2022-2023学年浙江省绍兴市高一下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）1（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则1+iz=（）A1+iB1iC1+iD1i2（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）A46B49C50D513（3分）已知向量a=(2，2)，b=(1，-1)，则（）Aa=-2bBa=2bCabDab4（3分）已知m，n是两条直线，是两个平面，下列命题正确的是（）A若mn，m，则nB若m，m，则C若mn，n，则mD若m，m，则5（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：

2、Ai“正面向上的硬币数为i”，其中i0，1，2，3，B“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）AA0与B相互独立BA3与B对立CP（A2）2P（B）DA1+A2B6（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥PABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A30B45C60D907（3分）已知函数f(x)=cos(x+)(0，|2)的部分图象如图所示，x1，x2是f（x）的两个零点，若x24x1，则下列为定值的量是（）ABCD+8（3分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，

3、P是棱A1D1上的一个动点，若PA=10，PD=2，则三棱锥PABD外接球的表面积是（）A144B36C9D6二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9（3分）下列等式成立的是（）Asin26cos26cos12Bsin6-cos6=-2sin39C4sin15sin751D3-tan151+3tan15=1（多选）10（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，

4、已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图同比第一季度，下列说法正确的是（）A今年商品A的营收是去年的4倍B今年商品B的营收是去年的2倍C今年商品C的营收比去年减少D今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变（多选）11（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将ABE沿BE折起，使点A到达点A的位置，且二面角ABEC为90若M、N分别为AB、CD的中点，则（）ABEANBMN平面ADEC平面ABE平面ADED点C到平面ADE

5、的距离为303（多选）12（3分）在ABC中，D为BC的中点，点E满足BE=2ED若BAEDAE20，则（）A|AB|=2|AD|BAE=13AB+23ADCABC20DDAC70三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）函数f（x）sin2x的最小正周期为 14（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米15（3分）已知一组样本数据x1，

6、x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x44x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为 16（3分）直三棱柱ABCA1B1C1中，B=2，ABBB1BC1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则B1PQ周长的最小值是 四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）记a、b、c为平面单位向量，且|a-b|=1（1）求a，b；（2）若ac=12，求|2c-a|18（8分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点（1）求三棱锥AO1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D

7、1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值19（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，BC90，AD1，点E为BC上一点，且AEDE，过点D作DFAB于点F，设BAE，DAE（1）利用图中边长关系DFBE+CE，证明：sin（+）sincos+cossin；（2）若BE=CE=13，求sin2+cos220（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，

8、绘制成如图频率分布直方图（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率21（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BCCD2（1）已知AB2，且ACAD，（i）当cosCAD=23时，求ABC的面积；（ii）若ABC=2ADC2，求ABC（2）已知AD=2AB，

9、且BAD=4，求AC的最大值22（10分）如图，在正三棱台ABCA1B1C1中，AB2A1B12AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点（1）证明：DE平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面上，若PBQ与ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34BA；（ii）求与平面ABB1A1所成角的正弦值2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则1+iz=（）A1+

10、iB1iC1+iD1i【解答】解：复数z在复平面内对应的点是（0，1），zi，1+iz=1+ii=(1+i)(-i)i(-i)=-i-i2-i2=1i故选：B2（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）A46B49C50D51【解答】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，因为100.88，因此，该组数据的第80百分位数为49+512=50故选：C3（3分）已知向量a=(2，2)，b=(1，-1)，则（）Aa=-2bBa=2bCabDab【解答】解：向量a=(2，2)，b=(1，-1)，对于A，-2b=

11、(-2，2)，a-2b，A错误；对于B，2b=(2，-2)，a2b，B错误；对于C，由于2（1）21，即a与b不共线，C错误；对于D，ab=21+2(-1)=0，因此ab，D正确故选：D4（3分）已知m，n是两条直线，是两个平面，下列命题正确的是（）A若mn，m，则nB若m，m，则C若mn，n，则mD若m，m，则【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若mn，m，则n或n，A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；对于D，若m，则平面存在直线l，满足lm，由于m，则有l，必有，故D正确故选：D5（3分）抛掷三枚质地均

12、匀的硬币，有如下随机事件：Ai“正面向上的硬币数为i”，其中i0，1，2，3，B“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）AA0与B相互独立BA3与B对立CP（A2）2P（B）DA1+A2B【解答】解：总的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，P(A1)=38，P(A2)=38，P(A3)=18，P(B)=34，而P（A0B）0，P(A0)P(B)=332，故选项A错误；P(A3)+P(B)=781，故选项B错误；2P（A2）P（B），故选项C错误；A1（正，反，反），

13、（反，正反），（反，反，正），A2（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），B（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），所以A1+A2B，故选项D正确故选：D6（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥PABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A30B45C60D90【解答】解：在直角圆锥PABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，ACB90，则PA=PB=22AB=AC=BC，过点B作BDAC交底面圆于点D，连接PD，AD，如图，

14、则PBD是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然BD=22AB=PB=PD，即PBD是正三角形，所以PBD60，即异面直线PB与AC所成角的大小为60故选：C7（3分）已知函数f(x)=cos(x+)(0，|2)的部分图象如图所示，x1，x2是f（x）的两个零点，若x24x1，则下列为定值的量是（）ABCD+【解答】解：函数f（x）cos（x+），0的周期为2，令f（x）0，可得x+=k+2，kZ，所以x=k+2-，即x=2k+-22，kZ，又0，|2，所以02，x1=-22，x2=3-22，又x24x1，所以3-22=4-22，所以=6故选：A8（3分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，底

15、面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=10，PD=2，则三棱锥PABD外接球的表面积是（）A144B36C9D6【解答】解：令长方体ABCDA1B1C1D1的高为h，PD1x，于是x2+h2=2(4-x)2+h2=10，解得xh1，在PAD中，PDADPD145，则PAD外接圆半径r=12PAsin45=102=5，显然AB平面PAD，因此三棱锥PABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上，球心O到平面PAD的距离为d=12AB=2，则球半径R=r2+d2=5+4=3，所以三棱锥PABD外接球的表面积S4R236故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共1

16、2分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9（3分）下列等式成立的是（）Asin26cos26cos12Bsin6-cos6=-2sin39C4sin15sin751D3-tan151+3tan15=1【解答】解：对于A，sin26cos26（cos26sin26）cos12，故A错误；对于B，sin6-cos6=2(22sin6-22cos6)=2(sin6cos45-cos6sin45)=2sin(-39)=-2sin39，故B正确；对于C，4sin15sin754sin15cos152sin301，故C正确；对于D，tan

17、60-tan151+tan60tan15=tan(60-15)=tan45=1，故D正确故选：BCD（多选）10（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图同比第一季度，下列说法正确的是（）A今年商品A的营收是去年的4倍B今年商品B的营收是去年的2倍C今年商品C的营收比去年减少D今年商品B，D营收

18、的总和与去年相比占总营收的比例不变【解答】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，由扇形图可得：A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确故选：ABD（多选）11（3分）如图，在边长

19、为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将ABE沿BE折起，使点A到达点A的位置，且二面角ABEC为90若M、N分别为AB、CD的中点，则（）ABEANBMN平面ADEC平面ABE平面ADED点C到平面ADE的距离为303【解答】解：连接AN交BE于点O，连接AO，取BE的中点F，连接FM、FN，对于A选项，在正方形ABCD中，因为ABDA，AEDN，BAEADN90，所以，RtABERtDAN，则ABEDAN，所以，DAN+AEBABE+AEB90，则AOE90，即BEAN，翻折后，则有BEAO，BEON，又因为AOONO，AO、ON平面AON，所以，BE平面AON，因为AN平面AON，所以

20、，BEAN，A对；对于B选项，因为M、F分别为AB、BE的中点，所以，MFAE，因为MF平面ADE，AE平面ADE，所以，MF平面ADE，因为DEBC，BC2DE，则四边形BCDE为梯形，又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FNDE，因为FN平面ADE，DE平面ADE，则FN平面ADE，因为MFFNF，MF、FN平面FMN，则平面FMN平面ADE，因为MN平面FMN，故MN平面ADE，B对；对于C选项，因为AOBE，且AB2，AE1，BAE90，所以，BE=AB2+AE2=22+12=5，所以，AO=ABAEBE=215=255，则AO=255，在RtADN中，cosDAN=ADAN=A

21、DAD2+DN2=25=255，所以，OD=OA2+AD2-2OAADcosDAN=45+4-22552255=2105，因为平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE，AOBE，AO平面ABE，所以，AO平面BCDE，因为OD平面BCDE，所以，AOOD，所以，AD=AO2+OD2=45+85=2155，且BD=BC2+CD2=4+4=22，翻折前，ABAE，翻折后，ABAE，若平面ABE平面ADE，且平面ABE平面ADEAE，AB平面ABE，所以，AB平面ADE，因为AD平面ADE，则ABAD，事实上，AB2，AD=2155，BD=22，则AB2+AD2BD2，即AB、AD不垂直，

22、假设不成立，故平面ABE与平面ADE不垂直，C错；对于D选项，因为SCDE=12CDDE=1221=1，且AO平面BCDE，所以，VA-CDE=13SCDEAO=131255=2515，在ADE中，AEDE1，AD=2155，由余弦定理可得cosAED=AE2+DE2-AD22AEDE=1+1-125212=-15，所以，sinAED=1-cos2AED=1-(-15)2=265，所以，SAED=12AEDEsinAED=1212265=65，设点C到平面AED的距离为d，由VCAEDVACDE，即13SAEDd=2515，所以，d=255SAED=25556=303，D对故选：ABD（多选）

23、12（3分）在ABC中，D为BC的中点，点E满足BE=2ED若BAEDAE20，则（）A|AB|=2|AD|BAE=13AB+23ADCABC20DDAC70【解答】解：在ABC中，D为BC的中点，BE=2ED，BAEDAE20，如图，对于A，ABAD=12ABAEsinBAE12ADAEsinDAE=SABESADE=BEDE=2，有|AB|=2|AD|，A正确；对于B，AE=AB+BE=AB+23BD=AB+23(AD-AB)=13AB+23AD，B正确；对于D，过C作CFAD交BA的延长线于F，由D为BC的中点，得AD是BCF的中位线，则CF2ADABAF，于是DAC=ACF=CAF=1

24、2DAF=12(180-40)=70，D正确；对于C，由选项D知，EAC90，假定ABC20，则AEC40，AE=BE=12CE，cos40=cosAEC=AECE=12，与cos40cos60=12矛盾，因此ABC20，C错误故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）函数f（x）sin2x的最小正周期为 【解答】解：函数f（x）sin2x的最小正周期为22=，故答案为：14（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，

25、若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 1507米【解答】解：令甲的位置为点C，如图，在ABC中，AC400，AB500，BC600，由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=5002+4002-60022500400=18，sinA=1-cos2A=378，过C作CDAB于D，所以所求距离的最小值为CD=ACsinA=400378=1507（米）故答案为：150715（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x44x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为 9【解答】解

26、：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x=15(x1+x2+x3+x4+x5)=x5，方差s2=15(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+(x5-x)2，又因为(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2=25，数据x1，x2，x3，x4，x5+5的平均数x=15(x1+x2+x3+x4+x5+5)=x5+1，所以方差s2=15(x1-x-1)2+(x2-x-1)2+(x3-x-1)2+(x4-x-1)2+(x5-x-4)2=15(x1-x)2-2(x1-x)+(x2-x)2-2(x2-x)+(x3-x)2-2(x3-x)+(x4-

27、x)2-2(x4-x)+(x5-x)2-8(x5-x)+20 =1545-2(x1+x2+x3+x4+x5)+10x 9故答案为：916（3分）直三棱柱ABCA1B1C1中，B=2，ABBB1BC1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则B1PQ周长的最小值是 4+22【解答】解：如下图所示：将面AB1C1、面AA1C1沿着AC1延展为一个平面，将面AA1B1、面AA1C1沿着AA1延展为一个平面，连接BB1，此时，线段BB1的长即为B1PQ周长的最小值，则AB1=AB2+BB12=1+1=2，AB1，由于AB1=AC=2，B1C1CC1，AC1AC1，则AB1C1ACC1，延展后，则四边形

28、AA1C1B1为矩形，因为AA1A1B1，AA1A1B1，则AA1B1为等腰直角三角形，所以A1AB145，延展后，则B1AB1135，由余弦定理可得B1B1=AB12+AB12-2AB1AB1cos135=2+2-222(-22)=4+22故答案为：4+22四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）记a、b、c为平面单位向量，且|a-b|=1（1）求a，b；（2）若ac=12，求|2c-a|【解答】解：（1）由已知|a|=|b|=1，且|a-b|=1，所以，|a-b|2=a2-2ab+b2=2-2ab=1，则ab=12，所以，cosa，b=ab

29、|a|b|=12，因为0a，b，所以，a，b=3；（2）由已知可得|a|=|c|=1，且ac=12，所以|2c-a|=(2c-a)2=4c2-4ac+a2=4-412+1=318（8分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点（1）求三棱锥AO1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值【解答】解：（1）如图所示，根据题意得：VA-O1BC=VO1-ABC=13SABCh=1312333=92（2）如图所示，过点O1做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故O1AC为AO1与平面ABCD所

30、成线面角，又AG=12AC=12AB2+BC2=322，AO1=AG2+GO12=362，所以AO1与平面ABCD所成角的余弦值为：cosO1AC=AGAO1=322362=3319（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，BC90，AD1，点E为BC上一点，且AEDE，过点D作DFAB于点F，设BAE，DAE（1）利用图中边长关系DFBE+CE，证明：sin（+）sincos+cossin；（2）若BE=CE=13，求sin2+cos2【解答】（1）证明：在RtADE中，AED90，DAE，AD1，则DEsin，AEcos，在RtADF中，AF

31、D90，DAF+，AD1，则DFsin（+），在RtABE，RtECD中，BC90，CEDBAE，则BEsincos，CEcossin，依题意，四边形BCDF是矩形，则DFBCBE+CE，所以sin（+）sincos+cossin（2）解：由BE=CE=13及（1）知，sincos=cossin=13，则tantan，而，为锐角，即有，sin2=23，又2+BAD是锐角，于是cos2=cos2=53，所以sin2+cos2=2+5320（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行

32、了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图可知10（2a+0.025+0.045+0.020）1，解得a0.005，x=50100.005+60100.02

33、5+70100.045+80100.020+90100.005=69.5，众数为70，因为前2组的频率和为100.005+100.0250.30.5，前3组的频率和为100.005+100.025+100.0450.750.5，所以中位数在第3组，设中位数为m，则0.3+0.045（m65）0.5，解得m69.4，所以中位数为69.4（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签A

34、Bb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为71021（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BCCD2（1）已知AB2，且ACAD，（i）当cosCAD=23时，求ABC的面积；（ii）若ABC=2ADC2，求ABC（2）已知AD=2AB，且BAD=4，求AC的最大值【解答】解：（1）（i）设ACx，

35、在ACD中，由余弦定理得cosCAD=2x2-42x2=23，解得x=6，在ABC中，ABBC2，则底边AC上的高h=AB2-(12AC)2=4-32=102，所以ABC的面积SABC=12ACh=126102=152（ii）设ADC，依题意，BAC=BCA=2-12ABC=2-，则ADAC2ABcosBAC4sin，CD2ADcosADC8sincos2，即sin2=12，而22，所以ABC=2=56（2）连接BD，ABD中，AD=2AB，BAD=4，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos4=AB2+2AB2-2AB2AB22=AB2，则BDAB，ABD=2，设CBD=(02)

36、，在BCD中，BCCD2，于是ABBD2BCcosCBD4cos，在ABC中，ABC=2+，由余弦定理得：AC2AB2+BC22ABBCcosABC，则AC2=16cos2+4-8cos2cos(2+)=16cos2+4+16sincos=8sin2+8(cos2+1)+4=82sin(2+4)+1282+12，当且仅当2+4=2，即=8时取等号，所以当=8时，ACmax=4(1+2)2=2+22，所以AC的最大值是2+2222（10分）如图，在正三棱台ABCA1B1C1中，AB2A1B12AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点（1）证明：DE平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，

37、BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面上，若PBQ与ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34BA；（ii）求与平面ABB1A1所成角的正弦值【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，因为AB2A1B12AA1，所以三棱锥SABC为正四面体，连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边ABC的中心，连接AG，则AG面SBC，所以SDSA=SESG=34，所以DEAG，所以DE面SBC（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，若C1，D，P，Q均在平面上，则H，P，Q共线，设AB2A1B12AA12，则AH1，过点A作AMBC，交PQ于点M，设BQk，则CQ2k，A

38、M=2-k3，CQBC=k2，所以APBP=AMBQ=2-k3k，BPAB=3k2+2k，所以SPBQSABCk23k2+2k，所以k23k2+2k=38，所以k1，所以点Q与点F重合，均为BC的中点，所以BPAB=3k2+2k=34，即BP=34AB（ii）连接DP，C1Q，由题知DPC1Q，且DP=12，C1Q1，BC1HQ，连接AB1交DP于点N，易知B1NDP，且B1N=34AB1=334，DPC1Q，VB1-DPQ=VBDPQVQBDP=316VQABS=332VSABC=216，HC1HF=254+34=7，所以dB-C1Q=7-14=332，所以dQDP=12dH-C1Q=334，所以SDPQ=1212334=3316，所以133316dB1-DPQ=216，所以dB1-DPQ=63，设平面与平面ABB1A1所成角为，所以sin=63334=429，所以平面与平面ABB1A1所成角的正弦值为429第21页（共21页）