b+c+d）6000a+222（b+c+d）同样b开头的+6000b+200（a+c+d）+20（a+c+d）+2（a+c+d）6000b+222（a+c+d）c开头+6000c+200（b+c+d）+20（b+c+d）+2（b+c+d）6000c+222（b+c+d）d开头：+6000d+200（a+b+c）+20（a+b+c）+2（a+b+c）6000d+222（a+b+c）6000a+222（b+c+d）+6000b+222（a+c+d）+6000c+2

7、22（b+c+d）+6000d+222（a+b+c）6000（a+b+c+d）+222（3a+3b+3c+3d）6666（a+b+c+d）106656a+b+c+d16若要使这四位数最大千位数字尽量大，个位最小同时保证数字不能重复，所以千位9，个位1，十位数字是2百位为169124所以最大为9421最小就是数字前小后大即可，即1249故答案为：9421，12496【解答】解：依题意可知如图：设三角形DOE的面积为4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5x，12x，15x，再设三角形DCE的面积为y，在DBC中和ABC中，有得y则DOE的面积为ABC的面积为1DOE的面积为故答案为：7【

8、解答】解：设三个数的个位分别为a、b、c （1）如果a、b、c都相等，则只能都为0； （2）如果a、b、c中有两个相等，则有以下两种情况：a、a、c且ac，必有c+a10+，则c10，与c为数字矛盾； a、a、c且ac，则有c+aa，a+a10+，则a5，c0； （3）如果a、b、c都不相等，设abc，则c+b10+a，c+a10+，则c10，与c为数字矛盾； 综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5； （1）如果都为0，则乘积末尾三位为000； （2）如果为0，5，5 如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾三位为000； 如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾三位为500或0

9、00； 如果个位为0的数，末尾1位为0 设末尾两位为c0，设另外两个末尾两位为a5，b5 则100ab+50（a+b）+，若（+b）为奇数，则乘积的末两位为75；若（+）为偶数，则乘积的末两位为25，再乘上c0，无论c为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种 综上所述，积的末尾三位有000，500，250，750这四种可能故答案为：4二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）8【解答】解：不能得到完全平方数；因为数字交换不影响数字和，1234567891011的数字和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+148，某两位的数字交换后，数字和仍然是48，

10、这个数是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数9【解答】解：根据题意可得，1554y5x120，化简可得：xy36，361362183124966，因为x，y为整数，且x4，y15，所以x3，y12答：x3，y1210【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015因为v甲：v乙23：13，设v甲23x，v乙13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t，则（23x13x）t2015n 10xt2015n t，则甲追上乙时，所走路程为：23x，要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，所以n2，4，6，8，10（最多多跑231310圈）；即甲追上乙则需比

11、乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次答：甲正好在旗子位置追上乙5次11【解答】解：设赢的为甲，输的为乙甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得2+24分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜所以第二局的比分可以为：0：11，1：11，2：11，7：11；共8种（乙在第二局赢了多少分，甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从07都可能；例如三局比分分别为20：18、0：11、11：2）答：第二局的比分共有8种可能三、

12、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）12【解答】解：连接BD根据沙漏模型的对应边成比例可知：DEBC令SDEMa则SCEMSBDM2a，SCBM4aSBCFSBCE2+46aMBCFSGCFSDEM13a5sSBCDSBDM+SBCM2a+4a6aSABCD2SBCD26a12a12560cm2答：平行四边形的面积是60cm213【解答】解：经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e（均为正整数），设11个连续自然数为（x+1），（x+2），（x+11），则（x+1）+（x+2）+（x+11）+a+b+c+d+e214，即11x+a+b+c+d+e18，则x0，且a+b+c+d+e1+2+3+410时，e最大为8，11个数为1到11可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”综上所述：“行”可代表的数最大为8