四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试卷(含答案解析)
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1、四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球,其中2个红球,2个绿球,甲摸一个后不放回,乙再摸一个,试验所有可能的结果数为( )A. 8B. 9C. 12D. 162. 某大型联考有16000名学生参加,已知所有学生成绩的第60百分位数是515分,则成绩在515分以上的人数至少有( )A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人3. 给出下列命题:若空间向量,满足,则与夹角为钝角;空间任意两个单位向量必相等;对于非零向量,若,则;若为空间的一个基底,则构
2、成空间的另一个基底其中说法正确的个数为( )A 0B. 1C. 2D. 34. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛,成绩频数分布表如下,根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A. 59B. 59.4C. 69D. 69.45. 若,则事件与的关系为( )A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断6. 把边长为的正方形对角线折起,使得平面与平面所成二面角的大小为,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 7. 某校2023年秋季入学考试,某班数学平均分为125分,方差为成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,同学实际
3、成绩137分,被错录为118分;同学实际成绩115分,被错录为103分;同学实际成绩98分,被错录为129分,更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为( )A. B. C. D. 不能确定8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,则中点到平面的距离为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求;全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9. 一组数据的平均数为,方差为,新数据的平均值为,方差为下列结论正确的是( )A. B. C. D. 10. 下面结论正确的是( )A. 若事件
4、与相互独立,则与也相互独立B. 若事件与是互斥事件,则与也是互斥事件C. 若,与相互独立,则D. 若,则与互为对立事件11. 某单位健康体测,男性平均体重为64千克,方差为151;女性平均体重为56千克,方差为159,男女人数之比为,该单位全体工作人员平均体重和方差分别为( )A. B. C. D. 12. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,点是中点,点是棱的上动点(与端点不重合)下列说法正确的是( )A. 从、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为B. 从、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C. 存在点,使直线与所成的角为D. 不存在点,使平面三、填空题:本题共4小题,每小题5分,
5、共20分.13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中靶心,4,5,6,7,8,9表示击中靶心;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果经随机模拟产生了20组随机数:8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 33126710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424据此估计,该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为_14. 某区从11000名小学
6、生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试,若初中生比高中生多抽取60人,则_15. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束)第一局独孤队获胜概率为,独孤队发挥受情绪影响较大,若前一局获胜,下一局获胜概率增加,反之降低则独孤队不超过四局获胜的概率为_16. 已知空间向量,两两之间的夹角均为,且,若向量,分别满足与,则的最小值为_四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某稻谷试验田试种了,两个品种的水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表,记,两个品种各1
7、0亩产量的平均数分别为和,方差分别为和(单位:)60635076718575636364(单位:)56626068787576626370(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数;(2)求,;(3)依据以上计算结果进行分析,推广种植品种还是品种水稻更合适18. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,点为的中点,点在线段上且(1)用向量,表示向量;(2)求的长19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标,用综合指标核定该产品的等级若,则核定该产品为一等品现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号质量指标产品编号质量指标(1)利用上表提供样本数据估计该批产品的一等品率
8、;(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,设事件为“在抽取的2件产品中,每件产品的综合指标均满足”,求事件的概率20. 如图四边形是平行四边形,四边形是梯形,且,沿将四边形翻折后使得平面平面(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后,为了解竞赛成绩情况,从所有学生中随机抽取100名学生,得到他们的成绩,将数据整理后分成五组:,并绘制成如图所示的频率分布直方图(1)补全频率分布直方图,若只有的人能进决赛,入围分数应设为多少分(保留两位小数);(2)采用分层随机抽样方法从成绩为80100的学生中抽取容量为6的样本,再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查
9、,求至少有1名学生成绩不低于90的概率;(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动考试分为两轮,第一轮为笔试,需要考2门学科,每科笔试成绩从高到低依次有,五个等级若两科笔试成绩均为,则直接参加;若一科笔试成绩为,另一科笔试成绩不低于,则要参加第二轮面试,面试通过也将参加,否则均不能参加现有甲、乙、丙三人报名参加,三人互不影响甲在每科笔试中取得,的概率分别为,;乙在每科笔试中取得,的概率分别为,;丙在每科笔试中取得,的概率分别为,;甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为,求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率22. 如图,已知平行六面体的侧棱长为3,底面是边长为4的菱形,且,点,分别在和上(1
10、)若,求证:,四点共面;(2)求;(3)若,点为线段上(包括端点)动点,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上期中考试数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球,其中2个红球,2个绿球,甲摸一个后不放回,乙再摸一个,试验所有可能的结果数为( )A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.【详解】设4个小球分别为,则试验结果为故选:C2. 某大型联考有16000名学生参加,已知所有学生成绩的第60百分位数是515分,则成绩在515分
11、以上的人数至少有( )A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数意义进行进行求解即可.【详解】成绩在515分及以下人数为,则成绩在515分以上人数为故选:D3. 给出下列命题:若空间向量,满足,则与的夹角为钝角;空间任意两个单位向量必相等;对于非零向量,若,则;若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底其中说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算,对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于,当与的夹角为,满足,所以错误;对于,因为向量既有大小又
12、有方向,两向量相等要满足方向相同,长度相等,任意两个单位向量,只能确定长度相等,所以错误;对于,由,得到,所以或与垂直,所以错误;对于,因为为空间向量的一个基底,所以不共面,故也不共面,所以构成空间的另一个基底,所以正确.故选:B.4. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛,成绩频数分布表如下,根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A. 59B. 59.4C. 69D. 69.4【答案】D【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为故选:D5. 若,则事件与的关系为( )A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断【
13、答案】A【解析】【分析】根据条件,利用和事件概率公式,求出,从而得到,即可判断出结果.【详解】因为,得,所以,故选:A.6. 把边长为的正方形对角线折起,使得平面与平面所成二面角的大小为,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系,根据条件求出坐标,从而得到,再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取中点,连接,以,分别为,轴,垂直面的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为是边长为的正方形,所以,则, 又易知,,,所以为二面角的平面角,由题知,所以,则所以,故,所以,异面直线与所成角的余弦值为故选:D.7. 某校2023年秋季
14、入学考试,某班数学平均分为125分,方差为成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,同学实际成绩137分,被错录为118分;同学实际成绩115分,被错录为103分;同学实际成绩98分,被错录为129分,更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为( )A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】分析前后的平均分,再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为,因为,所以更正前后平均分不变,且,所以故选:C8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,则中点到平面的距离为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构建空间直角坐标系,应用向量法求点面距离即
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