2024年湖南省长沙市长沙县中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2024年湖南省长沙市长沙县中考一模数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ）A. B. C. D. 02. 根据长沙县统计局发布的2023年112月长沙县经济运行情况简析，112月全县实现社会消费品零售总额约70400000000元，同比增长数据70400000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，掷铁饼者是希腊雕

2、刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓若“弓”所对的圆心角的度数为，“弓”所在圆的半径为1.2米，则“弓”所对的弧长为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米7. 下列说法正确的是（ ）A. 一组数据5，5，2，4，1的中位数是2B. 空气的成分（除去水汽、杂质等）中氮气约占78，氧气约占21，其他微量气体约占1要反映上述信息，宜采用折线统计图C. 不透明盒子装有除颜色外其他完全相同的3个红球和1个白球，同时摸出两个，一定有红球D. 某篮球运动员投篮命中的概率是0.6，则他投篮10次一定可以投中6次8. 如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意

3、图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，挡板边缘，且与闸机侧立面夹角当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，的半径交弦于点，则的长为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 810. 某次素养竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这五道题的得分情况：题号第1题第2题第3题第4题第5题得分甲CABCB4乙CBBCC3丙CCBBB2丁CCBBA则丁同学的得分是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 若关于

4、x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_12. 某班级共有50名学生，其中30名男生的平均身高是，20名女生的平均身高是，那么这个班级学生的平均身高是_13. 分解因式：_14. 如图，是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的两条对角线，则的大小为_ 15. 如图，在中，于点，于点若，则_16. 如图，在中，以点B为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点E，过点E作交于点D若，则的周长为_ 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25

5、题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 解关于x的不等式组，并写出其整数解20. 如图，E是的中点，延长交于点D，与的延长线交于点G （1）求证：；（2）若，求的长21. 民俗村开发和建设带动了旅游业的发展某市旅游部门绘制了年春节长假期间A，B，C，D，E五个民俗村及其他景点的旅游情况统计图如下 根据以上信息，回答下列问题：（1）春节期间，该市五个旅游村及其他景点共接待游客_万人，扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是_，并补全条形统计图；（2）根据近几年到该市旅游人数的增长趋势，预计明年春节将有万游客选择该

6、市旅游，请估计有多少万人会选择去E民俗村旅游；（3）甲、乙两个旅行团在A，C，D三个民俗村中，同时选择去同一个民俗村概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明22. 如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在该直线上，顶点D在x轴上，反比例函数的图象经过点B，C（1）求a，k的值；（2）求的面积23. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）该超市计划一

7、次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？24. 定义：有一组对角互余四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_；证明：（2）如图1，是的直径，点在上，相交于点D求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形中，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E（1）求抛物线的解析式（2）设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴垂线与抛物线交于点F，连接，求面积的最大值（3）连接，在线段

8、上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2024年湖南省长沙市长沙县中考一模数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数比较大小，求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求出四个数的绝对值，继而比较大小即可【详解】解：，四个数中，绝对值最大的是，故选：B2. 根据长沙县统计局发布的2023年112月长沙县经济运行情况简析，112月全县实现社会消费品零售总额约70400000000元，同比增长数据7040000000

9、0用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可【详解】解：；故选C3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，立方根，根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，立方根法则进行计算，逐一判断即可解答【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意故选：D4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考

10、查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为，故选：A5. 如图，已知直线，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义和直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键根据平行线的性质得到的度数，再根据垂线的定义和直角三角形的性质进行计算即可【详解】解：，又，故选：B6. 如图，掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓若“弓”所对

11、的圆心角的度数为，“弓”所在圆的半径为1.2米，则“弓”所对的弧长为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】A【解析】【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长（为圆心角的度数，为半径）求解即可【详解】解：“弓”所对的圆心角的度数为，所在圆的半径为1.2米，“弓”所对的弧长为米，故选：A7. 下列说法正确的是（ ）A. 一组数据5，5，2，4，1的中位数是2B. 空气的成分（除去水汽、杂质等）中氮气约占78，氧气约占21，其他微量气体约占1要反映上述信息，宜采用折线统计图C. 不透明盒子装有除颜色外其他完全相同的3个红球和1个白球，同时摸出两个，一定有红球D. 某篮球运动员投篮命中的概率是0.

12、6，则他投篮10次一定可以投中6次【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义，统计图的选择，概率的定义，概率公式，分别判断后，即可求解，本题考查了，中位数的定义，统计图的选择，概率的定义，概率公式，解题的关键是：熟练掌握相关知识点及公式【详解】解：A、由小到大排列为：1，2，4，5，5， 中位数是第3位的2，此选项错误，不符合题意，B、反映上述信息，宜采用扇形统计图，此选项错误，不符合题意，C、同时摸出两个，一定有红球，此选项正确，符合题意，D、投篮10次不一定可以投中6次，此选项错误，不符合题意，故选：C8. 如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间

13、的距离为，挡板边缘，且与闸机侧立面夹角当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度【详解】解：如图所示，过作于，过作于，由，则中，同理可得，又点与之间的距离为，通过闸机的物体的最大宽度为，故选：B9. 如图，半径交弦于点，则的长为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理已知：，在中，利用勾股定理得到，所以【

14、详解】解：，半径于点，在中，故选D10. 某次素养竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这五道题的得分情况：题号第1题第2题第3题第4题第5题得分甲CABCB4乙CBBCC3丙CCBBB2丁CCBBA则丁同学的得分是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，进而得出正确选项，即可得出结论，此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键【详解】解：解：当甲选错了第1

15、题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，2，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于丙来看，第1，3，5道选对了，至少得分为3分，而丙得分2分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此种情况不符合题意，当甲选错第4题，那么其余四道都对，针对于乙来看，第2，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，故甲选错第5题，第5题选B错误，其余各题均选对，据此，乙前4题选对了第1，

16、3，4题，得3分，因此乙选C错误，因为每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的，所第5题正确答案为A，所以五道题的正确选项分别是：，对照丁的答案可得丁选对了第1，2，5题，得3分，故选：二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解，本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，解得：；故答案为：12. 某班级共有50名学生，其中30名男生的平均身高是，20名女生的平均身高是，那么这个

17、班级学生的平均身高是_【答案】1.652【解析】【分析】运用求平均数公式：即可求出【详解】解：这个班学生的平均身高是： =1.652（米）故答案为：1.652【点睛】本题考查的是样本平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键13. 分解因式：_【答案】#【解析】【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解熟练掌握综合提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键根据综合提公因式法和公式法进行因式分解即可【详解】解：，故答案为：14. 如图，是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的两条对角线，则的大小为_ 【答案】#30度【解析】【分析】本题考查了多边形内角和定理根据正六边形的性质和等腰三角形的

18、性质即可得到结论【详解】解：多边形是正六边形，由题意得：平分，故答案为：3015. 如图，在中，于点，于点若，则_【答案】#度【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出角度是解题关键直接利用四边形内角和定理结合平行四边形的性质得出答案【详解】解：于点，于点，四边形是平行四边形，故答案为：16. 如图，在中，以点B为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点E，过点E作交于点D若，则的周长为_ 【答案】18【解析】【分析】本题考查作图角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义由题意得出为的平分线是解题关

19、键根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得出，即可得出，最后求周长即可【详解】解：由题意可知为的平分线，故答案为：18三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：【答案】3【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，先进行开方，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可【详解】解：原式18. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算

20、括号内，除法变乘法，再约分化简，最后代值计算即可【详解】解：，当时，19. 解关于x的不等式组，并写出其整数解【答案】，整数解为3和4【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，该不等式组的解集为，该不等式组的整数解为3和420. 如图，E是的中点，延长交于点D，与的延长线交于点G （1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）3【解析】【分析】（1）根据证明即可；（2

21、）根据题意可得，从而求出的长，即可求解【小问1详解】解：如图所示， ，E是的中点，又，【小问2详解】解：， ， ，由（1）得：，【点睛】本题考查了全等三角形和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题关键21. 民俗村的开发和建设带动了旅游业的发展某市旅游部门绘制了年春节长假期间A，B，C，D，E五个民俗村及其他景点的旅游情况统计图如下 根据以上信息，回答下列问题：（1）春节期间，该市五个旅游村及其他景点共接待游客_万人，扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是_，并补全条形统计图；（2）根据近几年到该市旅游人数的增长趋势，预计明年春节将有万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E民

22、俗村旅游；（3）甲、乙两个旅行团在A，C，D三个民俗村中，同时选择去同一个民俗村的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明【答案】（1），补全统计图见解析 （2）万人 （3），见解析【解析】【分析】（1）由题意知，该市五个旅游村及其他景点共接待游客万人，扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是，B民俗村接待游客为万人，计算求解，然后补全条形统计图即可；（2）根据70万游客乘以E村所占比例，计算求解即可；（3）由题意画树状图，然后求概率即可【小问1详解】解：由题意知，该市五个旅游村及其他景点共接待游客万人，扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是，B民俗村接待游客（万人），补全条形统计图如下

23、： 【小问2详解】解：（万人），估计有万人会选择去E民俗村旅游【小问3详解】解：由题意画树状图如下； 由图可知，共有9种等可能出现的结果，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，同时选择去同一个民俗村的概率是【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识熟练掌握条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键22. 如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在该直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图象经过点B，C（1）求a，k的值；（2）求的面积【答案】（1）， （2）6【解析】【分析】（1）将代入可求，则，将代入，可求；（2）由

24、题意求，由题意知，点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，设，则，将点C代入，可求，则，如图，延长交x轴于点F， 待定系数法求直线的解析式为，进而可求，根据，计算求解即可【小问1详解】解：将代入得，解得，将代入得，解得；【小问2详解】解：当时，即，当时，解得，由题意知，点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，设，则将点C代入，得，解得，如图，延长交x轴于点F， 设直线的解析式为，将，代入得，解得，直线的解析式为，当时，解得，的面积为6【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点

25、坐标的平移，平行四边形的性质是解题的关键23. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元（1）求A、B两种品牌粽子每袋进价各是多少元；（2）该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？【答案】（1）A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元 （2）A品牌粽子袋，B品牌粽子为袋时，总费用最低【解析】【分析】（1）根

26、据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设B品牌粽子有m袋，则A品牌有袋，总费用为w元，列出函数关系，即可求解【小问1详解】解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，解得，故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；【小问2详解】解：设B品牌粽子有m袋，则A品牌有袋，总费用为w元，根据题意得，解得：w随m的增大而增大，所以当时，总费用最低，（袋）答：A品牌粽子为袋，B品牌粽子为袋时，总费用最低.【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程组和函数关系式24. 定义：有一组对角互余的四边形

27、叫做对余四边形理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_；证明：（2）如图1，是的直径，点在上，相交于点D求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形中，探究线段，和之间有怎样数量关系？写出猜想，并说明理由【答案】（1）90或270；（2）见解析；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）分当A和C互余时，当B和D互余时，两种情况求解；（2）连接BO，得到BON+BOM=180，再利用圆周角定理证明C+A=90即可；（3）作ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明ABCFEC，ACDGCE，

28、BCDGCF，可得，从而得出，根据ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到.【详解】解：（1）四边形是对余四边形，当A和C互余时，A+C=90，当B与D互余时，B+D=90，则A+C=360-90=270，故答案为：90或270；（2）如图，连接BO，可得：BON=2C，BOM=2A，而BON+BOM=180，2C+2A=180，C+A=90，四边形是对余四边形；（3）四边形ABCD为对于四边形，ABC=60，ADC=30，如图，作ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，则AEF=ABC=60，AEG=ADG=30，AEF+AEG=90，即

29、FEG=90，GF是圆O的直径，AB=BC，ABC为等边三角形，ABC=AEF，ACB=ECF，ABCFEC，得：，则，同理，ACDGCE，得：，则，BCDGCF，得：，可得：，而，AB=BC=AC，.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E（1）求抛物线的解析式（2）设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，求面积的最大值（3）连接，在线段上是否存

30、在点Q，使得？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键（1）将，代入抛物线，求出b，c的值，即可得到抛物线的解析式；（2）先求出点D坐标为，设点F的坐标为，则点P的坐标为，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案；（3）连接，先推出再由，得到比例式，进而即可求解【小问1详解】解：将，代入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为【小问2详解】由（1）可得点D的坐标为当时，解得，点B的坐标为，直线BD的解析式为设点F的坐标为，则点P的坐标为，整理得，当时，【小问3详解】存在理由如下：如图，连接，则由勾股定理，得，设，过点Q作轴于点M，连接，解得，此时点Q的坐标为在线段BD上存在点Q，使得，点Q的坐标为