北京市丰台区2024年高三一模数学试卷（含答案）

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1、北京市丰台区20232024学年度第二学期综合练习（一）高三数学2024.03本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合，则（A）（B）（C）（D）2已知公差为的等差数列满足：，且，则（A）（B）0（C）1（D）23已知双曲线的离心率为，则（A）2（B）（C）（D）4的展开式中，的系数为（A）（B）（C）40（D）805已知向量满足，且，则（A）（B）（C）2（D）46按国际标准，

2、复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；将Ai（i=0，1，9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为A(i+1)规格纸张（如图）某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（A）6（B）7（C）8（D）97在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（A）1（B）（C）2（D）8已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分

3、条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件9正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2关于该半正多面体的四个结论：棱长为；两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是；表面积；外接球的体积其中所有正确结论的序号是图1图2（A）（B）（C）（D）10已知数列满足则（A）当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立（B）当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立（C）当

4、时，存在正整数，当时，（D）当时，对于任意正整数，存在，使得第二部分 （非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11_12在中，若，则_13已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为_14已知函数具有下列性质：当时，都有；在区间上，单调递增；是偶函数则_；函数可能的一个解析式为_15目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为，其中注：表示人造天

5、体质量，表示第级火箭结构和燃料的总质量给出下列三个结论：；当时，；当时，若，则其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（本小题14分）如图，在直三棱柱中，为中点（）求证：平面；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分17（本小题14分）已知函数（）若，求的值；（）若在区间上单调递减，求的值18（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物

6、A，第2组注射药物B试验结果如下表所示疱疹面积（单位：mm2）30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)第1组（只）34120第2组（只）13231（）现分别从第组，第组的白鼠中各随机选取只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2的概率；（）从两组皮肤疱疹面积在60,80)区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中的白鼠只数的分布列和数学期望；（）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在30,50)区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在50,80)区间内，写出方差的大小关系（结论不要求证明）19（本小题14分）已知椭圆的焦距为，以椭圆的四个顶点为

7、顶点的四边形的周长为16（）求椭圆的标准方程；（）过点的直线l交椭圆于两点，线段的中点为是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由20（本小题15分）已知函数，曲线在点处的切线为，记（）当时，求切线的方程；（）在（）的条件下，求函数的零点并证明；（）当时，直接写出函数的零点个数（结论不要求证明）21（本小题15分）已知集合，若存在数阵满足：；则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”（）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出的值；（）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（）判断是否为“好集合”若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由参考答案第一

8、部分（选择题 共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12） （13）3（14），（答案不唯一）（15）注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题14分）解：（）证明：连接，设，连接，zyx在三角形中，、分别为、的中点，所以因为平面，平面，所以平面4分（）选择条件：在直三棱柱中，底面，所以，因为，所以面，所以如图建立空间直角坐标系，因为，所以因为为中点，所以易知

9、是平面的法向量在平面内，设是平面的法向量，因为，所以，即，取，得，所以因为，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为选择条件：在直三棱柱中，底面，所以因为，所以，因为为中点，所以，所以，所以因为底面，故可如图建立空间直角坐标系以下同解法114分（17）（本小题14分）解：（）因为，所以4分（）因为在区间上单调递减，所以，即，所以因为，所以，即，所以14分（18）（本小题13分）解：（）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2”，则4分（）的可能取值为1,2,3.，所以的分布列如下：123P11分（）13分（19）（本小题14分）解：（）由题意得解得所以椭圆的方程为5分（）若

10、存在定点D，使得，等价于以为直径的圆恒过定点当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为，当直线的斜率为0时，令，得，因此为直径的圆的方程为联立得猜测点的坐标为设直线的方程为，由得设，则所以综上，存在定点D，使得14分（20）（本小题15分）解：（）函数的定义域为，当时，；，；故切线l的方程为5分（），解法1：令，则当时，故，因此，当时，单调递减，；当时，故，因此，当时，单调递增，；综上，恒成立，也就是恒成立，所以在上单调递增又因为，故函数有唯一零点且当时，；当时，；因此当时，；当时，；故；解法2：，令，则当时，故，因此，当时，单调递减，；当时，故，因此，当时，单调递增，；综上，恒成立，也就是恒成

11、立，以下同解法113分（）215分（21）（本小题15分）解：（）解：4分（）证明：当集合为“好集合”时，设是的一个“好数阵”，构造数阵：，记为因为T是“好数阵”，所以当时，且因为，所以也是的一个“好数阵”，一方面，因为，所以.另一方面，假设，因为所以，所以，与矛盾，所以，故集合的“好数阵”必有偶数个；9分（）假设是集合的一个“好数阵”由题意得：，相加得：， 即当时，与矛盾；所以不是“好集合”.当时，若，因为，所以只有以下两种可能：和（1）若，则，使的只有，使的有两种可能：情形一：时，只有，可得；情形二：时，只有，可得（2）若，则，使的只有，使的有两种可能：情形一：时，只有，可得；情形二：时，只有，可得综上，不是“好集合”；是“好集合”，且满足的好数阵有四个：，.15分高三数学 第15页（共6页）