专题01+集合及其运算（12大考点知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019必修第一册）试卷及答案

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1、专题01 集合及其运算知识聚焦考点聚焦知识点1 集合的概念与元素特性1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示3、元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的知识点2 元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA（

2、2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA2、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR知识点3 集合的表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.2、描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.知识点4 集合间的基本关系1、子集、真子集、相等、空集表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（则）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A或相等集合A，B的元素完全

3、相同空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个（2）A的非空子集的个数有2n1个（3）A的真子集的个数有2n1个（4）A的非空真子集的个数有2n2个知识点5 集合的基本运算1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合与的并集.记作：，即.2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合与的交集.记作：，即.3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即. 考点剖析考点1 判断元素与集合的关系【例1】（2023秋全国高一专题练习）给出下

4、列关系：；.其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【变式1-1】（2023秋吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习）已知集合，则必有（ ）A B C D【变式1-2】（2023秋高一课时练习）已知，那么（ ）A B C D【变式1-3】（2023秋全国高一专题练习）已知集合且，则下列判断不正确的是（ ）A B C D【变式1-4】（2023秋高一课时练习）（多选）下列结论中，不正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 考点2 根据元素与集合的关系求参数【例2】（2023春甘肃白银高二校考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式2-1】（2023秋广东

5、惠州高三统考阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）A B C D【变式2-2】（2023秋吉林白城高三校考阶段练习）已知集合中的最大元素为，则实数 .【变式2-3】（2023秋甘肃高一校考阶段练习）（多选）已知集合，若，则实数a的可能取值为（ ）A2 B0 C2 D4【变式2-4】（2023江苏高一专题练习）（多选）已知集合A中有个元素，且当时，则可能为（ ）A B C D或或考点3 根据集合中元素个数求参数【例3】（2022全国高一专题练习）若集合，则实数的取值范围是（ ）A B C D,【变式3-1】（2022秋河北衡水高一校考阶段练习）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能

6、为（ ）A6 B C8 D9【变式3-2】（2023秋甘肃武威高一校考阶段练习）（多选）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ）A0 B1 C2 D4【变式3-3】（2023秋河南商丘高一校考阶段练习）若集合中有2个元素，求k的取值范围【变式3-4】（2022秋湖南长沙高一校考阶段练习）已知全集，.（1）若中有个元素，求实数的值；（2）若中有四个元素，求实数的值.考点4 集合相等及其应用【例4】（2023秋贵州遵义高一校考阶段练习）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）A， B，C， D，【变式4-1】（2022秋全国高一阶段练习）（多选）下列集合中，与相等的是（ ）A

7、B C D【变式4-2】（2023秋宁夏银川高一校考阶段练习）已知集合，则的值为（ ）A3 B C1 D【变式4-3】（2023全国高一专题练习）已知实数集合若，则（ ）A B0 C1 D2【变式4-4】（2023秋山东菏泽高一校考阶段练习）已知，若集合，则的值为（ ）A B C1 D2考点5 判断集合与集合之间的关系【例5】（2023全国高一专题练习）（多选）已知集合，则下列关系正确的是（ ）A B C DA【变式5-1】（2023秋江西高三统考开学考试）已知全集，若集合满足，则（ ）A B C D【变式5-2】（2023秋山西晋城高三校考阶段练习）设集合，则（ ）A B C D【变式5-3

8、】（2021秋高一课时练习）已知集合，则M，P之间的关系为（ ）AM=P B C D【变式5-4】（2023秋全国高一专题练习）已知集合，则，的关系为（ ）A B C D考点6 根据集合之间的关系求参数【例6】（2023秋江苏连云港高一校考开学考试）（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）A0 B C2 D【变式6-1】（2023秋甘肃武威高一校考阶段练习）已知集合，若，则实数m的取值范围是（ ）A B C D【变式6-2】（2023秋江苏连云港高一校考开学考试）已知集合，且，则实数m的取值范围是（ ）A B C D【变式6-3】（2023上海高一专题练习）已知，.（1）若是的子集，求实

9、数的值；（2）若是的子集，求实数的取值范围.【变式6-4】（2022秋河南商丘高一校考阶段练习）已知集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围考点7 求集合的子集与真子集【例7】（2024秋江西高三校联考阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（ ）A6 B7 C8 D15【变式7-1】（2023秋辽宁大连高一校考阶段练习）设集合，记，则集合的真子集个数是（ ）A3 B4 C7 D8【变式7-2】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）A3 B6 C7 D8【变式7-3】（2023秋江苏泰州高一校考阶段练习）满足的集合的个数有（ ）个A8 B7 C6

10、 D5【变式7-4】（2023秋山东菏泽高一校考阶段练习）（多选）若1,2B 1,2,3,4，则B=（ ）A1,2 B1,2,3 C1,2,4 D1,2,3,4考点8 空集的运算及其性质【例8】（2022秋河北承德高一校考期末）有下列关系式：；.其中不正确的是（ ）A B C D【变式8-1】（2022秋吉林高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）A B C D【变式8-2】（2023全国高一专题练习）给出下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若，则其中正确的说法有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个【变式8-3】（2023秋江西新余高一校考开学考试）（多选）

11、以下四个选项表述正确的有（ ）A B C D【变式8-4】（2022秋甘肃酒泉高一校考期中）已知集合，则实数k的取值范围是 .考点9 集合的交并补综合运算【例9】（2023秋四川成都高三校考开学考试）设集合，则（ ）A B C D【变式9-1】（2023秋山东高三校联考阶段练习）已知集合，则（ ）A B C D【变式9-2】（2023春甘肃平凉高二校考阶段练习）设已知集合，则（ ）A B C D【变式9-3】（2023秋全国高一专题练习）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）A BC或 D【变式9-4】（2023秋宁夏银川高一校考阶段练习）已知集合，实数集为全集.（1）求，； （2）求.考

12、点10 根据集合的运算结果求参数【例10】（2023秋全国高一专题练习）设集合或，若，则的取值范围是（ ）A或 B或 C D【变式10-1】（2022春四川南充高一校考开学考试）已知集合，且，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式10-2】（2022春重庆沙坪坝高二重庆八中校考期末）已知集合，若，则实数k的取值范围为 .【变式10-3】（2023秋浙江台州高一统考期末）已知集合，（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围【变式10-4】（2023秋吉林长春高一校考期末）已知集合，集合.（1）求；（2）设，若，求实数的取值范围.考点11 Venn图的应用【例11】（2023秋宁夏石嘴山高三

13、校考阶段练习）已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A B C D【变式11-1】（2022秋河北保定高一校考阶段练习）已知全集 ，集合 ， ，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A B C D【变式11-2】（2023秋全国高一专题练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A B C D【变式11-3】（2023秋四川眉山高一校考开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（ ）A B C D【变式11-4】（2023秋江苏扬州高三统考开学考试）（多选）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）A B

14、C D考点12 集合的新定义问题【例12】（2023秋高一课时练习）已知集合，定义集合运算，则 .【变式12-1】（2023秋宁夏高一校考阶段练习）已知集合，定义集合，则中元素个数为（ ）A6 B7 C8 D9【变式12-2】（2023秋江苏南京高一校考阶段练习）设集合M是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称t为集合M的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）A B C D【变式12-3】（2023秋江苏南通高一校考阶段练习）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）A10 B11 C12 D13【变式12-

15、4】（2023秋全国高一专题练习）若X是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集.当且时，有，则称是集合的一个“集合类”.例如： ，b，c，b，c，a，b，c是集合的一个“集合类”.已知，则所有含的“M集合类”的个数为（ ）A9 B10 C11 D12 过关检测1（2023秋全国高一专题练习）给出下列关系：；，其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D42（2023秋江苏连云港高一校考开学考试）若集合，则集合中的元素个数为（ ）A3 B4 C5 D63（2023秋江苏南京高一校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围

16、是（ ）A B C D4（2022秋河南三门峡高一校考阶段练习）对任意集合A，下列各式，正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D45（2022秋重庆万州高一校考阶段练习）若则满足条件的集合A的个数是（ ）A9 B8 C7 D66（2023秋全国高一专题练习）已知集合，全集，则以下集合（ ）是空集A B C D7（2023秋山西运城高一校考阶段练习）（多选）考查下列每组对象，能构成集合的是（ ）A中国各地最美的乡村； B直角坐标系中横纵坐标相等的点；C不小于3的自然数； D2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.8（2023全国高一专题练习）（多选）集合，则下列关系错误的是（ ）A B C D9（

17、2023全国高一专题练习）（多选）非空集合具有如下性质：若，则；若，则下列判断中，正确的有（ ）A BC若，则 D若，则10（2023秋上海浦东新高一校考阶段练习）已知集合，若，则 11（2023秋四川眉山高一校考开学考试）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .12（2023秋辽宁抚顺高一校考阶段练习）已知集合中有8个子集，则的一个值为 .13（2022秋天津高一统考期中）已知全集，集合，集合或.（1）计算和；（2）计算和.14（2023全国高一专题练习）已知集合，求：（1）当时，中至多只有一个元素，求的取值范围；（2）当满足什么条件时，集合为空集15（2023秋陕西榆林高一校考

18、阶段练习）设集合，.（1）若，求实数的值；（2）若且，求实数的值.专题01 集合及其运算知识聚焦考点聚焦知识点1 集合的概念与元素特性1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示3、元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的知识点2 元素与集合的关系1、属于与不属于概

19、念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA2、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR知识点3 集合的表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.2、描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.知识点4 集合间的基本关系1、子集、真子集、相等、空集表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（则）或真子集集合A是集合B

20、的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A或相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个（2）A的非空子集的个数有2n1个（3）A的真子集的个数有2n1个（4）A的非空真子集的个数有2n2个知识点5 集合的基本运算1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合与的并集.记作：，即.2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合与的交集.记作：，即.3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即. 考点剖析考点1

21、 判断元素与集合的关系【例1】（2023秋全国高一专题练习）给出下列关系：；.其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】显然都是实数，正确，错误；是自然数，正确；是无理数，不是有理数，错误，所以正确的个数为2.故选：B【变式1-1】（2023秋吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习）已知集合，则必有（ ）A B C D【答案】C【解析】因为，因为，所以C正确，ABD错误，故选：C【变式1-2】（2023秋高一课时练习）已知，那么（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意可得所以，故选：A【变式1-3】（2023秋全国高一专题练习）已知集合且，则下列判断不正确的是（ ）A B

22、 C D【答案】D【解析】根据集合可知，集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数；对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确；对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确；对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确；对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误；故选：D【变式1-4】（2023秋高一课时练习）（多选）下列结论中，不正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 【答案】AB【解析】在A中，当时，显然不成立对于B，当，其平方数仍为整数, 显然不成立；对于C,当，其绝对值仍为有理数, 正确；对于D项,当，其立方仍为实数，正确

23、.故选：AB.考点2 根据元素与集合的关系求参数【例2】（2023春甘肃白银高二校考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为集合，且，所以，即，解得或.故选：A.【变式2-1】（2023秋广东惠州高三统考阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为且，所以且，解得.故选：B.【变式2-2】（2023秋吉林白城高三校考阶段练习）已知集合中的最大元素为，则实数 .【答案】1【解析】因为，所以，所以，解得或，显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意故答案为：【变式2-3】（2023秋甘肃高一校考阶段练习）（多选

24、）已知集合，若，则实数a的可能取值为（ ）A2 B0 C2 D4【答案】AB【解析】当，即时，符合题意；当，即时，不符合题意；当，即或时若，不符合题意；若，符合题意故选:AB【变式2-4】（2023江苏高一专题练习）（多选）已知集合A中有个元素，且当时，则可能为（ ）A B C D或或【答案】AB【解析】对于A，当时，满足题意，A正确；对于B，当时，满足题意，B正确；对于C，当时，不合题意，C错误；对于D，由ABC知：或，D错误.故选：AB.考点3 根据集合中元素个数求参数【例3】（2022全国高一专题练习）若集合，则实数的取值范围是（ ）A B C D,【答案】C【解析】，方程无解，即，解得

25、：，则实数的范围为，故选：C.【变式3-1】（2022秋河北衡水高一校考阶段练习）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（ ）A6 B C8 D9【答案】ABC【解析】当时，满足的有6，3，2，1，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选，当时，满足的有6，3，2，1，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选，当时，满足的有8，4，2，1，即集合中有8个元素，符合题意，故C可选，当时，满足的有9，3，1，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，故选：ABC【变式3-2】（2023秋甘肃武威高一校考阶段练习）（多选）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ）A0 B1 C2 D

26、4【答案】ABD【解析】当时，解得，所以，符合题意；当时，由题意，得，解得或.故选：ABD【变式3-3】（2023秋河南商丘高一校考阶段练习）若集合中有2个元素，求k的取值范围【答案】且【解析】由题意得且，解得且.故实数k的取值范围为且【变式3-4】（2022秋湖南长沙高一校考阶段练习）已知全集，.（1）若中有个元素，求实数的值；（2）若中有四个元素，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由中有个元素，集合中有两个元素，即方程有两个不等的实根，则，且，则，；（2）由中有四个元素，则集合中有且只有一个元素，则方程有且只有一个实数根，则，且，则，.考点4 集合相等及其应用【例4】（202

27、3秋贵州遵义高一校考阶段练习）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）A， B，C， D，【答案】CD【解析】对于A，是点集，是数集，故A错误；对于B，故B错误；对于C，故C正确；对于D，故D正确.故选：CD.【变式4-1】（2022秋全国高一阶段练习）（多选）下列集合中，与相等的是（ ）A B C D【答案】BC【解析】对于A选项，A不满足条件；对于B选项，B满足条件；对于C选项，C满足条件；对于D选项，D不满足条件.故选：BC.【变式4-2】（2023秋宁夏银川高一校考阶段练习）已知集合，则的值为（ ）A3 B C1 D【答案】A【解析】因为集合，所以，即，所以，因为，所以的值为

28、.故选：A .【变式4-3】（2023全国高一专题练习）已知实数集合若，则（ ）A B0 C1 D2【答案】A【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或又根据集合互异性，可知，解得或（舍），所以故选:A.【变式4-4】（2023秋山东菏泽高一校考阶段练习）已知，若集合，则的值为（ ）A B C1 D2【答案】B【解析】根据题意,故，则,则，由集合的互异性知且， 故，则， 即或（舍），当时，符合题意，所以.故选：B.考点5 判断集合与集合之间的关系【例5】（2023全国高一专题练习）（多选）已知集合，则下列关系正确的是（ ）A B C DA【答案】CD【解析】因为集合，所以根据子集及真子集的

29、定义可知A .故选：CD.【变式5-1】（2023秋江西高三统考开学考试）已知全集，若集合满足，则（ ）A B C D【答案】D【解析】依题意，又，则或，因此，不是的子集，即ABC错误，D正确.故选：D【变式5-2】（2023秋山西晋城高三校考阶段练习）设集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】对任意，则存在，使得，显然，因此，但，而，所以是的子集也是真子集，四个选项中只有C正确，故选：C【变式5-3】（2021秋高一课时练习）已知集合，则M，P之间的关系为（ ）AM=P B C D【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.【变式5-4】（2023秋全国高一专题练习）已知集合，则，的关系为

30、（ ）A B C D【答案】B【解析】因为，且，所以.故选：B考点6 根据集合之间的关系求参数【例6】（2023秋江苏连云港高一校考开学考试）（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）A0 B C2 D【答案】ABD【解析】由，得到或，即，因为，由，当时，无解，此时，满足题意，当时，得到，所以或，得到或，故选：ABD.【变式6-1】（2023秋甘肃武威高一校考阶段练习）已知集合，若，则实数m的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】若，则，解得，符合题意；若时，则解得综上，实数m的取值范围是故选:C【变式6-2】（2023秋江苏连云港高一校考开学考试）已知集合，且，则实数m的取值范

31、围是（ ）A B C D【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，得到，故选：A.【变式6-3】（2023上海高一专题练习）已知，.（1）若是的子集，求实数的值；（2）若是的子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为，若是的子集，则，所以，解得.（2）若是的子集，则.若为空集，则，解得；若为单元素集合，则，解得.将代入方程，得，解得，所以，符合要求；若为双元素集合，则.综上所述，或.【变式6-4】（2022秋河南商丘高一校考阶段练习）已知集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，已知，由.（2）,若，则，解得.考点7 求

32、集合的子集与真子集【例7】（2024秋江西高三校联考阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（ ）A6 B7 C8 D15【答案】B【解析】因为，又，所以，所以的真子集有个.故选：B【变式7-1】（2023秋辽宁大连高一校考阶段练习）设集合，记，则集合的真子集个数是（ ）A3 B4 C7 D8【答案】C【解析】.集合的真子集个数是：.故选：C.【变式7-2】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）A3 B6 C7 D8【答案】C【解析】因为，所以，所以集合的真子集的个数为，故选：C【变式7-3】（2023秋江苏泰州高一校考阶段练习）满足的集合的个数有（ ）个A

33、8 B7 C6 D5【答案】B【解析】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同时含有4,5,6.由此可得到满足条件的集合A的个数就是集合的真子集个数，共有个.故选：B【变式7-4】（2023秋山东菏泽高一校考阶段练习）（多选）若1,2B 1,2,3,4，则B=（ ）A1,2 B1,2,3 C1,2,4 D1,2,3,4【答案】ABC【解析】1,2B1,2,3,4，B=1,2或B=1,2,3或B=1,2,4，故选：ABC考点8 空集的运算及其性质【例8】（2022秋河北承德高一校考期末）有下列关系式：；.其中不正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】对：因为集合元素具有无序性，显然正确；对：因为集合，故正确，即正确；对：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故不正确；对：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故不正确；对：由可知，非空，于是有，因此正确；对：显然成立，因此正确综上，本题不正确的有，故选：D【变式8-1】（2022秋吉林高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】对于A：，选项A错误；对于B：是无理数，选项B错误；对于C：是它本身的子集，即，选项C正确；对于D：仅当A为空集时，成立，否则不成立，选项D错误故选：C【变式8-2】（2023全国高一专题练习）给出