2024年山西省晋中市榆次区多校中考二模数学试卷（含答案解析）

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1、2024年山西省晋中市榆次区多校中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 计算：结果是（ ）A. B. C. 1D. 52. 2024年是农历甲辰年（龙年），为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等下列龙的图标中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O为圆心，r为半径的圆，笛卡尔用来表示它从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P连续运动的轨迹这种研究方法体现的数学思想是（ ）A. 整体思想B. 归纳思想C. 换元思想D

2、. 数形结合思想5. 根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤数据亿用科学记数法表示为（ ）A. 13.90821011B. 1.390821012C. 1.390821013D. 0.13908210136. 下面是小明同学的数学作业，部分被墨水污染，结合解答过程可知墨水污染处原本应填写的解题依据是（ ）问题：如图，已知，则1的度数是？ 解：，（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），（ ）A. 两直线平行，同旁内角互补B. 两直线平行，同位角相等C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，内错角相等7. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C.

3、D. 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均在格点上，则点B到线段的距离为（ ）A. 5B. C. 2D. 9. 若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 如图是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视示意图如图所示，的直径为40cm，毛刷的一端固定在点M处，另一端为动点P，cm，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上，则该毛刷能扫到区域的面积（阴影部分）是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算：_12 已知a+b=5，a-b=2，

4、则2a2-2b2=_13. 色光三原色是指红、绿、蓝三色把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择色光进行混合，则可以呈现青色的概率为_ 14. 扎染是汉族民间传统而独特的染色工艺临近假期，某扎染制品专卖店的月销售额显著增加，2月份的销售额为万元，4月份的销售额为5万元，则该店这两个月销售额的月平均增长率为_15. 如图，在中，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为_三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程

5、或演算步骤）16. （1）计算：； （2）解不等式组：17. 如图，已知（1）实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；（2）应用与计算：连接，若，求的度数18. 由山西省教育科学研究院和山西省书法家协会主办，山西师范大学书法学院协办的“书法名家进校园”启动仪式在太原市举行，此次活动旨在落实立德树人根本任务，传承中华优秀传统文化，切实推动山西省书法教育迈上新台阶某文具用品店销售A，B，C三种毛笔，为了解销售情况，该店统计了这一周三种毛笔每天的销量并绘制了如下统计图表三种毛笔销量数据分析表款式总销量中位数众数A505cB50b6Ca10

6、12补充数据：这三种毛笔每支的利润分别为：A种5元，B种7元，C种4元请解答下列问题（1）填空： ， ， ；（2）若后面一周这三种毛笔一共卖出去了240支，请你估计A种毛笔卖出去了多少支；（3）请你根据以上信息，向该店店主提出一条合理的进货或销售建议19. 项目化学习项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植；（2）从种植开始每隔两天记录一次数据；（3）数据分析，形成结论数据记录：已种菜苗天数x/天0246810甲种菜苗

7、高度6912151821乙种菜苗高度151617181920初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系问题解决：请根据上述材料完成下列问题（1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；（2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度；（3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由20. 阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务黄金分割数古希腊数学家欧多克索斯在公元前4世纪第一个系统研究了黄金分割这一问题，并建立起比例理论如图，点C把线段

8、分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，该比值称为黄金分割数黄金割在自然界、建筑学、美学等很多方面都有广泛应用，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值在反比例函数中也存在黄金分割如图，在反比例函数的图象中，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点A作轴，垂足为点B，过点B作的平行线与该反比例函数图象交于点C，过点C作轴，垂足为点D，则与的比为黄金比证明“与比为黄金比”的过程如下：轴，轴，设点A的坐标为，与的比值为，则，任务：（1）若在图中，点C为上靠近点B的黄金分割点，求的长；（2）请写出阅读材料中剩余证明过程；（3）如图，在中

9、，平分，请你证明点D是的黄金分割点21. 如图是公园的一种健身器材，由底座、摇杆、踏板杆、尾杆组成，图是其侧面结构示意图已知， ，测得，摇杆 绕点B转动，且点C，D，E是可转动点，小亮踩动踏板，使，顺时针旋转一定角度，已知旋转后点距地面高度为，摇杆与踏板杆的夹角，摇杆与 的夹角，求点到地面的距离（结果保留一位小数参考数据：，） 22. 综合与实践问题情境：如图，在矩形中，沿对角线折叠矩形并展开，再沿对角线折叠矩形并展开，两次的折痕交于点O，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接问题探究：（1）请判断四边形的形状并说明理由；问题解决：（2）在图基础上将矩形沿折叠得到图，点A、C对应点分别为点、请

10、判断与的位置关系，并加以证明；连接，当线段的长最小时，请直接写出的长23. 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线（1）求A，B两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；（2）若点P在x轴上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为m已知点，当点P位于第一象限时，连接交于点E，若，求m的值；连接，若是钝角三角形，请直接写出点P的横坐标的取值范围2024年山西省晋中市榆次区多校中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 计算：的结果是（ ）A. B. C. 1D. 5【答案】C【解

11、析】【分析】直接利用有理数的加法运算法则计算得出答案【详解】解：故选：C【点睛】此题主要考查了有理数的加法，正确掌握相关运算法则是解题关键2. 2024年是农历甲辰年（龙年），为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等下列龙的图标中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B是中心对称图形，故此选项符

12、合题意；C不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B3. 下列运算正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方等幂的运算、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题的关键.【详解】A. ，原计算错误；B. ，原计算错误；C. ，计算正确；D. ，原计算错误故选：C4. 圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O为圆心，r为半径的圆，笛卡尔用来表示它从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P连续运动的轨迹这种研究方法体现的数学思想是（ ）A. 整体思想B. 归纳思想C. 换元思想D.

13、 数形结合思想【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平面直角坐标系使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，即可确定答案【详解】解：用代数的方法研究几何问题，可知这种研究方法体现了数形结合思想，故选：D5. 根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤数据亿用科学记数法表示为（ ）A. 13.90821011B. 1.390821012C. 1.390821013D. 0.1390821013【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位

14、，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键【详解】亿6. 下面是小明同学的数学作业，部分被墨水污染，结合解答过程可知墨水污染处原本应填写的解题依据是（ ）问题：如图，已知，则1的度数是？ 解：，（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），（ ）A. 两直线平行，同旁内角互补B. 两直线平行，同位角相等C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，内错角相等【答案】A【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，由两直线平行，同旁内角互补可得答案【详解】解：解：，（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补）故选

15、A7. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求出的度数，进而求出的度数，利用圆内接四边形对角互补求出的度数，利用等边对等角即可求出的度数【详解】如解图，连接， 是的直径，四边形是的内接四边形，故选C8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均在格点上，则点B到线段的距离为（ ）A. 5B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，在线段上取一点D，连接，根据

16、勾股定理求出， ，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，即可求出结果【详解】解：如图，在线段上取一点D，连接，点D为格点，在中， ，是直角三角形，点B到线段的距离即为线段的长，点B线段的距离为故选：B9. 若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限可知，即，可求，进而可得a的取值范围【详解】解：，当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，解得，a的取值范围是10. 如图是一款带毛刷的圆形

17、扫地机器人，它的俯视示意图如图所示，的直径为40cm，毛刷的一端固定在点M处，另一端为动点P，cm，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上，则该毛刷能扫到区域的面积（阴影部分）是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接，利用，进行求解即可【详解】解：如图，连接，由题意可知点M是点A，P，B所在圆的圆心A，M，B三点在同一条直线上，是的直径，的直径为40cm，cm，cm，是等边三角形， ，故选：C二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算：_【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算

18、即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题12. 已知a+b=5，a-b=2，则2a2-2b2=_【答案】20【解析】【分析】对2a2-2b2进行化简,代入数值即可解题.【详解】解：2a2-2b2=2（a+b）（a-b）,a+b=5，a-b=2，原式=252=20.【点睛】本题考查了代数式的化简求值和平方差公式,属于简单题,整体代入是解题关键.13. 色光三原色是指红、绿、蓝三色把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色）现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选

19、择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为_ 【答案】【解析】【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，利用概率公式进行求解即可【详解】解：根据题意画树状图如解图， 由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，14. 扎染是汉族民间传统而独特的染色工艺临近假期，某扎染制品专卖店的月销售额显著增加，2月份的销售额为万元，4月份的销售额为5万元，则该店这两个月销售额的月平均增长率为_【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该店这两个月销售额的月平均增长率为x，根据2月份的销售额为万元，4月份的销售额为5万元，列出方程，解方程即可

20、【详解】解：设该店这两个月销售额的月平均增长率为x，由题意可得：，解得或（不符合题意，舍去），该店这两个月销售额的月平均增长率为故答案为：15. 如图，在中，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为_【答案】【解析】【分析】如图，过点D作交的延长线于点F证明，则，即，可求，由勾股定理得，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，由是等腰直角三角形，点D为边的中点，可得，由，可得由，可得，证明，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，则根据，计算求解即可【详解】解: 如图，过点D作交的延长线于点F，即，解得，由勾股定理得，即，解得或（舍去），如图，连接，是等腰直角三

21、角形，点D为边的中点，是等腰直角三角形，由勾股定理得， 故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. （1）计算：； （2）解不等式组：【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】本题主要考查了负整数指数幂，解不等式组（1）先根据有理数的乘方，负整数指数幂化简，再计算，即可；（2）分别求出各个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，即

22、可【详解】解：（1）原式；（2），解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为17. 如图，已知（1）实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；（2）应用与计算：连接，若，求的度数【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】本题考查尺规作图作垂线，中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角，正确的作图，是解题的关键（1）根据尺规作图作垂线的方法，作图即可；（2）根据中垂线的性质结合等边对等角以及三角形的外角的性质，求解即可【小问1详解】解：如图，即为所求； 【小问2详解】点D为边的垂直平分线与的交点，18. 由山西省教育科学研究院和

23、山西省书法家协会主办，山西师范大学书法学院协办的“书法名家进校园”启动仪式在太原市举行，此次活动旨在落实立德树人根本任务，传承中华优秀传统文化，切实推动山西省书法教育迈上新台阶某文具用品店销售A，B，C三种毛笔，为了解销售情况，该店统计了这一周三种毛笔每天的销量并绘制了如下统计图表三种毛笔销量数据分析表款式总销量中位数众数A505cB50b6Ca1012补充数据：这三种毛笔每支的利润分别为：A种5元，B种7元，C种4元请解答下列问题（1）填空： ， ， ；（2）若后面一周这三种毛笔一共卖出去了240支，请你估计A种毛笔卖出去了多少支；（3）请你根据以上信息，向该店店主提出一条合理的进货或销售建

24、议【答案】（1）60，7，3 （2）估计A种毛笔卖出去了75支 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数，众数的定义及总销量等于每天销售量之和即可求解；（2）根据上一周卖出去A种毛笔占三种毛笔的比例估计即可得出结果；（3）根据每一种毛笔的利润和每天销售每种毛笔的数量分析即可【小问1详解】解：根据折线统计图可知，由折线统计图，得B种毛笔的销量一共有7个数据，将这7个数据按照从小到大的顺序排列，处于最中间的数据为7，A种毛笔销量数据中出现次数最多的数是3，众数是3，即，故答案为：60，7，3；【小问2详解】解：（支）估计A种毛笔卖出去了75支；【小问3详解】解：由题可得，A、B、C三种毛笔的一

25、周销量相差不大，但B种毛笔的利润最高，因此进货时可适当提高B种毛笔的数量；相比后半周，前半周A种毛笔的销量明显很高，销售时要保证A种毛笔在前半周的库存【点睛】本题考查了折线统计图、中位数，众数，用估计总体，熟练掌握折线统计图的意义是解题的关键19. 项目化学习项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植；（2）从种植开始每隔两天记录一次数据；（3）数据分析，形成结论数据记录：已种菜苗天数x/天0246810甲种菜苗高度6

26、912151821乙种菜苗高度151617181920初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系问题解决：请根据上述材料完成下列问题（1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；（2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度；（3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由【答案】（1）见解析 （2）与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为 （3）甲种菜苗先开花，理由见解析【解析】【分析】（1）根据数据，应用描点法，即可求解，（2）设

27、，代入点，解得，将代入，即可求解，（3）根据两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解，本题考查了，画一次函数图像，求一次函数解析式，从函数图像获取信息，解题的关键是：熟练掌握一次函数的性质【小问1详解】解：（1）作图如解图； 【小问2详解】解：设与x的函数关系式为，代入点，得，解得， 与x的函数关系式为，当时，第18天甲种菜苗的高度为故答案为：与x函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为，【小问3详解】（3）甲种菜苗先开花，理由如下：由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时（即与的交点处）都未达到的高度，达到相同高度后的图象始终在的图象上方，甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，

28、故答案为：甲种菜苗先开花20. 阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务黄金分割数古希腊数学家欧多克索斯在公元前4世纪第一个系统研究了黄金分割这一问题，并建立起比例理论如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，该比值称为黄金分割数黄金割在自然界、建筑学、美学等很多方面都有广泛应用，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值在反比例函数中也存在黄金分割如图，在反比例函数的图象中，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点A作轴，垂足为点B，过点B作的平行线与该反比例函数图象交于点C，过点C作轴，垂足为点D，则与的比为黄金

29、比证明“与的比为黄金比”的过程如下：轴，轴，设点A的坐标为，与的比值为，则，任务：（1）若在图中，点C为上靠近点B的黄金分割点，求的长；（2）请写出阅读材料中剩余证明过程；（3）如图，在中，平分，请你证明点D是的黄金分割点【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，黄金分割，反比例函数和几何综合，（1）设，根据题意得到，求出；（2）表示出点C的坐标为，得到，求出，进而求解即可；（3）首先证明出，得到，然后等量代换求解即可【小问1详解】解：点C为上靠近点B的黄金分割点，设，整理，得，解得，（不符合题意，舍去），即；【小问2详解】解：剩余证明过程如下

30、：，点C的坐标为点A，C都在该反比例函数的图象上，解得（负值已舍去），与的比为黄金比；【小问3详解】证明：，平分，即，则，即，点D是的黄金分割点21. 如图是公园的一种健身器材，由底座、摇杆、踏板杆、尾杆组成，图是其侧面结构示意图已知， ，测得，摇杆 绕点B转动，且点C，D，E是可转动点，小亮踩动踏板，使，顺时针旋转一定角度，已知旋转后点距地面高度为，摇杆与踏板杆的夹角，摇杆与 的夹角，求点到地面的距离（结果保留一位小数参考数据：，） 【答案】点到地面的距离约为【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点G，过点作于点H，于点I，交AC于点J，则四边形是矩形，既有，然后在中，得到，然

31、后中，利用解题即可【详解】解：如解图，过点作于点G，过点作于点H，于点I，交于点J， ，四边形是矩形，在中， ，由题意可得，在中，答：点到地面的距离约为 22. 综合与实践问题情境：如图，在矩形中，沿对角线折叠矩形并展开，再沿对角线折叠矩形并展开，两次的折痕交于点O，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接问题探究：（1）请判断四边形的形状并说明理由；问题解决：（2）在图基础上将矩形沿折叠得到图，点A、C对应点分别点、请判断与的位置关系，并加以证明；连接，当线段的长最小时，请直接写出的长【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2），证明见解析；【解析】【分析】（1）利用矩形的性质证明，再

32、根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解；（2）由折叠的性质，得，由四边形是平行四边形，得到，再利用角的和与差即可得到；当折叠后点A的对应点落在上时，最小，此时线段的长最小，设，在中，由勾股定理，列式计算即可求解【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下：在矩形中，O是对角线交点，四边形是平行四边形；（2），证明如下：由（1）得四边形是平行四边形， 由折叠的性质，得，四边形是平行四边形，； 如图，由（2）可知，且根据折叠的性质，得，连接，四边形是平行四边形，又，是平行四边形的对角线，必然经过点O，且在中，且当点落上时，当折叠后点A的对应点落在上时，最小，此时线段的长最小，如图，设，

33、矩形的对角线，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理，得，当线段的长最小时，的长为【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形中的平行四边形和矩形的性质和判定，涉及到的知识点还有对折，三角形的全等，勾股定理，解本题的关键是判断三角形全等和对折的性质，本题的难点是作辅助线23. 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线（1）求A，B两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；（2）若点P在x轴上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为m已知点，当点P位于第一象限时，连接交于点E，若，求m的值；连接，若是钝角三角形，请

34、直接写出点P的横坐标的取值范围【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，直线的函数表达式为 （2）m的值为或；或【解析】【分析】（1）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）过点D作x轴的垂线，交于点G，过点P作x轴的垂线交于点I证明，得，则利用一次函数图象上点的坐标特征求得，从而得出，根据，求解即可得m值；分别以的中点为圆心，长为半径作圆，该圆与抛物线交于点P，证明，得，则设点P坐标为，则，因为点P是x轴上方抛物线上的一个动点，则，求解即可【小问1详解】解：令，解得， 点A在点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为，当时，点C的坐标为，设直线的函数表达式为

35、，把点B的坐标，点C的坐标分别代入，得，解得，直线的函数表达式为；【小问2详解】解：如解图，过点D作x轴的垂线，交于点G，过点P作x轴的垂线交于点I， ， 设点G的坐标为，将点的坐标代入得， ， 点P在抛物线上，且横坐标为m，点P的坐标为，则点I的坐标为，点P在第一象限， 解得， 点P位于第一象限，当或时，均符合题意，m的值为或； 如解图，分别以AB的中点为圆心，长为半径作圆，该圆与抛物线交于点P，则，过点P作轴于点M，设点P坐标为，则，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，解得（舍去）当时，解得，点P的横坐标为或，由图可知，当点P从直角位置沿着抛物线向上移动至下一个直角位置前，此时点P始终在圆外

36、，显然；同理，当点P从直角位置沿着抛物线向下移动到A点或B点时停止，此时点P始终在圆内，显然如解图，点B的坐标为，且点P不与点B重合，当是钝角三角形时，点P的横坐标m的取值范围是；如解图，点A的坐标为，且点P不与点A重合，当ABP是钝角三角形时，点P的横坐标m的取值范围是综上所述，点P的横坐标的取值范围是或【点睛】本题是二次函数与一次函数、相似三角形的综合题目，主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，二次函数图象性质，相似三角形的判定与性质解决本题第（2）问的关键点在于当三角形为钝角三角形时，只有可能为钝角，故需找到为钝角时的临界值，即当题中该三角形的一边是固定的，所以可利用直径所对圆周角为直角，作辅助圆，进而确定点P是直角时的位置根据图形，当点P在圆外时，为锐角；当点P在圆内时，为钝角，再结合即可求解第35页/共35页学科网（北京）股份有限公司