2024年湖南省长沙市芙蓉区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023-2024学年湖南省长沙市芙蓉区中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分1. 下列四个汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来用科学记数法表示35000000是（ ）A. 3.5106B. 3.5107C. 35106D. 351073. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似（3）两个等边三角形一定相似（4）任意两个矩形

2、一定相似A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 在RtABC中，C=90，AC=1，BC=3，则A的余弦值为（ ）A 3B. C. D. 6. 如图，点在上，则的度数为（）A. 15B. 30C. 50D. 607. 二次函数图象与一次函数只有一交点，则b的值为（ ）.A. B. b=2或b=12C. D. 或8. 如图，在中，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（）A. B. C. D. 9. 如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（）A. 关于x的方

3、程的解是B. 关于x的不等式的解集是C. 当时，函数的值比函数的值大D. 关于x，y的方程组的解是10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（） A B. C D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分11. 因式分解：_12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为_13. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，则的长为_15. 如图，

4、与的边相切，切点为将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点若，则_度16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）则图中的长应是_三、答题：本题共9小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 如图，在ABC中，ACB的平分线交AB于点D（1）尺规作图：作ABC的平分线BO交CD于点O（保留作图痕迹，不写作法）（2）求BOD的度数20. 购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，

5、D其他数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名消费者？（2）补全条形统计图；（3）求扇形统计图中D对应的圆心角度数21. 如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域长为米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，在点处测得摄像头的仰角为，求学校大门的高是多少米22. 如图，中，分别是的中点，过点B作，交的延长线于点F（1）求证：四边形是菱形（2）若BC=2, BCE=60 ，求菱形的面积23. 在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15千米，有甲、乙两个工程队可供选

6、择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5千米，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间1.5倍（1）求甲、乙两队每天修路多少米？（2）已知甲队每天工作费用7500元，乙队每天工作费用6000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78000元，求甲队至少要工作多少天？24. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果，那么称点Q为点P“沉毅点”例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点（1）若直线上点M的“沉毅点”是，求点M的坐标；（2）若双曲线上点P的“沉毅点”为点Q，且=4，求k的值；（3）若点P在函数上，其“沉毅点”Q的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范

7、围25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和过作轴于，交于，且（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点是线段上的一动点，过作轴于，连接，若面积为，求的取值范围（如图2）（3）经过点的直线交轴于点H，在直线上是否存在点M，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由（如图3）2023-2024学年湖南省长沙市芙蓉区中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分1. 下列四个汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两

8、旁的部分能够完全重合的图形【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意故选：A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2. 据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来用科学记数法表示35000000是（ ）A. 3.5106B. 3.5107C. 35106D. 35107【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法，即可得到答案【详解】用科学记数法表示350000

9、00是：3.5107故选：B【点睛】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法，从而完成求解3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据合并同类项，幂的乘方，单项式除法单项式以及平方差公式计算，再判断即可【详解】解：A与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B，故本选项不符合题意；C故本选项符合题意；D，故本选项不合题意；故选：C【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方,单项式除法单项式以及平方差公式计算，掌握计算方法是解决问题的关键4. 下列命题中正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似（2）斜边和一直角边对

10、应成比例的两个直角三角形相似（3）两个等边三角形一定相似（4）任意两个矩形一定相似A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定即可【详解】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故（1）正确；（2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故（2）正确；（3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故（3）正确；（4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故（4）

11、错误；故正确命题有（1）（2）（3）一共3个，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义5. 在RtABC中，C=90，AC=1，BC=3，则A的余弦值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据锐角三角函数的定义求出即可【详解】解：在RtABC中，C=90，AC=1，BC=3，AB=，A的余弦值为=，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键6. 如图，点在上，则的度数为（）A. 15B. 30C. 50D. 60【答案】

12、D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理根据圆周角定理即可得出答案【详解】解：，故选：D7. 二次函数图象与一次函数只有一交点，则b的值为（ ）.A. B. b=2或b=12C. D. 或【答案】D【解析】【分析】解决本题需分情况讨论，联立二次函数与一次函数形成的一元二次方程，利用根的判别式，=0时，两函数只有一个交点；当二次函数对称轴左侧部分与函数相交时，它最多与一次函数相交于（5,0），将该点代入二次函数即可求出b的取值范围；当二次函数对称轴右侧部分与函数相交时，由得二次函数与一次函数要有交点，即二次函数的对称轴必须在，不存在这种情况.综上可得b的取值范围.【详解】当时，二次函数图象与一

13、次函数只有一交点时，得；当二次函数经过点时，得b=2或12，当时不符合题意，故选D.【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数与一次函数相交，可联立两个函数形成一元二次方程，交点的个数与一元二次方程的解得个数相同.本题中由于只是一次函数的一部分，所以还需讨论虽然二次函数与一次函数有两个交点，但有一个交点不在这一段的情况.8. 如图，在中，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作

14、图方法是解答本题的关键由尺规作图可知，则，由，可得，即可得，在中，结合三角形内角和定理即可得出答案【详解】解：由尺规作图可知，故选：D9. 如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（）A. 关于x的方程的解是B. 关于x的不等式的解集是C. 当时，函数的值比函数的值大D. 关于x，y的方程组的解是【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象

15、的交点坐标，根据条件结合图象对各选项进行判断即可【详解】解：一次函数（是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：B10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点的坐标为，则，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解【

16、详解】解：设点的坐标为，当时，最短，此时点的坐标为，故选：C【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分11. 因式分解：_【答案】y(x+6)(x-6)【解析】分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可【详解】原式y(x2-36)=y(x+6)(x-6)，故答案为：y(x+6)(x-6)【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等任意转动转盘1次，

17、当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为_【答案】#0.5【解析】【分析】根据转盘中6个扇形的面积都相等，结合概率的公式即可求解【详解】解：由于转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为故答案为：或0.5【点睛】本题考查了概率，熟知概率的公式是解题的关键，随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果数除以所有等可能性出现的结果数13. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _【答案】(-2,-1)【解析】【分析】根据“左减右加，上加下减”原则即可求解【详解】由图可知，

18、P点坐标为(-5,4)，图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，P点横坐标加3，纵坐标减5，即-5+3=-2，4-5=-1，即的坐标为(-2,-1)故答案为：(-2,-1)【点睛】本题考查了坐标的平移，掌握“左减右加，上加下减”的原则是解答本题的关键14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，则的长为_【答案】【解析】【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可【详解】解：四边形是菱形，O为AC中点，故答案为：【点睛】本题主要考查菱形性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键15. 如图，与的边相切，切点为将绕点按顺时针方向旋转

19、得到，使点落在上，边交线段于点若，则_度【答案】85【解析】【分析】连结OO，先证BOO为等边三角形，求出AOB=OBO=60，由与的边相切，可求CBO=30，利用三角形内角和公式即可求解【详解】解：连结OO，将绕点按顺时针方向旋转得到，BO=BO=OO，BOO为等边三角形，OBO=60，与的边相切，OBA=OBA=90，CBO=90-OBO=90-60=30，A=25AOB=90-A=90-25=65AOB=AOB=65，OCB=180-COB-OBC=180-65-30=85故答案为85【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质

20、，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）则图中的长应是_【答案】【解析】【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，在中应用勾股定理即可求解【详解】解：地毯平均分成了3份，每一份的边长为，在中，根据勾股定理可得，根据裁剪可知，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键三、答题：本题共9小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 计算：【答案】【解析】【分析】先计

21、算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，再进行加减运算即可【详解】解：原式【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键18. 先化简，再求值：，其中【答案】 ，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值【详解】解：原式，当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键19. 如图，在ABC中，ACB的平分线交AB于点D（1）尺规作图：作ABC的平分线BO交CD于点O（保留作图痕迹，不写作法）（2）求BOD

22、的度数【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，再利用尺规作图即可作出；（2）根据角平分线定义及三角形内角和定理即可求得【小问1详解】解：如图所示，即为所求：【小问2详解】解：，平分，平分，【点睛】本题考查角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图20. 购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多

23、少名消费者？（2）补全条形统计图；（3）求扇形统计图中D对应的圆心角度数【答案】（1）200名 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）用B支付方式的人数除以它的百分比即可求解；（2）求出A支付方式，D支付方式的人数，然后补图即可；（3）用乘以D支付方式的百分比即可【小问1详解】解：（名），答：本次调查的总人数为200名；【小问2详解】解：A支付方式人数为（名）D支付方式的人数为（名），补图如下：【小问3详解】解：在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21. 如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温

24、检测有效识别区域长为米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，在点处测得摄像头的仰角为，求学校大门的高是多少米【答案】学校大门ME的高是米【解析】【分析】利用三角形的外角性质可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可【详解】解：根据题意可知，米，米，米，在中，（米）答：学校大门ME的高是米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键22. 如图，中，分别是的中点，过点B作，交的延长线于点F（1）求证：四边形是菱形（2）若BC=2, BCE=60 ，求菱形的面积【答案】（1）见解析 （2）2

25、【解析】【分析】（1）先证四边形BCFE是平行四边形再证BC=CE，即可得出结论；（2）根据等边三角形判定和性质以及菱形的性质解答即可【小问1详解】证明：D、E分别是AC、AB的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，DE=BC，EFBC，BFCE，四边形BCEF是平行四边形，DE=CEBC=CE，平行四边形BCEF是菱形；【小问2详解】解：如图，过点E作EGBC于点G，由（1）知BC=CE，BCE=60，BCE是等边三角形，BE=CE=BC=2，EGBC，BG=BC=1，在RtBGE中，由勾股定理得：EG=，S菱形BCEF=BCEG=2【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平

26、行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键23. 在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15千米，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5千米，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍（1）求甲、乙两队每天修路多少米？（2）已知甲队每天工作费用7500元，乙队每天工作费用6000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78000元，求甲队至少要工作多少天？【答案】（1）甲队每天修路 1.5 千米，乙队每天修路1千米；（2）最少要修路8天【解析】【分析】（1）设乙队每天修路 x千米

27、，则甲队每天修路（x+0.5）千米，根据“乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍”建立分式方程求解，并最后注意检验即可；（2）设甲队工作m天，则甲队修路1.5m千米，乙队修路（15-1.5m）米，根据“工程总工作费用不超过78000元”建立一元一次不等式求解即可【详解】解：（1）设乙队每天修路 x千米，则甲队每天修路（x+0.5）千米， 根据题意，得，解得，经检验，是原分式方程的解甲队每天修路1.5千米，乙队每天修路1千米；（2）设甲队工作m天，则甲队修路1.5m千米，乙队修路（15-1.5m）米， 乙队修路（15-1.5m）天，根据题意，得7500 m + 6000 (

28、15 -1.5m) 78000，解得m8甲队最少要修路8天【点睛】本题考查分式方程与一元一次不等式的实际应用问题，仔细审题，明确数量关系建立方程或不等式是解题关键24. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“沉毅点”例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点（1）若直线上点M的“沉毅点”是，求点M的坐标；（2）若双曲线上点P的“沉毅点”为点Q，且=4，求k的值；（3）若点P在函数上，其“沉毅点”Q的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围【答案】（1）点M的坐标为或 （2） （3）【解析】【分析】（1）先根据题中条件写出点的坐标为，然后根据“沉毅点”的定义分和两

29、种情况进行讨论，分别求出的值，即可得出点的坐标；（2）设点，且，根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，即可求得，然后利用三角形面积公式得到，解得；（3）当时，求出的值，再根据“沉毅点”的定义即可解决问题【小问1详解】直线上点的“沉毅点”是，点的坐标为，当时，根据“沉毅点”的定义可得：，解得：，此时点的坐标为，当时，根据“沉毅点”的定义可得：，解得：，此时点的坐标为，综上所述，点的坐标为：或；【小问2详解】由题意可设点，且，根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，；【小问3详解】如图为“沉毅点”函数图象：从函数图象看，“沉毅点”的纵坐标的取值范围是，而，当时，当时，或，当时，解得：舍去负值，观察图象可

30、知满足条件的的取值范围为【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和过作轴于，交于，且（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点是线段上的一动点，过作轴于，连接，若面积为，求的取值范围（如图2）（3）经过点的直线交轴于点H，在直线上是否存在点M，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由（如图3）【答案】（1）直线和双曲线解析式分别为和 （2） （3）或【解析】【分析】（1）根据，点横坐标为3，可

31、得，再由点在直线及上，即可求解；（2）设点坐标为，可得，再由二次函数的性质，即可求解；（3）过点O作交于点M，在y轴上取点K，使，过点K作交于点，根据同底等高的两个三角形的面积相等，可得点M是符合条件的点， 点也是符合条件的点，再求出直线的解析式为，从而得到直线和的解析式，即可求解【小问1详解】解： ，点横坐标为3，点的横坐标为1，即 点在直线及上，解得， 直线和双曲线的解析式分别为和；【小问2详解】解：设点坐标为， 当或3时，；当时，有最大值2 S的取值范围为 【小问3详解】解：存在 点M的坐标为或，如图，过点O作交于点M，在y轴上取点K，使，过点K作交于点，和同底等高，点M是符合条件的点， 由对称性得：和同底等高，点也是符合条件的点，在中，令，点，把点代入得：，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，联立：，解得：，点，点，即点，直线的解析式为，联立：，解得：，点；综上所述，点M的坐标为或【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等知识，解题的关键是分类思想的应用及作辅助线，构造等底同高的三角形