第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）含答案

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1、第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1（10分）计算：7（2.4+14）1 2（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期 （今天是2016年3月12日，星期六）3（10分）如图中，AB5厘米，ABC85，BCA45，DBC20，AD 厘米4（10分）在99的格子纸上，11小方格的顶点叫做格点如图，三角形ABC的三个顶点都是格点若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”那么在这张格子纸上共有 个“好点”5（10分

2、）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数例如n102时12那么满足n且是n的约数的三位数n有 个6（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1那么他们最多可以玩 次7（10分）如果238能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为 8（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B

3、点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第 个单位怡好与大尺上某一单位相合二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数10（10分）如图，三角形ABC中，AB180厘米，AC204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米11（10分）

4、某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，如此下去在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）如图，有一张由四个11的小方格组成的凸字行纸片和一张56的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格

5、纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）14（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+bcd能被20整除则n的最小值是多少？参考答案一、填空题（每题10分，共80分）1【解答】解：7（2.4+14）17（2.4+）17172故答案为：22【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天润年是52个星期多2天2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+27恰好为星期六那么2022年的2月4日到2022年

6、的3月12日经过24+1236天36751从星期六前推前天说明2022年的2月4日是星期五故答案为：五3【解答】解：依题意可知：ABC85，BCA45那么A50ABDABCDBC852065ADB180AABD180506565；ADBABD，ABAD5故答案为：54【解答】解：（1）BDA与CDA等底等高，所以面积相等；（2）ABE与ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）ABF的面积BDF的面积BDA的面积，CAF的面积CDF的面积CDA的面积，又因为BDA与CDA面积相等，所以ABF的面积CAF的面积；（4）ABI和ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，

7、所以相等；（5）ABH的面积是ABI面积的一半，ACH的面积是ACI的面积的一半，所以ABH与ACH面积相等；（6）AGB和AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等故此题的好点一共有6个5【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：91090个，删掉0后均能满足是n的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+393个故答案是：936【解答】解：依题意可知：将学生进行编号112

8、如果是14一组，58一组，912一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组即第一次是1，2，3，4第二次是1，5，6，7第三次是2，5，8，9第四组是3，6，8，10第五组是4，5，8，11第六组是3，5，9，10第七组是4，6，9，11第八组是1，7，9，12第九组是2，6，10，12故答案为：97【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k1则k个连续正整数的和（n+n+k1）k2238，所以（2n+k1）k2238，所以k的最大值为1082233，此时2n+k135，n68，故k的最大值为108故答案为1088【解答】解：11：10？：3 ？3.3 那B点处在单位18与

9、19之间的应是：18.718.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数？是在1一10之间的自然数，所以只有？7符合条件二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为，由题意得：x168，又x为正整数，且也为正整数x147，x126，即：甲得票数是147票，乙的得票数是140票；甲得票数是126票，乙的得票数是120票故答案是：甲147票，乙140票或，甲126票，乙120票10【解答】解：在ABC中，因为SADC4SDBC，所以AD4BD4（1805）144（厘米）；在ADC中，因为SADE3SEDC，所以AE3EC

10、3（2044）153（厘米）；在ADE中，因为SAFE2SEFD，所以AF2DF2（1443）96（厘米）；在AFE中，因为SAFGSGFE，所以AGGE153276.5（厘米）；所以，AF+AG96+76.5172.5（厘米）；答：AF+AG为172.5厘米11【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时，则甲乙同时开的时候总速度为+，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最后同时打开甲乙7ab小时，则：a+b+（7ab）1，化简得：2a+3b5，又a1，b1，a1，b1，甲乙同时打开的时间为：7ab7115（小时）故答案是：512【解答】

11、解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360，剪K次共增加的度数至多为K360，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K360+540，另一方面，20个五边形的度数和为20540，剩余的（K19）个多边形的度数和最小是（K19）180，这样得到：（K19）180+20540K360+540；整理得：K38，当K38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形综上，则最少剪38次故答案是：38三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：根据分析

12、，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有：23+2414（个），有14个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有4（34）48（个）由加法原理知，共有14+4862中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称，所以总的不同图形为：62231（个）故答案是：3114【解答】解：存在8个数：0，1，2，4，7，12，20，40它们中任何四个数都不能满足条件，所以n的最小值大于等于9因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）（c+x）ac是20的倍数，将a、c取出，在剩下的7个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条件，要么有两个数b、d，使得bd是20的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+bcd能被20整除综上所述，n的最小值为9