北京市平谷区2024年高三一模数学试卷（含答案）

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1、平谷区20232024学年度第二学期质量监控试卷高三数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B）（C）（D）（2）已知复数，则（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数为（A）（B） （C）（D）（4）下列函数中，在区间上单调递减的是（A）（B）（C）（D）（5） 在中，“”是“”的A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知抛物线的焦点为， 是坐标原点，点在上若，则（A） （B） （C） （D）（7）已知等差数列和等比数列

2、，则满足的数值（A）有且仅有1个值 （B）有且仅有2个值（C）有且仅有3个值 （D）有无数多个值（8）一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下， 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（A）（B） （C）（D）（9）已知，是曲线上一个动点，则的最大值是（A） （B） （C） （D）（10）设点，动直线，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域是_ （12）已知双曲线的左、右焦点分别为,并且经过点，则_；双曲

3、线的渐近线方程为_.（13）设，.若对任意的实数都有,则满足条件的所有可能的取值为_ （14）若的面积为,且C为钝角，则A=_；的取值范围是_.（15）已知函数，设给出下列四个结论： 当时，不存在最小值； 当时，在为增函数；当时，存在实数，使得有三个零点；当时，存在实数，使得有三个零点其中正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数，其中再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题（）求的值； （）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围条件：对任意的，都有成立；条件： ；条件：注

4、：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，平面平面，点是的中点，为线段上的动点 （）若直线平面，求证：为线段的中点；（）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长 （18）（本小题13分）某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买 商品顾客人数甲乙丙丁（）估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；（）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买

5、了两种商品，1名顾客购买了一种商品，1名顾客购买了三种商品的概率；（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆过点，离心率为.（）求椭圆的方程；（）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于点，直线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于，直线交轴于，求证：点为线段的中点.（20）（本小题15分）设函数，曲线在点处的切线斜率为1（）求的值；（）设函数，求的单调区间；（）求证：（21）（本小题15分）已知是无穷数列，对于，给出三个性质：；：（）；： （）.（）当时，若，直接写出的一个值，使数列满足性质；（）若和时，数列同时满

6、足条件，证明：是等差数列；（）当，时，数列同时满足条件，求证：数列为常数列.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）C （5）B（6）A （7）A （8）B （9）D （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）且（12）， （13） ， （14）， （15） 三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：因为，所以（）选择条件：对任意的，都有成立，所以为函数最大值，得解得，又因为，所以（）由（）可知 当时，. 因为在上单调递增，在单调递减，且，所以，解得，实数的取值范围是（）选择条件：因为，所以为函数最大值，为

7、函数最小值，以下解法同选择条件（17）（本小题14分）zxy解：（I）在中，过点作/交于点，连接. 因为/，所以/，所以，四点共面.因为直线平面，平面，平面平面，所以/所以四边形是平行四边形.所以所以为的中点. （II） 因为侧面为正方形，所以，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又因为正方形，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）设，所以，则所以设平面的一个法向量为， 由 得即 取，得设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以 设直线与平面所成角为，则，解得 ,所以，即线段的长为（18）（本小题13分）解：（）从统计表可以看出，在这位顾客中有位顾客同时购买了甲、乙两

8、种商品，所以顾客只购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为（）设事件：顾客购买了两种商品，事件：顾客个购买一种商品，事件：顾客购买了三种商品从统计表可以看出，可估计为，可估计为，可估计为依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为因此所求的概率可估计为（）该顾客购买丙的可能性最大（19）（本小题15分）解：（）由题意得解得，.所以椭圆的方程是. （）椭圆的右焦点的坐标为，由题意，设直线的方程为 .，整理得设直线交椭圆于点，则，.由直线的方程，令解得，所以，.所以直线的方程为，.令解得，所以.直线的方程为，.令解得，所以.由于，.

9、则=2.所以线段的中点为. （20）（本小题15分）解：（）. 因为.所以，解得.（）因为，的定义域为令，得与在区间上的情况如下：极小所以在的单调递减区间为，单调递增区间为.（）由（）得，在时，取得最小值，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，当时，所以；当时，所以.所以. （21）（本小题15分）解：（）；（）若时，数列满足条件，得，数列满足条件，得，得两式相加（*）若时，数列满足条件，得，数列满足条件，得，得两式相加（*）由（*）知，代入（*）得得，其中，所以是等差数列，设其公差为在（*）中，取，则，所以，在（*）中，取，则，所以，所以数列是等差数列（） 当时，即，所以 若（），则，经检验，数列具有性质. 若，当时，与矛盾 当时，令，则，.所以 .所以 所以 ，所以 ，所以 当时，与矛盾 综上所述，数列的通项公式为（为常数，且）.