2024年浙江省杭州市临平区、余杭区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2024学年浙江省杭州市临平区、余杭区中考一模数学试卷一、选择题（有10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（）A. 2B. C. D. 2. 下列计算正确的是( )A B. C. D. 3. 新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 某学校5名教师在一次义务募捐中的捐款额（单位：元）为，若捐款最少的教师又多捐了30元，则分析这5

2、名教师捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差6. 下列几何体都是由6个同样立方体组成，具有相同左视图的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文B. 每尺绫布比每尺罗布便宜1

3、20文C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文9. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 若抛物线经过点，则必过点B. 若点和都在抛物线上，则C. D. 10. 如图，在中，以、为边在的同侧作正方形和正方形，点在上，连结、若要求四边形的面积，则只需知道（ ）A. 的长B. 的长C. 的面积D. 的面积二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）11. 若分式有意义，则的取值范围是_12. 分解因式： _13. 一个不透明袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为_14. 已

4、知圆锥底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是_15. 一个直径为的圆中阴影部分面积为S，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同一条直线同时相向而行圆每秒滚动，正方形每秒滑动，第_秒时，圆与正方形重叠部分面积是S 16. 某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵则原长方形队阵中有同学_人三、解答题（本大题有8小题，共66分）17. （1）计算：；（2）解不等式组18. 如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形（1）在图1中，在上找一点，使得平分面积（2）在图2中，在上找

5、一点，使得将分成面积比为两部分（找到一个即可）19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中（1）求的面积；（2）请根据图象直接写出不等式的解集20. 某中学为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次考察中一共调查了 名学生；“排球”部分所对应的圆心角为 度；（2）补全条形统计图；（3）若全校有3000名学生，试估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人？21. 图1是某景区塔，图2是它的测量示意

6、图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高所在的直线为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时恰好共线，若塔顶底部米，与交于点（）在同一水平线上，参考数据：）（1）求塔尖高度（2）若塔身与地面夹角的正切值为6（即），则还需要往前走多少米到达塔底处（精确到米）22. 如图1，在中，是的中点，点，点分别在，上，连结，（1）若，求证：（2）如图2，在（1）的条件下，连结，若，求的值23. 如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小速度与时间的关系如图2中的实线所

7、示（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度匀减速运动时的路程和平均速度类似可得）（1）若时，求解下面问题求的值；写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式（2）若小球滚动最大的路程，则小球在水平地面上滚动了多长时间？24. 如图，为外接圆，点、分别为、中点，连结、，分别与、交于点、已知（1）求证：（2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、若，求证：是等边三角形（3）在（2）的基础上，若，求DN的长；求2024学年浙江省杭州市临平区、余杭区中考一模数学试卷一、选择题（有10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（）A.

8、 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可【详解】的倒数是，故选：D2. 下列计算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解【详解】A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2a3=a5，正确；C、应为（a2）3=a23=a6，故本选项错误；D、应为a10a2=a10-2=a8，故本选项错误故选B【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握

9、运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并3. 新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，其中，n为整数，是解题的关键根据科学记数法的表示方法进行表示即可【详解】故选：A4. 如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴，掌握解一元一次不等式

10、的方法是解题的关键根据点的位置列出不等式组，再解这个不等式组即可【详解】位于数字1和2之间的点表示的数为，解得：故选：B5. 某学校5名教师在一次义务募捐中的捐款额（单位：元）为，若捐款最少的教师又多捐了30元，则分析这5名教师捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，根据捐款最少的员工又多捐了30元，则从小到大的顺序改变，众数不变，据此即可求解，掌握相关知识是解题的关键【详解】解：捐款最少的教师又多捐了30元，数据为：， ，A、平均数增加了元，故选项不符合题意；B、中位数变为了元，故选项

11、不符合题意；C、众数不变，故选项符合题意；D、方差发生了改变，故选项不符合题意；故选：C6. 下列几何体都是由6个同样的立方体组成，具有相同左视图的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图，掌握三视图的特点是解题的关键从左边观察，四个图都有2层，每层的正方体个数分别为：上层2个下层2个，上层1个，下层2个，上层1个，下层2个，上层1个，下层1个，据此判定即可【详解】解：A 的左视图不相同，该选项不符合题意；B 的左视图相同，该选项符合题意；C 的左视图不相同，该选项不符合题意；D 的左视图不相同，该选项不符合题意；故选：B7. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于

12、地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查平行线的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形是解决问题的关键根据正六边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出【详解】如图，延长交于点H，六边形是正六边形，又，又，；故选：D8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文B. 每尺绫

13、布比每尺罗布便宜120文C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文【答案】C【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可【详解】设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文故选：C9. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 若抛物线经过点，则必过点B. 若点和都在抛物线上，则C. D. 【答案】D【解析】

14、【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线，若经过点，则经过点，故选项不符合题意；B、由图象可知，图象开口向下，由离对称轴越近的值越大，故选项不符合题意；C、抛物线对称轴为直线，且过点，与的另一个交点为，故选项不符合题意；D、抛物线的顶点为，且经过点，代入抛物线得：，则，则，由得：，故选项符合题意；故选：D10. 如图，在中，以、为边在的同侧作正方形和正方形，点在上，连结

15、、若要求四边形的面积，则只需知道（ ）A. 的长B. 的长C. 的面积D. 的面积【答案】B【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交于点，由正方形的性质得出，得到，进而得出，再证明，得到即可求解，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键【详解】解：四边形，是正方形，在和中，过点作交于点，则，在和中，要求四边形的面积，只需知道的长，故选：B二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）11. 若分式有意义，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，要使分式有意义，则，即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键【详解】解：要使分式有意义

16、，则，故答案为：12. 分解因式： _【答案】【解析】【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式进行因式分解即可【详解】解：原式，故答案为：13. 一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为_【答案】#0.6【解析】【分析】利用概率公式直接计算概率即可【详解】解：一共有10个球，即摸出一个球的结果共有10种，黑球有6个，即摸出一个黑球的结果有6种，摸出的小球是黑球的概率为，即，故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数总的结果数，是解题的关键14. 已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是_【答案】

17、【解析】【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长，即可求解【详解】解：底面半径是2，则底面周长，圆锥的侧面积【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，牢记圆的周长公式和扇形面积公式是解题的关键15. 一个直径为的圆中阴影部分面积为S，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同一条直线同时相向而行圆每秒滚动，正方形每秒滑动，第_秒时，圆与正方形重叠部分面积是S 【答案】4【解析】【分析】设t秒后重叠部分面积为S，根据路程和等于列方程求解即可【详解】解：设t秒后重叠部分面积为S，如图， 根据题意，则，解得，故答案为：4【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键16. 某校

18、举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵则原长方形队阵中有同学_人【答案】1025【解析】【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组，解题的关键是用平方差公式分解因式后建立二元一次方程组设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，根据增加或减少64人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为m，n，列式后得出，再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程组求解即可【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，

19、n为正整数两式相减，得，即，和同奇或同偶，或或，解得或或，当时，当时，不合题意，舍去；当时，不合题意，舍去；故原长方形队阵中有同学1025人故答案为：1025三、解答题（本大题有8小题，共66分）17. （1）计算：；（2）解不等式组【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，整式的乘法，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键（1）利用平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项即可求解；（2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集【详解】解：（1）；（2），解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为：18. 如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形（1）在

20、图1中，在上找一点，使得平分面积（2）在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题考查网格作图，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键（1）根据中线平分三角形的面积，找出的中点就是所求作的点；（2）由等高三角形的面积之比等于底边之比可得点把分成两部分，根据相似三角形求作即可【小问1详解】如图所示，就是所求作的点，【小问2详解】如图所示，点就是所求作的点，或19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中（1）求的面积；（2）请根据图象直接写出不等式的解集【答案】（1）； （2）或

21、【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题及图象与性质，掌握相关知识是解题的关键（1）将点代入中，得到，再进一步得到，即可求解；（2）根据图象及即可求解【小问1详解】解：将点代入中，得：，将点代入中，得：，反比例函数的解析式为：，令，则，解得：，点，联立方程得：，解得：，点，的面积为【小问2详解】解：，根据图象可知，或20. 某中学为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次考察中一共调查了

22、 名学生；“排球”部分所对应的圆心角为 度；（2）补全条形统计图；（3）若全校有3000名学生，试估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人？【答案】（1）150； （2）见解析 （3）420人【解析】【分析】（1）根据其它的百分比和人数可求总数；利用扇形图所对的圆心角的度数百分比乘以360度即可求得；（2）利用总数和百分比求出篮球的人数再补全条形图；（3）用样本估计总体即可【小问1详解】解：在这次考察中一共调查了学生：（名），“排球”部分所对应的圆心角为：，故答案为：150；【小问2详解】解：篮球的人数为：（名），补全条形统计图如下：【小问3详解】解：（名），答：该校喜欢乒乓球的学生约有420人【点

23、睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21. 图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高所在的直线为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时恰好共线，若塔顶底部米，与交于点（）在同一水平线上，参考数据：）（1）求塔尖高度（2）若塔身与地面夹角的正切值为6（即），则还需要往前走多少米到达塔底处（精确到米）【答案】（1）； （2）还需要往前走米到达塔底处【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键（1），所在直线对称

24、轴，可得，且，即可求解；（2）设，则，求得，作交于点，求得即可求解【小问1详解】解，所在直线为对称轴，且，共线，【小问2详解】解：设，解得：，即，作交于点，如图：， ，还需要往前走米到达塔底处22. 如图1，在中，是的中点，点，点分别在，上，连结，（1）若，求证：（2）如图2，在（1）的条件下，连结，若，求的值【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相似三角形的对应边和对应角是解题的关键（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质证明，再根据相似三角形的判定证明即可；（2）根据相似三角形的性质，结合中点的定义可得，再证，利用对应边成

25、比例求解即可【小问1详解】，即，又，【小问2详解】，是的中点，即，即，23. 如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小速度与时间的关系如图2中的实线所示（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度匀减速运动时的路程和平均速度类似可得）（1）若时，求解下面问题求的值；写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式（2）若小球滚动最大路程，则小球在水平地面上滚动了多长时间？【答案】（1），； （2）小球在水平地面上滚动的时间为【解析】

26、【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据给出的条件找出合适的等量关系，列出方程（1）当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系为：小球在地面滚动的速度为当时，当时，小球在地面运动的速度即可求解；（2）设小球在斜面的运动时间为，则小球运动的路程关于的函数为：即可求解【小问1详解】解：当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系为：当时，由于小球在地面上滚动的每秒减少，小球在地面滚动的速度为：当时，即：； 小球在斜面运动的时间范围是在斜面上的平均速度为：小球在斜面的运动路程为：当时，小球在地面运动的速度，小球运动的路程，综合上述：，【小问2详解】解：设小球在斜面的运动时间为，小球在斜

27、面运动的速度为：，小球在斜面运动的平均速度为：，小球在斜面运动的路程为：，小球在水平面运动的速度为：，小球在水平面运动的平均速度为：，小球在水平面运动的路程为：，小球运动路程关于的函数为：当时，有最大值为即解得：，小球在水平地面上滚动的时间为：24. 如图，为外接圆，点、分别为、中点，连结、，分别与、交于点、已知（1）求证：（2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、若，求证：是等边三角形（3）在（2）的基础上，若，求DN的长；求【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3），【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键（1）由分别为 、中点，由圆周角定理可得，进而得到即可求证；（2）过点作于点，先证明，得到，即可求证；（3）过点作于点，由三角函数得到，再证明，根据勾股定理可得，再由即可求解； 由可得设则，即可求解小问1详解】证明：如图：分别为 、中点，【小问2详解】证明：分别为 、中点， ，是等边三角形【小问3详解】解：，为等边三角形，过点作于点，如图：，由（1）知，即 ，； ，为等边三角形，又 为等边三角形， ，设则，