第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）含答案

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1、第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题6分，共48分）1（6分）计算：+ 2（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期 3（6分）大于且小于的真分数有 个4（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，则哥哥与弟弟共买了 个苹果5（6分）图中，ABAD，DBC21，ACB39，则ABC 度6（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关

2、闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要 小时7（6分）n为正整数，形式为2n1的质数称为梅森数，例如：2213，2317是梅森数最近，美国学者刷新了最大梅森数，n74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数是 8（6分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD2，下底BC6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是 二、解答题（共4小题，满分22分）9（5分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？10

3、（5分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？11（6分）如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？12（6分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机10分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B，C车床加工的标准件的数量相同，C车床开机30分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车

4、床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）黑板上先写下一串数：1，2，3，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？14（15分）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分，参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？参考答案一、填空题（每小题6分，共48分）1【解答】解：根据分析，原式+；故

5、答案是：2【解答】解：因为3174（个）3（天），所以1个月最多有4个星期零3天，因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，所以该月的第1日是星期五答：该月的第1日是星期五故答案为：五3【解答】解：，；比2015大且小于2016的数有无数个，这无数个数都比20152016小以这无数个数中的任何一个数做分子，20152016做分母组成的所有分数都是真分数故：大于且小于的真分数有 无穷多个4【解答】解：依题意可知：哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”说明哥哥比弟弟多2个苹果弟弟若给哥哥一个苹果，哥哥的苹果数将是弟弟的2倍”，那么弟弟比哥哥少了4个苹果此时4（21）4（个）弟弟此时

6、4个，哥哥8个共4+812个故答案为：125【解答】解：依题意可知：DBC21，ACB39根据外角等于不相邻的内角和可知ADBC+DBC21+3960ABADADBABD60ABCABD+DBC60+2181故答案为：816【解答】解：设甲、乙的工作效率分别是、1（+1）1526.2526.251917.2517.2523（小时）故：要抽干水池还需要23小时7【解答】解：根据分析，此梅森数为2n12742072811，212；224；238；2416；2532；2664；27128；28256；29512；2101024由此可知，2n个位数字为：2、4、8、6、2、4、8、6、2即n1，5，9

7、，时，个位数字为2；n2，6，10，时，个位数字为4；n3，7，11，时，个位数字为8；n4，8，12，时，个位数字为6；综上，2n个位数字按周期循环出现，周期为4，而74207281418551820+1，故274207281的个位数与21的个位数相同，可以断定274207281的个位数为2，2742072811的个位数为：211故答案是：18【解答】解：根据分析，先求得三角形ADE底边AD上的高4.8（AD）4.814.8，如图，过E作EGBC，EFAB，显然EGEF，由梯形的面积可知，（AD+BC）AB（2+6）（AF+FB）4（4.8+EG），梯形的面积SADE+SABE+SBCE15

8、.6+4.8+20.4+20.4+3EG，4（4.8+EG）20.4+3EG，解得：EG1.2，故梯形ABCD的面积4（4.8+EG）4（4.8+1.2）24故答案是：24二、解答题（共4小题，满分22分）9【解答】解：（180+240）302442030241260024525（米）答：跑道的长度最多是525米10【解答】解：依题意可知：从甲中取出4个，加入乙中，则乙比甲多；从甲中取出3个，加入乙中，则乙不比甲多设甲有27n，乙有25n，则：得3n4，所以n3，苹果共有：27n+25n156个，这筐苹果有156个11【解答】解：只是用一种颜色：有1+12种情况，两种颜色的点数比为1：5，有2

9、+24种，两种颜色的点数比为2：4，有2（1+1+3）10种，两种颜色的点数比为3：3，有有1+3+3+18种，共有凃法：2+4+10+824种12【解答】解：依题意可知：A开机10分钟C开机，再过5分钟B开机当B开机10分钟时，C开机15分钟，时间比为：2：3，那么效率比为3：2当C开机30分钟时，A开机40分钟，时间比为3：4，效率比为4：3效率化连比A：B：C3：6：4根据B的效率是A的2倍那么时间差是15分钟，再过15分钟即可使工作数量相同答：B车床开机15分钟后B与A车床工作数量相同三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：依题意可知：（1）擦去1，

10、2，3，4，5，6但是写上了21数字和没有变化 最后的数字和是1+2+3+100的数字和为5050（2）第一次擦下去的数字是1，2，3，4，5，6写上去的是21，第二次擦去的是7，8，9，10，11，12写上的数字是57那么21与57的数字差为361006164说明擦去96个数字填上了16 个数字，这16个数字是以21位首项公差为36的等差数列后来共20个数字这20个数字为：97，98，99，100，21，57，93，129，165，201，237，273，309，345，381，417，453，489，525，561然后20632说明最后两个数字剩下了，新添加了3个数字，那么最后写的数字就是

11、309，345，381，417，453，489的数字和为2394答：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是5050（2）最后所写的那个数是239414【解答】解：方法一：设4分题答对a道，7分题答对b道，则a可取0到8共9种，b可取0到6共7种，得分情况共有9763种，再考虑得分重复情况，当aa+7，bb4时，两次分数相同，即（a，b）（0，6）和（7，2），（0，5）和（7，1），（0，4）和（7，0），（1，6）和（8，2），（1，5）和（8，1），（1，4）和（8，0）；共6种情况下，分数会相同所以不同分数共63657（种），4005771.7+18，至少有8人分数相同，故答案为：8方法二：

12、依题意可知：8道填空和6道问答题共84+6774（分）没有答对问答时：共有9种情况：0，4，8，12，16，20，24，28，32答对1个问答时；共有9种情况：7，11，15，19，23，27，31，35，39答对2个问答时：共9种情况：14，18，22，26，30，34，38，42，46答对3个问答时：共9种情况：21，25，29，33，37，41，45，49，53答对4问答时：共9种情况：28，32，36，40，44，48，52，56，60重复2个共7个答对5问答时：共9种情况：35，39，43，47，51，55，59，63，67重复2个共7个答对6问答时：共9种情况：42，46，50，54，58，62，66，70，74重复2个共7个共有49+73574005771.7+18故答案为：8