2023年广东省河源市源城区中考一模数学试卷（含答案解析）

《2023年广东省河源市源城区中考一模数学试卷（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年广东省河源市源城区中考一模数学试卷（含答案解析）（28页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2023年广东省河源市源城区中考数学一模试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 如图所示的工件，其俯视图是（）A B. C. D. 2. 中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C D. 4. 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）A. -2B. -1C. 1D. 35. 在直角三角形ABC中，已知C90，AC2，BC3，则tanB的值为（）A. B. C. D. 6. 某校篮球队

2、有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄/岁13141516人数2433则这12名队员年龄的中位数和众数分别是（ ）A. 14，15B. 14.5，14C. 14，14D. 14.5，157. 如图，在中，弦，相交于点，则一定与相等的是（ ）A. B. C. D. 8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（）A. B. C D 9. 若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正数解，且符合条件的所有整数a的和为（ ）A B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于

3、点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：AEBF；AEBF；QFQB；S四边形ECFGSABG正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11. 把多项式分解因式的结果为_12. 现在从“，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为_13. 如图，直线，且，则的度数是_ 14. 抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180，得到的新图象的解析式为_15. 如图，已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，AD1，DC，将A

4、DC绕着点D旋转，得DEF，点A、C分别与点E、F对应，当EF与直线AB重合时，设AC与DF相交于点O，那么由线段OC、OF和弧CF围成的阴影部分的面积为_三解答题（共8小题，满分75分）16. 计算：17. 先化简，再求值：，其中18. 为了加强中华优秀传统文化教育培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括(经典诵读)，(传统戏曲)，(中华功夫)，(民族器乐)四门课程校学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图请结合图中信息解答问题：本次共调查了_ 名学生，图中扇形“”的圆心角度数是 _请将条形统计图补充完整； 在这次调查中，甲

5、、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，顶点A处挂了一个铅锤M如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H经测量，点A距地面，到树的距离，求树的高度（结果精确到）20. 在中，平分交于点D，点O是边上一点，以为半径的圆恰好经过点D（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径21. 某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元由于原

6、料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存经市场调查获得以下信息：将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明

7、理由22. 问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，请探究是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？（2）如果矩形A的边长为m和n，请你研究：m，n满足什么条件时，矩形B存在？（3）x和y分别表示矩形B的两边长，且x，y满足的一次函数和反比例函数的图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题：满足条件的矩形B的两边长是多少？这个图象所研究的矩形A的两边长是多少？23. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习图形的变化时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想

8、进行了探究：（1）【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EFDE交BC边于点F，将ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当BEF25，则FE _（2）【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE2 F（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且ADmAB，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与F之间的数量关系式（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且B60，DEF120，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与AF之间的数量关系式2023年广

9、东省河源市源城区中考数学一模试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 如图所示的工件，其俯视图是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，故选：B2. 中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数

10、绝对值10时，n是非负数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：10.6万亿=106000 0000 0000=1.061013故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项可进行排除选项【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；B、，原计算正确，故符合题意；C、，原计算错误，故不符合题意；D、与不是同类项，原计算错误，故不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查积的

11、乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式是解题的关键4. 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）A. -2B. -1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】将代入原方程即可求出结果【详解】解：将代入原方程得，解得故选：C【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义5. 在直角三角形ABC中，已知C90，AC2，BC3，则tanB的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义直接求解【详解】解：如图，直角三角形ABC中，已知C90，AC2，BC3，；故选：

12、A【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义6. 某校篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄/岁13141516人数2433则这12名队员年龄的中位数和众数分别是（ ）A. 14，15B. 14.5，14C. 14，14D. 14.5，15【答案】B【解析】【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解【详解】解：将12个数据按从小到大顺序排列：13，13，14，14，14，14，15，15，15，16，16，16，第6和第7个数据平均数，中位数是：14.5，在这12名队员的年龄数据里，14岁出现了4次，次数最

13、多，因而众数是14故选：B【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数7. 如图，在中，弦，相交于点，则一定与相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理得出即可【详解】解：根据圆周角定理得：A=D，故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该

14、厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个），由题意得故选：C9. 若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正数解，且符合条件的所有整数a的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式组，根据其有解得出；解分式方程求出，由解为正数解得出的范围，从而得出答案【详解】解：解关于的不等式组得，不等式组有解，关于的分式方程得

15、，有正数解，会产生增根，故满足条件的整数的和为：，故选：C【点睛】本题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，解题的关键是掌握方程和不等式的解法10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：AEBF；AEBF；QFQB；S四边形ECFGSABG正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】首先证明ABEBCF，再利用角的关系求得BGE90，即可得到AEBF；AEBF；BCF沿BF对折，得到BPF，利用角的关系求出QFQB；由RtABERtBCF得SA

16、BESBCF即可判定正确【详解】解：E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CFBE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），BAECBF，AEBF，故正确；又BAE+BEA90，CBF+BEA90，BGE90，AEBF，故正确；根据题意得，FPFC，PFBBFC，FPB90，CDAB，CFBABF，ABFPFB，QFQB，故正确；RtABERtBCF，SABESBCF，SABESBEGSBCFSBEG，即S四边形ECFGSABG，故正确故选：D【点睛】本题主要是考查了三角形全等、正方形的性质，熟练地综合应用全等三角形以及正方形的性质，证明边相等和角相等，是解决本题的关键二填

17、空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11. 把多项式分解因式的结果为_【答案】【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键先提公因式x，在利用平方差公式分解即可【详解】解：，故答案为：12. 现在从“，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为_【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再根据一次函数的图象经过一、二、四象限时，确定结果，最后利用概率公式求解即可求得答案本题考查了用列表法或树状图法求概率以及一次函数图象与系数的关系【详解】解：画树状

18、图如下：共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象经过一、二、四象限（，）的结果有2种，一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为，故答案为：13. 如图，直线，且，则的度数是_ 【答案】40度【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到4=1+2=70，根据等腰三角形的性质得到5=180-24=40，根据平行线的性质即可得到结论【详解】解：4=1+2=70，AD=AC，5=180-24=40，直线ab，3=5=40，故答案为：40度 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键14. 抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180

19、，得到的新图象的解析式为_【答案】【解析】【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答【详解】解：所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为；可设新抛物线的解析式为，代入得：，把抛物线绕顶点旋转180，可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变，所以，所求的抛物线解析式为：，故答案为：15. 如图，已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，AD1，DC，将ADC绕着点D旋转，得DEF，点A、C分别与点E、F对应，当EF与

20、直线AB重合时，设AC与DF相交于点O，那么由线段OC、OF和弧CF围成的阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】由已知可求ACD30，当EF与直线AB重合时，可知FDC60，COD90，阴影部分的面积等于圆心角是60度，半径是CD的扇形面积减去直角三角形COD的面积；【详解】解：AD1，DC，ADBC，ACD30，等腰三角形ABC，B30，当EF与直线AB重合时，FDC60，COD90，ODCD，OC，阴影部分的面积；故答案为；【点睛】本题考查阴影部分面积的求法；确定阴影部分面积是扇形面积减去直角三角形面积，根据条件求出即可.三解答题（共8小题，满分75分）16. 计算：【答案】4【解析】

21、【分析】先计算各项，再计算乘法，即可得【详解】解：【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，解题的关键是正确计算17. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的混合运算法则，先将分式化简，再代入a求值即可掌握分式的运算法则是解题的关键【详解】解：当时，原式18. 为了加强中华优秀传统文化教育培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括(经典诵读)，(传统戏曲)，(中华功夫)，(民族器乐)四门课程校学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图请结合图中信息解答问题：本次共调查了_ 名学生，图中扇形“”的圆心角度数

22、是 _请将条形统计图补充完整； 在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率【答案】（1）100，72；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）用B项目的人数除以其百分比即可得到调查人数，计算出C项目的人数除以调查人数后再乘以360得到C的圆心角度数；（2）根据（1）求出的C项目是12人直接补图即可；（3）列树状图表示所有可能的情况，确定恰好是甲和乙的情况，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）调查人数=（人）；C项目的人数为：100-42-12-26=20（人），扇形“”

23、的圆心角度数是=72，故答案：100，72；补全条形图如下：树状图如下：所有出现的结果共有种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中出现甲和乙一起的情况共有种，恰好选到甲和乙的概率.【点睛】此题是统计题，正确理解条形图和扇形图中的信息，能根据部分的数量及百分比求总体，掌握计算部分百分比的公式，会列树状图或是表格求事件的概率.19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，顶点A处挂了一个铅锤M如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H经测量，点A距地面，到树的距离，求树的高度（结果精确到）【答案】树的高度为【解析】【分析】由题意

24、可知，易知，可得，进而求得，利用即可求解【详解】解：由题意可知，则，则，则，答：树的高度为【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键20. 在中，平分交于点D，点O是边上一点，以为半径的圆恰好经过点D（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析 （2）的半径为【解析】【分析】（1）由，可得，根据平分，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）过点D作，设，根据角平分线定理得到，证明，得到，在中，通过勾股定理计算即可解答【小问1详解】证明：连接，平分，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：过点D作，垂足为H，在中，设，平分，设的半径为r，的半径为：【点睛】本题考查

25、了角平分线定理，切线的判定，三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键21. 某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存经市场调查获得以下信息：将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元（1）加工厂

26、购进A、B两种原料各多少吨？（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由【答案】（1）加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；（2）当mn0，即ab时，方案一运输总花费少，当mn0，即ab时，两种运输总花费相等，当mn0，即ab时，方案二运输总花费少，见解析【解析】【分析】（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，由题意：某加工厂用52500元购进、两种原料共40吨，其中原料每吨1500元，原料每吨1000元列方程组，解方程组即可；（2）设公路运输的单

27、价为元，铁路运输的单价为元，有两种方案，方案一：原料公路运输，原料铁路运输；方案二：原料铁路运输，原料公路运输；设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，分别求出、，再分情况讨论即可【详解】解：（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，由题意得：，解得：，答：加工厂购进种原料25吨，种原料15吨；（2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，根据题意，有两种方案，方案一：原料公路运输，原料铁路运输；方案二：原料铁路运输，原料公路运输；设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，则，当，即时，方案一运输总花费少，即原料公路运输，原料铁路运输，总花费少；当，即时，两种运输总花费相等；当

28、，即时，方案二运输总花费少，即原料铁路运输，原料公路运输，总花费少【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式或一元一次方程22. 问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，请探究是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？（2）如果矩形A边长为m和n，请你研究：m，n满足什么条件时，矩形B存在？（3）x和y分别表示矩形B的两边长，且x，y满足的一次函数和反比例函数

29、的图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题：满足条件的矩形B的两边长是多少？这个图象所研究矩形A的两边长是多少？【答案】（1）存在，理由见解析 （2）存在，理由见解析 （3）和；和【解析】【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用：（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长为x、宽为y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解；（2）设所求矩形的长为x、宽为y,将两个函数关系式联立后得到方程组，利用方程时，存在这样的矩形即可；（3）设周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长，根据图象求得周长k和面积S；根据图象求出解析式，组成

30、方程组即可求得，设矩形A的长为m、宽n，根据题意列出方程组，即可求解；解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点【小问1详解】存在设所求矩形的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得，；所以满足要求的矩形B存在；【小问2详解】当时，矩形B存在，理由：，当时，矩形B存在；【小问3详解】设矩形B周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长，点在函数的图象上，直线过点，由题意知，解方程得或，满足条件的矩形B的两边长为和；B的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半设矩形A的长是m、宽是n，解得或，矩形A的两边长为和23. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习图形的变化时，

31、对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：（1）【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EFDE交BC边于点F，将ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当BEF25，则FE _（2）【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE2 F（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且ADmAB，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与F之间的数量关系式（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且B60，DEF120，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在

32、着一定的数量关系，请直接写出AE与AF之间的数量关系式【答案】（1）25； （2）见解析； （3），理由见解析； （4）【解析】【分析】（1）先求得的度数，从而得到的度数，即可求解；（2）由折叠的性质可得，从而得到，证得，得到，利用三角函数的定义即可求证；（3）由（2）可得E为AB的中点，利用三角函数的定义可得，即可求解；（4）在AB上截取BG，使得BG=BF，连接GF，在FD上截取FH，使得FH=BF，连接EH，则为等边三角形，利用全等三角形的判定与性质，得到为等边三角形，设，利用全相似三角形的判定与性质求解即可【小问1详解】解：由题意可得：，由折叠的性质可得：，故答案为：25【小问2详解】

33、证明：由折叠的性质可得，由题意可得：，又，（AAS），即E为AB的中点，由三角函数的定义可得：，即，【小问3详解】解：，理由如下：由（2）可得，E为AB的中点，又ADmAB，由三角函数的定义可得：，即，【小问4详解】解：，理由如下：在AB上截取BG，使得BG=BF，连接GF，在FD上截取FH，使得FH=BF，连接EH，如下图：，为等边三角形，由题意可得：，（SAS），又，为等边三角形，设，则，即解得，负值已舍去，【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义，综合性比较强，难度较大，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，对于（4）小问，要作出合适的辅助线，构造出全等三角形和等边三角形