2023年浙江省衢州市中考数学试卷（含答案解析）

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1、2023年浙江省衢州市中考数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算，结果正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 下列各组数满

2、足方程的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）A. B. C. D. 9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，的最大仰角为.

3、当时，则点到桌面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11. 计算：1_12. 衢州飞往成都每天有2趟航班小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班概率等于_13. 在如图所示方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为_ 14. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等

4、于_cm 15. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，反比例函数的图象分别交边，于点P，Q作轴于点M，轴于点N若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_ 16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，四边形，是正方形过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2 （1）若，的面积为16，则纸片的面积为_（2）若，则_三、解答题（本题共有8小题，第1719小题每小题6分，第2021小题每小题8分，第2223小题每小题10分，第24小题12分，共66分.请务必写出解答过程）17. （1）计算：；（2）化简：18. 小红在解方程时，第一

5、步出现了错误：（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；（2）写出你的解答过程19. 已知：如图，在和中，在同一条直线上下面四个条件：； （1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；（2）在（1）条件下，求证：20. 【数据的收集与整理】根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）（数据来源：衢州市统计局）【数据分析】（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系；（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值；（3）将

6、我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图根据统计图分析：对图中信息作出评判（写出两条）；为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议21. 如图，在中，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E （1）求证：；（2）若，求半圆的半径；求图中阴影部分的面积22. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1探究1 检测距离为5米时，归

7、纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的号“E”测得的视力相同探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长23. 某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间近似函数图象启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行

8、，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为 （1）求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s当时，求出此时龙舟划行的总路程，在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）24. 如图1，点为矩形对称中心，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点 （1）求证：；（2）当时，求的长；（3）令，求

9、证：；如图2，连接，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值2023年浙江省衢州市中考数学试卷参考公式：二次函数（a，b，c是常数，）图象的顶点坐标是.一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答【详解】解：，则信号最强的是，故选：A【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视

10、图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可【详解】解：该直口杯的主视图为故选：D【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提3. 下列运算，结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答【详解】解：，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误，故选：C【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60若捐款最少的

11、员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B【解析】【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答【详解】解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响，故选：B【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题关键5. 下列各组数满足方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】代入的值，逐一判断即可解答【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；当时，方程左

12、边，方程左边方程右边，故B不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键6. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，故选：B【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形

13、的两个锐角互余是解题的关键7. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可【详解】根据题中所给的作图步骤可知，是的角平分线，即当时，又，且，所以，所以，故A选项不符合题意当时，又，且，所以，所以，故B选项不符合题意当时，因为，所以，所以，又，所以，即又，所以，则方法同（2）可得出，故C选项不符合题意故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定

14、，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键8. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：【详解】由题意得：，故选：C【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ） A. B.

15、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案【详解】如图，过点作于，过点作于， 在中，在中，点到桌面的最大高度，故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答【详解】解：，点，都在直线的上方，且，可列不等式：，可得，设抛物线，直线，可看作抛物线在

16、直线下方的取值范围，当时，可得，解得，的开口向上，的解为，根据题意还可列不等式：，可得，整理得，设抛物线，直线，可看作抛物线在直线下方的取值范围，当时，可得，解得，抛物线开口向下，的解为或，综上所述，可得，故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键卷说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上.二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11. 计算：1_【答案】1【解析】【分析】先计算算术平方根，然后计算减法【详解】解：原式=2-1=1故答案是：1【点睛】本题考查了算术

17、平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根12. 衢州飞往成都每天有2趟航班小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于_【答案】#0.5【解析】【分析】根据题意画出树状图，利用树状图计算概率即可【详解】解：根据题意，画出树状图如下，由树状图可知，共有4中等可能的结果，其中小赵和小黄选择同一航班有2中结果，故他们选择同一航班的概率为故答案为：【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确画出树状图是解题关键13. 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为

18、_ 【答案】作图见解析，【解析】【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： 点C的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键14. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_cm 【答案】10【解析】【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，则四边形是矩形，得，设餐盘的半径为，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可【详解

19、】由题意得：，如图，连接，过点作，交于点，交于点， 则，餐盘与边相切，点为切点，四边形是矩形，四边形是矩形，设餐盘的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，餐盘的半径为，故答案为：10【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键15. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，反比例函数的图象分别交边，于点P，Q作轴于点M，轴于点N若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_ 【答案】24【解析】【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图

20、象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解【详解】解：设，在正方形中，Q为的中点，Q在反比例函数的图象上，四边形是正方形，P在上，P点纵坐标为，P点在反比例函数的图象上，P点横坐标为，四边形是矩形，故答案为：24【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，四边形，是正方形过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2 （1）若，的面积为16，则纸片的面积为_（2）若，则_【答案】 . 9 . #【解析】【分析】（1）在图1

21、中，过作于，由，可得，故，而的面积为16，即可得纸片的面积为；（2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，即可得到答案【详解】（1）在图1中，过作于，如图： ，即，即，的面积为16，纸片的面积为；故答案为：9；（2）如图： ，设，则，解得或，当时，这情况不符合题意，舍去；当时，而，故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理三、解答题（本题共有8小题，第1719小题每小题6分，第2021小题每小题8分，第2223小题每小题10分，第24小题12分，共66分.请务必写出解答过

22、程）17. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用平方差公式和分式的性质进行化简即可【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查分式的化简、平方差公式、多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解题的关键18. 小红在解方程时，第一步出现了错误：（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；（2）写出你的解答过程【答案】（1）划线见解析 （2），过程见解析【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可【小问1详解】解：划线如图所示：【小问2详解】解：，【点睛】本题考查了解一元一次

23、方程，熟知解方程的步骤是解题的关键19. 已知：如图，和中，在同一条直线上下面四个条件：； （1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；（2）在（1）的条件下，求证：【答案】（1）或（写出一种情况即可） （2）见解析【解析】【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可【小问1详解】解：根据题意，可以选择的条件为：；或者选择的条件为：；【小问2详解】证明：当选择的条件为时，即，在和中，；当选择条件为时，即，在和中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键20. 【数据的收集与整理】根据国家统计局

24、统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）（数据来源：衢州市统计局）【数据分析】（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系；（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值；（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图根据统计图分析：对图中信息作出评判（写出两条）；为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议【答案】（1）人口自然增长率出生率死亡率 （2） （3）我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州

25、市得人口呈负增长（答案不唯一）；建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据题意，可得人口自然增长率等于出生率减死亡率；（2）根据样本容量总体抽样比例求出的值即可；（3）根据统计图进行解答，合理即可；根据目前人口自然增长率的趋势，提出合理建议，即可解答【小问1详解】解：根据题意可知，人口自然增长率出生率死亡率；【小问2详解】解：由题意，可得，解得；【小问3详解】解：我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长；建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育【点睛】本题考查了总体，合体，样本，样本容量，折线统计图，用调查作决策，看懂折线图，并熟

26、知上述概念之间的联系是解题的关键21. 如图，在中，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E （1）求证：；（2）若，求半圆的半径；求图中阴影部分的面积【答案】（1）证明过程见解析 （2）2；【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论；（2）证出，再由直角三角形的性质即可求解；由勾股定理求出，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可小问1详解】证明：如图，连接，是的切线，点D为切点，； 【小问2详解】解：，又，在中，半圆O的半径为2；在中，【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟

27、练掌握切线的性质是解题的关键22. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围素材3

28、如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的号“E”测得的视力相同探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究；探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为【解析】【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，即可得；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案【详解】探究由图象中的点

29、的坐标规律得到与成反比例关系，设，将其中一点代入得：，解得：，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将 代入得：；答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究，在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，当时，；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，由探究1知，解得，答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决23. 某龙舟队

30、进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为 （1）求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s当时，求出此时龙舟划行总路程，在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01

31、s）【答案】（1） （2）龙舟划行的总路程为；该龙舟队能达标 （3）该龙舟队完成训练所需时间为【解析】【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案；（2）设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；把代入，求得，则可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得求出，则可得出答案【小问1详解】把代入 得，解得，启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；【小问2详解】设，把代入，得，解得，当时，当时，龙舟划行的总路程为，把代入，得，该龙舟队能达标【小问3详解】加速期：由（1）可知，把代入，得函数表达式为，把代入，解得，答：该龙舟队完成训练所需时间为【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用

32、，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键24. 如图1，点为矩形的对称中心，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点 （1）求证：；（2）当时，求的长；（3）令，求证：；如图2，连接，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析；【解析】【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答；（2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；（3）过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答；连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据中结论，即可解答【小问1详解】证明：四边形为矩形，四边形与关于所在直线成轴对称，；【小问2详解】解：如图，过点作于，设设，则，四边形为矩形，点为矩形的对称中心，在中，可得方程，解得（此时，故舍去0），； 【小问3详解】解：证明：过点作于，连接，点为矩形的对称中心，即，； 如图，连接，由题意可得,点为矩形的对称中心，同理可得，由（1）知，即，即，当时，由可得，解得， 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键