2024年广东省湛江市廉江市中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2024年广东省湛江市廉江市中考一模数学试题一、选择题：本题共有10个小题，每小题3分，共30分1. 下列四个数中，负整数是（ ）A. B. C. 0D. 2. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形（ ）A. B. C. D. 3. 九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的（ ）A 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数4. 如图，则的度数为（） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ）A B. C. D. 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确

2、的是（ ）A. B. C. D. 7. 一元一次不等式组的解集是（ ）A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. 且D. 且9. 如图，四边形是菱形，过点作交对角线于点若，则的长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，则下列结论：；连接，若的面积为，则的长为5其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11. 因式分解：_12. 如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为_13. 若，则以为边长等腰三角形的周长为_

3、14. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为_15. 如图，是的直径，是外的一点，是线段的中点，连接交于点，且满足四边形是矩形，则阴影部分的面积为_三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分16. （1）计算：（2）先化简，再求值：，其中17. 如图，在中，（1）用尺规作图法作的平分线，交于点，交的延长线于点（标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求的长18. 安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史九（1）班的小明要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在

4、点A和文阁塔之间选择一点，测得，用测角仪在处测得文阁塔顶部的仰角为，在处测得仰角为，已知测角仪的高请你帮小明计算出文阁塔的高度（结果保留根号）四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分19. 在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件（1）求出y与x之间的函数关系式（2）当销售单价定为多

5、少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？20. 综合与实践主题：研究旋转的奥妙素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为，连接猜想与证明：（1）直接写出线段与线段的数量关系（2）证明（1）中你发现的结论21. 环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A不了解；B了解较少；C了解；D非常了解并将调查结果绘

6、制成了以下两幅不完整的统计图请根据统计图，回答下列问题（1）本次共抽取了_名学生，并根据调查信息补全条形统计图（2）若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有_名（3）在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分22. 综合探究如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，连接（1）求证：；（2）求证：；（3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长23 已知

7、抛物线（1）写出抛物线的对称轴：_（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧），若的面积为4，求点的坐标（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分別过点，的两条直线，交于点，且，与轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上2024年广东省湛江市廉江市中考一模数学试题一、选择题：本题共有10个小题，每小题3分，共30分1. 下列四个数中，负整数是（ ）A. B. C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类进行解答即可【详解】解：在、0、中，是正整数，是负分数，0是整数，是负整数故选：D2

8、. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可据此逐项判定即可【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B3. 九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，这

9、里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的（ ）A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】【分析】本题考查了众数的意义众数是一组数据中出现次数最多的数根据众数的概念求解即可【详解】九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的众数故选：B4. 如图，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角性质计算即可【详解】解：， ，故选：B【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键5. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【

10、分析】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则此题考查合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果为系数，字母和字母指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可【详解】解：A，和不是同类项不能合并，故该选项错误；B，故该选项正确；C，故该选项错误；D，故该选项错误故选B6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项

11、的正负，然后比较即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点【详解】、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意；、根据数轴可知，则，此选项判断错误，不符合题意；、根据数轴可知，则，此选项判断错误，不符合题意；、根据数轴可知，则，此选项判断正确，符合题意；故选：7. 一元一次不等式组的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，先逐个求出解集，然后即可得到不等式组的解集，正确计算是解题的关键【详解】解：由题可得，移项可得：，解得：，移项可得：，解得：，解集为：，故选：C8. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值

12、范围是（ ）A. B. C. 且D. 且【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的定义及根与判别式的关系，根据一元二次方程的定义及根与判别式的关系直接列式求解即可得到答案；【详解】解：一元二次方程有实数根，解得：且，故选：D9. 如图，四边形是菱形，过点作交对角线于点若，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求得的长，然后利用等面积法可求得的长，再根据勾股定理可求得结果，正确求得边长的结果是解题的关键【详解】解：，四边形菱形， ，在中，故选：A10. 如图，在正方形中，则下列结论：；连接，若的面积为，则的长

13、为5其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质得到，即可证明，进而判断；证明出，即可判断；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断【详解】提示：四边形是正方形，即，故正确；在与中，故正确；设，则，解得或，或，或，故错误故选A【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质求解二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11. 因式分解：_【答案】x(x-2)【解析】【分析】直接利用提公因式法分解因式即可【详解】解：，故答案为：【点睛】题目主要考查利用提公因式

14、法分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键12. 如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为_【答案】#720度【解析】【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键根据多边形内角和可直接进行求解【详解】解：由题意得：该正六边形的内角和为故答案为：13. 若，则以为边长的等腰三角形的周长为_【答案】27【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，确定等腰三角形的腰长是解题关键根据偶次方和算术平方根的非负性，求出、的值，再根据三角形的三边关系确定腰长，即可得到答案【详解】解：，当为腰长

15、时，不能构成三角形，当为腰长时，可以构成三角形，此时周长为，故答案为：2714. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】本题考查正比函数与反比例函交点问题，根据反比例函数先求出点A，代入正比例函数求出解析式，联立两个函数求解即可得到答案；【详解】解：直线与反比例函数的图象交于点，解得：，联立反比例函数得，解得：，故答案为：15. 如图，是的直径，是外的一点，是线段的中点，连接交于点，且满足四边形是矩形，则阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例，中位线，扇形的面积等知识找到阴影部分面积与已知图形之间

16、的面积关系是关键根据求解即可【详解】解：四边形是矩形，是线段的中点，四边形是矩形，矩形是正方形，故答案为：三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分16. （1）计算：（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）5； （2），；【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的化简求值，锐角三角函数的运算：（1）根据，及绝对值的性质求解即可得到答案；（2）先通分计算括号里的，再因式分解约分，约到最简代入求解即可得到答案；【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式，当时，原式17. 如图，在中，（1）用尺规作图法作的平分线，交于点，交的延长线于点（标明字母

17、，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求的长【答案】（1）见解析 （2）6【解析】【分析】本题考查作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质：（1）以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与即可得到答案；（2）根据平行四边形的性质及角平分线得到是等腰三角形即可得到答案；【小问1详解】解：以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与交于一点即为N点，如图，即为所求，；【小问2详解】解：四边形是平行四边形，平分，18. 安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史九（1）班的小明

18、要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在点A和文阁塔之间选择一点，测得，用测角仪在处测得文阁塔顶部的仰角为，在处测得仰角为，已知测角仪的高请你帮小明计算出文阁塔的高度（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，有关仰角俯角的问题，先作辅助线，然后根据已知条件得到边长和角度，然后根据解直角三角形可得到结果，构造出来直角三角形是解题的关键【详解】解：如图，延长交于点，如图所示：，由题意，得，是的一个外角，在中，答：文阁塔的高度是四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分19. 在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴

19、素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件（1）求出y与x之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y与x之间的函数关系式为； （2）当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元【解析】【分析】（1）本题考查用待定系数法求一次函数解析式，设y与x之间的函数关系

20、式为，根据“当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件”列式求解，即可解题（2）本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，根据利润（售价成本）销售量，可用x表达利润w，再利用二次函数的最值问题求解即可【小问1详解】解：该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，设y与x之间的函数关系式为，当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件，解得，设y与x之间的函数关系式为；【小问2详解】解：由题知：，时，随的增大而增大，又，当时，有最大值为（元），当销售单价为50元时，该商店获得的利润

21、最大，最大利润为1200元20. 综合与实践主题：研究旋转奥妙素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为，连接猜想与证明：（1）直接写出线段与线段的数量关系（2）证明（1）中你发现的结论【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识（1）通过观察，测量，猜想等方式即可得到；（2）连接，先证明是等边三角形，进而证明，问题得证【小问1详解】解：；【小问2详解】证明：如图，连接由旋转的

22、性质可知，是等边三角形，是等边三角形，即在和中，21. 环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A不了解；B了解较少；C了解；D非常了解并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图请根据统计图，回答下列问题（1）本次共抽取了_名学生，并根据调查信息补全条形统计图（2）若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有_名（3）在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛请你用列表法或画树状

23、图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率【答案】（1）100，图见解析 （2）320 （3）【解析】【分析】（1）首先根据C组的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出B组人数，进而补全统计图即可；（2）用1600乘以“非常了解”所占的比例即可；（3）先画出树状图，继而根据概率公式可求出被选中的两人恰好是一男一女的概率【小问1详解】（人）组人数（人）补全条形统计图如下：【小问2详解】（人）估计“非常了解”的学生共有320人；【小问3详解】画树状图如下：共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女的情况有8种，被选中的两人恰好是一男一女的概率为【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联

24、，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分22. 综合探究如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，连接（1）求证：；（2）求证：；（3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）3【解析】【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质（1）由及，得，进而得到；（2）由得，根据得，再用角边角得；（3）由得，然后用表示出，根据三角形内

25、角和可得，进而求得，最后已知与所对的圆心角的度数之比为，即可得出答案【小问1详解】证明：，；【小问2详解】由（1），得在和中；【小问3详解】，是的直径与所对的圆心角的度数之比为与的长度之比为的长为2的长为323. 已知抛物线（1）写出抛物线的对称轴：_（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧），若的面积为4，求点的坐标（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分別过点，的两条直线，交于点，且，与轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上【答案】（1） （2） （3）说明见解析【解析】【分析】本题考查了抛物线的对称轴、求二次

26、函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案（2）根据抛物线的顶点坐标在原点上可设其解析式为，然后将点A的坐标代入求得的解析式，于是可设B的坐标为且，过点分别作x轴的垂线，利用可求得t的值，于是可求得点B的坐标（3）设，联立抛物线与直线的方程可得出再利用直线、直线分别与抛物线相切可求得直线、直线的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上【小问1详解】抛物线的对称轴为：故答案为：故答案为：【小问2详解】抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线，可设抛物线的解析式为：点有抛物线上，解得：抛物线的解析式为：点B在抛物线上，且在点A的左侧，设点B的坐标为且，如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点又解得：（不合题意，舍去），则【小问3详解】设，联立方程组整理得：，设过点M的直线解析式为，联立得方程组整理得过点M的直线与抛物线只有一个公共点，由式可得：解得：过M点的直线的解析式为用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为联立上两式可得方程组解得点P在定直线上（如图）第27页/共27页学科网（北京）股份有限公司