北京市东城区2024年高三一模数学试卷（含答案）

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1、北京市东城区2023-2024学年度第二学期高三综合练习（一） 数 学 2024.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是 （A） （B） （C） （D） （2）已知，且，则（A） （B） （C） （D）（3）已知双曲线的离心率为2，则=（A） （B） （C） （D）（4）设函数，有 （A） （B） （C） （D） （5）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象 （A）关于直线对称 （B）关于点对称 （C）关于直线对称 （D）关于点对称 （6）已知

2、，若，则的取值可以为（A） （B） （C） （D）（7）天工开物是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：） （A） （B） （C） （D）（8）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（A）

3、充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是的中点，为的中心. 现将沿翻折为，记的中心为，如图2. 设直线与平面的夹角为，则的最大值为 图1 图2（A） （B） （C） （D）（10）已知是定义在R上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（A）若在R上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增（B）对于任意实数，若在上单调递增，则在R上单调递增（C）对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得（D）若函数满足：当时，当时，则为的最小值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，

4、每小题5分，共25分。（11）若复数，则_.（12）设向量，且，则_.（13）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是= ，= . （14）已知抛物线的焦点为，则的坐标为_；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点， 且，则_.（15）已知数列的各项均为正数，满足，其中常数.给出下列四个判断：若，则；若，则；若，则；，存在实数，使得.其中所有正确判断的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)（本小题13分）在中，.（）求；（）若，为边的中点，且，求的值. (17)（本小题13分）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽

5、取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为,求的分布列与数学期望;（）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506, 516, 553, 592, 617, 632, 667, 693, 723, 776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y, 试判断数学期望与()中的的大小.

6、(结论不要求证明) (18)（本小题14分）如图，在五面体中，底面为正方形，. （）求证：；（）若为的中点，为的中点，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值条件：；条件：. 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.（19）（本小题15分）已知函数.（）求曲线在处的切线方程；（）设，求函数的最小值；（III）若，求实数的值.（20）（本小题15分）已知椭圆的短轴长为，离心率. （I）求椭圆的方程；（II）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积. （21）（本小题15分）有穷数列中，令 ，

7、当时规定.（）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；（）已知整数列,为偶数. 若满足：当为奇数时，；当为偶数时，. 求的最小值；（）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）C（3）B （4） A （5）C （6）A（7）B （8）A（9） C （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13） (答案不唯一)（14），2 （15） 三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分） 解：（）因为，根据正弦定理得.所以.因为，所以，从而得.又因为，所以，所以，可得. .5分

8、 （）在中，.由正弦定理得，所以，.所以.在中，由余弦定理得.所以. .13分 （17）（共13分）解:（）由频率分布直方图可得，100人的样本中阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为，估计该校高二学生阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为0.4,故人数的估计值为15000.4=600人. .4分（）从该校高二学生中随机抽取1人，则此人阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为.又的可能取值为，由题意可得，则，.所以的分布列为0123的数学期望为. .10分（）. .13分（18）（共14分）解：（）因为四边形是正方形，所以.又，所以.又平面平面，所以. .6分 （）选取条件: .取的中点，

9、的靠近点的四等分点，连接，因为是中点，是中点，所以，.因为，所以.又，且，所以.又因为,所以.又且，所以.又,所以.如图，建立空间直角坐标系，由题意得，所以，.设平面的法向量，则 即令，则.于是.设直线与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值为. .14分 选取条件: . 在中，,于是，.因为，于是，所以.又，且，所以.取的中点，取的靠近点的四等分点,连接，如图建系,下同条件，可得与平面所成角的正弦值为. .14分 （19）（共15分）解：（）. 曲线在处的切线的斜率. 又因为，所以切点为 曲线在处的切线方程为. .5分（）设, .当变化时，和的变化如下表：（1，2）2（2，+）0+极小值当

10、 时，. .10分 （）若，则，不合题意；若， 设，由（II）知，所以在上单调递增.又，所以当时，；当时，. 所以符合题意.综上所述. .15分（20）（共15分） 解：（I）由已知可得，解得，所以椭圆的方程为. .5分（II）当直线斜率存在时，设直线，由直线与圆相切得，化简得. 设，则， ，.因为在椭圆上，所以，即，即，解得，.此时弦长，因为到直线的距离,所以平行四边形的面积. 当直线斜率不存在时，不妨设直线，则 ，所以不在椭圆上,不合题意. .15分 (21)（共15分）解：（） .4分（）由已知得与异号，其中.由于.因此.而,所以.令.当为奇数时，取，时，有.当为偶数时，取，时，.综上，的最小值为. .9分（）对于数列，不妨设.因此要证：，（1） 首先考虑的情况. 由于，所以.同理由已知，所以.（2）下面考虑中有一段是连续的正整数的情况，即，由于由已知这说明此连续的项的和为负.同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负.再由（1）的结论可得：.（2） 若在（1）,（2）中，由于此时去掉前项，则可转化为（1）,（2）的情况.所以有. （4）若则所以此时有综上所述，结论成立.15分高三数学 第 12 页 共 12 页