2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试卷（含答案解析）

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1、2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 9的平方根等于（ ）A. 3B. C. D. 2. 2024年，南京中考考生约人，则数据用科学记数法表示为（ ）A B. C. D. 3. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 4. 已知，ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ）A. B. 2C. 3D. 45. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（）A. B. C. D. 6. 如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单

2、位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )A. B. 1C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7. 若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_8. 分解因式的结果是_9. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m_10. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：视力4.7以下4.74.8494.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_11. 如图，点A、B、C、D在上，则_12. 如图，反比例函数y=的图象经过ABO的顶点A，点D

3、是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为_13. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：则下列结论： 图像经过原点；图像开口向下；图像经过点；当时，随着的增大而增大；方程有两个不相等的实数根其中所有正确结论的序号是_14. 如图，在中，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为_15. 如图，在中，是边上一点，若，则的长为_16. 如图，在中，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为_三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程18. 解不等式组并写出不等式组的整数解19. 如图

4、，、是的两条弦，与相交于点E，（1）求证：；（2）连接 作直线求证：20. 某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210 km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、众数型号平均里程中位数众数AB216215220C225（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议21. 现有一组数

5、：，0，3，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同数，均比0大22. 今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元（1）求甲、乙两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用23. 如图，为了测量大楼高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测

6、得大楼底端的俯角为，求大楼的高度参考数据：，24. 在中，、分别是、的点，且（1）求证：；（2）求证：25. 如图，在四边形中，E是边上一点，连接，作的外接圆交于点F，与相切于点A（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，求证：；（3）若，则的半径为 26. 已知二次函数（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；（2）是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明；（3）当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围27. 将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径如图，在中，是中线，是边上一点，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题 【特

7、殊化】（1）当点与点重合时，在图中，画出此特殊情形的图；此情形下，点与点 重合，此时与满足的数量关系为 （2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【一般化】（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 9的平方根等于（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了平方根根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：，据此解答即可【详解】解：9的平方根是：故选：C2

8、. 2024年，南京中考考生约人，则数据用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键将写成其中，n为整数的形式即可【详解】解：故选C3. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘【详解】解：，故选：C4. 已知，ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ）A. B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分

9、析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解【详解】解：ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为1：2，解得BC：EF=1：，BC=1，EF=故选A5. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得【详解】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）180=540，则正五边形ABCDE的一个内角=108，连接OA、OB、OC，圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，OAE=OCD=90，AOC=540-E-D-OAE-OCD=144，所以劣弧A

10、C的长度为，故选：B. 【点睛】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中6. 如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，设抛物线解析式为，将代入得，解得：故选：D二、填空题（本大题共10小题，每小题

11、2分，共20分）7. 若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_【答案】x2【解析】【详解】试题解析：根据分式有意义的条件得：x-20即：x28. 分解因式的结果是_【答案】【解析】【分析】本题考查完全平方公式分解，解题关键是提取出公因式，根据题意可首先提取公因式4，进而利用完全平方公式分解因式得出即可【详解】解：故答案为：9. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m_【答案】1【解析】【分析】把x代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可【详解】解：把x代入方程得，解得m1故答案为1【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解10.

12、为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_【答案】7200【解析】【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得【详解】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是120007200（人），故答案为7200【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表

13、性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确11. 如图，点A、B、C、D在上，则_【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和，平行线性质，等腰三角形性质，连接，根据圆周角定理得到，利用平行线性质求出的度数，根据等边对等角，最后根据三角形内角和求出结果即可【详解】解：如图，连接，在中，故答案为：12. 如图，反比例函数y=的图象经过ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为_【答案】【解析】【详解】试题分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式试题解析：设点A坐标（x，），反比例函数

14、y=的图象经过RtOAB的顶点A，D为斜边OA的中点，D（x，），过点D反比例函数的解析式为y=k的值为考点：反比例函数图象上点的坐标特征13. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：则下列结论： 图像经过原点；图像开口向下；图像经过点；当时，随着的增大而增大；方程有两个不相等的实数根其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，进而根据解析式逐项分析判断，即可求解【详解】解：由图表可以得出当或时，时，解得：，图象经过原点，故正确；，抛物线开口向上，故错误；把代入得，图象经过点（），故正确；抛物线的对称轴是，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小

15、，故错误；抛物线与轴有两个交点（）、（）有两个不相等的实数根，故正确；故答案为：14. 如图，在中，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为_【答案】#【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，根据勾股定理求出即可求解【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，在中，在中，沿折叠得到，当点恰好落在上，又，在中，故答案为：15. 如图，在中，是边上一点，若，则的长为_【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理求线段长，设，在中，由

16、勾股定理得到，过作，如图所示，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，再由等面积法求出线段，在中由勾股定理列方程求解即可得到答案，设出未知数，灵活运用勾股定理求解是解决问题的关键【详解】解：设，在中，则，过作，如图所示：，则，设，在中，即，解得，则，则，解得，在中，即，即，解得，则（负值舍去），故答案为：16. 如图，在中，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为_【答案】【解析】【分析】接，并延长至点Q，使，连接，并延长交于点D，可得四边形是平行四边形，进而有，则是等边三角形，过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小在中，则的最小值为【详解】解：连接，并延长

17、至点Q，使，连接，并延长交于点D，点P是的中点，四边形是平行四边形，是等边三角形，过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小在中，的最小值为，的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，等边三角形的判断及性质，解直角三角形，垂线段最短正确作出辅助线是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程【答案】【解析】【分析】方程两边都乘以最简公分母（x1）（x1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验【详解】解：方程两边乘，得.解得.检验：当时，.所以，原分式方程的解为.【点睛】本题考查

18、了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根18. 解不等式组并写出不等式组的整数解【答案】不等式组的解集，整数解为3【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解【详解】解：解不等式，解不等式，原不等式组的解集为 不等式组的整数解为：319. 如图，、是的两条弦，与相交于点E，（1）求证：；（2）连接 作直线求证：【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求

19、证，正确掌握相关性质内容是解题的关键（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则；（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答【小问1详解】证明：，即【小问2详解】证明：连接 E、O都在的垂直平分线上 20. 某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210 km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、众数型号平均里程中位数众数AB216215220C225

20、（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议【答案】（1）200，200，205； （2）选择B型号汽车理由见解析【解析】【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数和众数的定义，理解折线统计图，掌握相关定义是解题的关键（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断【小问1详解】解：A型号汽车的平均里程为：，20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为，中位数为：，出现了六次，众数为【小问2详

21、解】解：选择B型号汽车，理由如下：A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车21. 现有一组数：，0，3，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大【答案】（1）； （2）【解析】【分析】本题主要考查了简单概率计算，树状图法或列表法求解概率：（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到从中随机选择

22、两个不同的数，均比0大的结果数，最后依据概率计算公式求解即可【小问1详解】解；一共有四个数，其中无理数只有，且每个数被选择的概率相同，从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率为；【小问2详解】解：设，0，3这四个数分别用A、B、C、D表示，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中随机选择两个不同的数，均比0大的结果数有2种（，），从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率为22. 今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元（1）求甲、乙两种食材的单

23、价；（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用【答案】（1）甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克 （2）甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用；（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可；（2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可【小问1详解】设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得

24、：解得 答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克【小问2详解】设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元由题意得： w随m的增大而增大又， 当时，w有最小值为（元）答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元23. 如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度参考数据：，【答案】大楼的高度为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，过点作，垂足为设为解，进而根据，建立方程，解方程，即可求解【详解】解：延长交于点

25、，过点作，垂足为设为 在中， 在中， 在中， 在中， ，即 ，解得 答：大楼的高度为24. 在中，、分别是、的点，且（1）求证：；（2）求证：【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；（1）先证明，即可得证；（2）根据（1）的结论得出，设，则得出，即可得证【小问1详解】)证明： ， ， 小问2详解】 ，即 设，则 ，即25. 如图，在四边形中，E是边上一点，连接，作的外接圆交于点F，与相切于点A（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，求证：；（3）若，则的半径为 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）【解析】【分析】本题主要

26、考查了平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理等知识 ：（1）连接，并延长交于点G，连接证明，证明再由切线的性质可得从而证得即可判断四边形是平行四边形；（2）证明根据相似三角形的性质可得结论；（3）分别计算，设的半径为，连接,则在中，根据勾股定理列方程求出，从而得出结论【小问1详解】证明：连接，并延长交于点G，连接如图，是的切线，又四边形是平行四边形；【小问2详解】证明，由（1）知，四边形是平行四边形，又在四边形中，即又；【小问3详解】解：设与交于点,由（1）知，垂直平分由（2）知，又在中，设半径为，连接,则又，在中，解得，故答案为：26. 已知二次函数（1）求证：不论a

27、取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；（2）是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明；（3）当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或【解析】【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是关键；（1）当时，；当时，进而即可得到结论；（2）分别用作差法和二次函数图像的对称性比较大小即可；（3）分当时和时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可【小问1详解】解：当时，；当时，不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；【小问2详解】方法一、是该函数图像上的两个点，即；方法二、抛物线的对称轴

28、为：直线，当时，此时，当时，此时，综上所述：【小问3详解】解：当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，时，y随x的增大而增大，符合题意；当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，或27. 将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径如图，在中，是中线，是边上一点，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题 【特殊化】（1）当点与点重合时，在图中，画出此特殊情形的图；此情形下，点与点 重合，此时与满足的数量关系为 （2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【一般化】（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下

29、是否仍然成立？说明理由【答案】（1）图见解析；（2）作图见解析（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当点与点重合时，由等腰直角三角形判定与性质即可作出图形即可；由中所在图形及等腰直角三角形的判定与性质即可得到答案；（2）根据题意，利用基本尺规作图-垂直平分线作出图形即可得到答案；（3）取中点，连接，过点作，垂足为，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，进而判断是等腰直角三角形，再由三角形相似的判定与性质利用相似比代值求解即可得到答案【详解】解：（1）点与点重合，在中，是中线，则，是等腰直角三角形，如图所示：当点与点重合时，与重合，点与点重合，由可知，是等腰直角三角形，是中线

30、、高线和顶角平分线，是等腰直角三角形，且，则，与满足的数量关系为；故答案为：；（2）作、的垂直平分线，在两条垂直平分线上,以、中点为圆心,为半径画弧，在两条垂直平分线上的交点分别为,再分别以为圆心，为半径作圆，再以圆和垂直平分线的交点为圆心为半径作圆，交圆于，如图所示：点即为所求；（3）成立 证明如下：取中点，连接，过点作，垂足为，如图所示：分别是的中点，是等腰直角三角形，是的中点，则，即，即【点睛】本题考查作图，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、尺规作图-中垂线、作圆等知识，熟练掌握基本尺规作图准确作出图形是解决问题的关键