2022-2023学年浙江省杭州市高二下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）直线3x+2y10的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）2（5分）若a，b，c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）Ab+c，b，-b-cBa，a+b，a-bCa+b，a-b，cDa+b，a+b+c，c3（5分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122而早在16世纪，明代朱载堉最早

2、用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为（）A5fB214fC4fD213f4（5分）“点（a，b）在圆x2+y21外”是“直线ax+by+20与圆x2+y21相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A6种B12种C

3、18种D24种6（5分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yi）A小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程y=0.4699x+0.235，决定系数R20.8732B小组先将数据按照变换ux2，vy2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程v=-0.5006u+0.4922，决定系数R20.9375根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（）A0.4699xy+0.2350B0.5006x+y0.49220C0.5006x20.4922+y20.4922=1Dx20.4922+0.5006

4、y20.4922=17（5分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点设OA+OB+OC=0，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于（）A3B72C4D328（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为PF1F2的内心直线PI交x轴于A点，|OA|=14c，且PF1PF2=116a2，则椭圆C的离心率为（）A12B22C34D32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）若函数f（x）导函数的部分图象如图

5、所示，则（）Ax1是f（x）的一个极大值点Bx2是f（x）的一个极小值点Cx3是f（x）的一个极大值点Dx4是f（x）的一个极小值点（多选）10（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A事件B与事件C互斥BP(AB)=572CP(B|A)=25D事件A与事件C相互独立（多选）11（5分）设双曲线C：x2a-y2a2-a+4=1(a0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是（）A双曲线C离心率的最小值为4B离心

6、率最小时双曲线C的渐近线方程为3xy=0C若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|BD|D若a1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则SEOF为定值（多选）12（5分）已知曲线f(x)=xex，g(x)=lnxx，及直线ya，下列说法中正确的是（）A曲线f（x）在x0处的切线与曲线g（x）在x1处的切线平行B若直线ya与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1eC曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点D若直线ya与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x1x3=x22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2

7、0分13（5分）（xy）（x+y）8展开式中，x3y6项的系数为 14（5分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若f（x）是f（x）的导函数，f（x）是f（x）的导函数，则曲线yf（x）在点（x，f（x）处的曲率K=|f(x)|1+(f(x)232已知f（x）cos（x1）lnx，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的曲率为 15（5分）已知数列an满足a28，an=2(-1)n+nan-1(n2，nN*)，数列bn的前n项和为Sn，且bnlog2（a2n+2a2n1）log2（a2na2n+1），则满足Sn50的正整数n的最小值为 16（5分）设函数f(x)=2|x+2|+cos(2x)

8、，则使得f（x+1）f（2x）成立的x的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在四面体ABCD中，AE=AB，AH=AD，CF=(1-)CB，CG=(1-)CD，（0，1）（1）求证：E、F、G、H四点共面（2）若=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD表示OM18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n=2an+1(nN*)（1）求数列an的通项公式（2）若an中的部分项abn组成的数列abn+1是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列bn的前n项和Tn19（12

9、分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，A1AC60，A1B=6（1）证明：平面A1ACC1平面ABC；（2）求二面角BA1B1C1的正弦值20（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯

10、会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列22列联表，并根据小概率值0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁_20100偏好其他60_合计_60_（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（MN*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p11，p20试证明pn-14为等比数列；设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5

11、的大小附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+d0.0500.0100.001x3.8416.63510.82821（12分）设抛物线C：y22px（p0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）当直线AB垂直于x轴时，|AB|2（1）求抛物线C的标准方程（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D求证：直线CD过定点；求PAB与PCD面积之和的最小值22（12分）设函数f（x）（x1）2exax，若曲线f（x）在x0处的切线方程为y2x+b（1）求实数a，b的值（2）证明：函数f（x）有两个零点（3）记

12、f（x）是函数f（x）的导数，x1，x2为f（x）的两个零点，证明：f(x1+x22)-a2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1（5分）直线3x+2y10的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）【解答】解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为（2，3），故选：A2（5分）若a，b，c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）Ab+c，b，-b-cBa，a+b，a-bCa+b，a-b，cDa+b，a+b+c，

13、c【解答】解：-b-c=-(b+c)，则b+c，b，-b-c共面，故b+c，b，-b-c不能构成基底，故A错误；a=12(a+b)+(a-b)，因此向量a，a+b，a-b共面，故不能构成基底，故B错误；假设c=(a+b)+(a-b)，即c=(+)a+(-)b，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b，a+b+c，c共面，故不能构成基底，故D错误故选：C3（5分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音

14、的频率的比都等于122而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为（）A5fB214fC4fD213f【解答】解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为122的等比数列an，第四个单音的频率为a4=f(122)3=214f故选：B4（5分）“点（a，b）在圆x2+y21外”是“直线ax+by+20与圆x2+y21相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若点（a，b）在圆x2+y21外，则a2+b21，圆x2+y21的圆心（0，0）到直

15、线ax+by+20的距离d=|2|a2+b2=2a2+b2，d与半径1的大小无法确定，不能得到直线ax+by+10与圆x2+y21相交，充分性不成立，若直线ax+by+10与圆x2+y21相交，则圆x2+y21的圆心（0，0）到直线ax+by+10的距离d=|2|a2+b2=2a2+b21，即a2+b24，点（a，b）在圆x2+y21外点（a，b）在圆x2+y21外是直线ax+by+10与圆x2+y21相交的必要不充分条件故选：B5（5分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿

16、者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A6种B12种C18种D24种【解答】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C31C32A22=18种故选：C6（5分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yi）A小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程y=0.4699x+0.235，决定系数R20.8732B小组先将数据按照变换ux2，vy2进行整理，再对u，v作线性回归分析

17、，得到：回归方程v=-0.5006u+0.4922，决定系数R20.9375根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（）A0.4699xy+0.2350B0.5006x+y0.49220C0.5006x20.4922+y20.4922=1Dx20.4922+0.5006y20.4922=1【解答】解：由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，又A小组的决定系数R20.8732，B小组的决定系数R20.9375，B小组的拟合效果好，则回归方程为v=-0.5006u+0.4922，又ux2，vy2，y20.5006x2+0.4922，即0.5006x20.4922+y20.49

18、22=1故选：C7（5分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点设OA+OB+OC=0，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于（）A3B72C4D32【解答】解：因为AD+BD+CD=（OD-OA）+（OD-OB）+（OD-OC）3OD-（OA+OB+OC）3OD，且|OD|1，所以|AD+BD+CD|3，而|AD+BD+CD|AD|+|BD|+|CD|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD，BD，CD同时时，等号成立，而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即AD，BD，CD不同向，所以|AD|+|BD|+|CD|AD+BD+CD|3，且|AD|，|BD|，|CD|均小于直径

19、长2，即|AD|+|BD|+|CD|6，综上，3|AD|+|BD|+|CD|6，根据选项可知A不符合故选：A8（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为PF1F2的内心直线PI交x轴于A点，|OA|=14c，且PF1PF2=116a2，则椭圆C的离心率为（）A12B22C34D32【解答】解：不妨设点P位于第一象限，如图所示，因为I为PF1F2的内心，所以PA为F1PF2的角平分线，所以PF1PF2=F1AAF2，因为|OA|=14c，所以|PF1|PF2|=|F1A|AF2|=53，设|PF1|5t，则|PF2|3t，由

20、椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|8t2a，可得t=a4，所以|PF1|=5a4，|PF2|=3a4，又因为PF1PF2=|PF1|PF2|cosF1PF2=54a34acosF1PF2=116a2，所以cosF1PF2=115，在PF1F2中，由余弦定理可得，cosPF1F2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2|PF1|PF2|=17a28-4c215a28=115，所以a22c2，则e=c2a2=22故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）若函数f（x）导函

21、数的部分图象如图所示，则（）Ax1是f（x）的一个极大值点Bx2是f（x）的一个极小值点Cx3是f（x）的一个极大值点Dx4是f（x）的一个极小值点【解答】解：由图象可知，当xx1时，f（x）0，函数单调递增，当x1xx2时，f（x）0，函数单调递减，当x2xx4时，f（x）0，函数单调递增，当xx4时，f（x）0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点故选：AB（多选）10（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：

22、“两次向上的点数之和小于10”，则（）A事件B与事件C互斥BP(AB)=572CP(B|A)=25D事件A与事件C相互独立【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为6236，事件A包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种，事件B包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4

23、）、（6，5）、（6，6），共6种，事件C包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（6，1）、（6，2）、（6，3），共30种，对于A，事件B与事件C互斥，故A正确；对于B，事件AB包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种，所以，P(AB)=

24、636=16，故B错误；对于C，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C正确；对于D，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，事件AC包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、（6，2）、（6，3），共9种，所以，P(AC)=936=14P(A)P(C)，故D错误故选：AC（多选）11（5分）设双曲线C：x2a-y2a2-a+4=1(a0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是（）A双曲线C离心率的最小值为4B离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3xy=0C若直线l同时与两条渐近线交于点C，

25、D，则|AC|BD|D若a1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则SEOF为定值【解答】解：由题意可得e2=a2+4a=a+4a，因为a0，所以e2=a2+4a=a+4a2m4m=4，即e2，当且仅当a=4a，即a2 时，等号成立此时双曲线方程是x22-y26=1，渐近线方程是3xy=0故A错误，B正确；设直线为xmy+n代入双曲线C：x2a-y2a2-a+4=1(a0)，可得（m2a2m2a+4m2）y2+2mn（a2a+4）y+n2（a2a+4）a（a2a+4）0，又双曲线的渐近线方程为x2a-y2a2-a+4=0，直线方程代入可得（m2a2m2a+4m2）y2+2mn（a2a+4）y

26、+n2（a2a+4）0，直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，AB、CD的中点重合，|AC|BD|，故C正确当a1，双曲线的方程为x2-y24=1，双曲线的渐近线方程为y2x，设A（m，n），故双曲线在A（m，n）的切线方程为mx-14ny1，与y2x联立可得E的横坐标为44m-2n，与y2x联立可得E的横坐标为44m+2n，SEOF=12|OE|OF|sinEOF=121+2244m-2n1+2244m+2nsinEOF=521616m2-4n2sinEOF=521616sinEOF=52sinEOF为定值，故D正确故选：BCD（多选）12（5分）已知

27、曲线f(x)=xex，g(x)=lnxx，及直线ya，下列说法中正确的是（）A曲线f（x）在x0处的切线与曲线g（x）在x1处的切线平行B若直线ya与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1eC曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点D若直线ya与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x1x3=x22【解答】解：对于A选项：f（0）0，f(x)=xex-x(ex)(ex)2=1-xex，f（0）1，所以曲线f（x）在x0处的切线为：yx；同理g（1）0，g(x)=1-lnxx2，g（1）1，曲线g（x）在x1处的切线为yx1

28、，即曲线f（x）在x0处的切线与曲线g（x）在x1处的切线平行，正确；对于B选项：f(x)=1-xex，令f（x）0，解得x1，所以曲线f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，f(1)=1e，又当x时f（x），当x+时f（x）0，若直线ya与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1e或a0，错误；对于C选项：曲线g（x）的定义域为：（0，+），g(x)=1-lnxx2，令g（x）0，解得xe，所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e，所以曲线f（x）与曲线g（x）的大致图像为：易知当x（0，1）时，f（x）0，g（x）0，即曲线f（x

29、）与曲线g（x）在区间（0，1）上无交点；当x1，e时，f（x）单调递减，g（x）单调递增，且f(1)=1eg(1)=0，f（e）e1eg（e）e1，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（1，e）上有一个交点；当x（e，+）时，记h（x）xlnx，h(x)=1-1x，当xe时h（x）0恒成立，即h（x）在（e，+）上单调递增，即h（x）h（e）e10，即xlnx1，又曲线f（x）在（1，+）上单调递减，所以f（x）f（lnx），即xexlnxelnx=lnxx，即f（x）g（x）恒成立，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（e，+）上没有交点；所以曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点，正确；对

30、于D选项：当直线ya经过曲线f（x）与g（x）的交点时，恰好有3个公共点，且0x11x2ex3，x1ex1=x2ex2=lnx2x2=lnx3x3，由f（x1）f（x2）f（lnx2），所以x1lnx2，由g(x2)=g(x3)=g(ex2)，所以x3=ex2，即x1x3=lnx2ex2=x22，正确故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（xy）（x+y）8展开式中，x3y6项的系数为28【解答】解：（xy）（x+y）8x（x+y）8y（x+y）8，二项展开式x（x+y）8的通项为xC8rx8-ryr=C8rx9-ryr，二项展开式y（x+y）8的通项为yC8

31、kx8-kyk=C8kx8-kyk+1，令r=6k+1=6，解得r=6k=5，因此，x3y6项的系数为C86-C85=28-56=-28，故答案为：2814（5分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若f（x）是f（x）的导函数，f（x）是f（x）的导函数，则曲线yf（x）在点（x，f（x）处的曲率K=|f(x)|1+(f(x)232已知f（x）cos（x1）lnx，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的曲率为 0【解答】解：因为f（x）cos（x1）lnx，所以f(x)=-sin(x-1)-1x，f(x)=1x2-cos(x-1)，则f(1)=-11-sin0=-1，f(1)=11-cos

32、0=0，所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的曲率为K=|f(1)|1+(f(1)232=|0|1+(-1)232=0故答案为：015（5分）已知数列an满足a28，an=2(-1)n+nan-1(n2，nN*)，数列bn的前n项和为Sn，且bnlog2（a2n+2a2n1）log2（a2na2n+1），则满足Sn50的正整数n的最小值为 63【解答】解：因为an=2(-1)n+nan-1(n2，nN*)，a280，所以an0，anan-1=2(-1)n+n，所以bnlog2（a2n+2a2n1）log2（a2na2n+1）=log2(a2n+2a2n-1a2na2n+1)=log2(a2n

33、+2a2n+1)-log2(a2na2n-1) =log2(2(-1)2n+2+2n+2)-log2(2(-1)2n+2n) log2（2n+4）log2（2n+2）所以Sn=log26-log24+log28-log26+log2(2n+4)-log2(2n+2)=log22n+44，因为Sn50，所以log22n+445=log232，即n+2232，解得n62，因为nN*，所以正整数n的最小值为63故答案为：6316（5分）设函数f(x)=2|x+2|+cos(2x)，则使得f（x+1）f（2x）成立的x的取值范围是 (-53，1)【解答】解：由f(x)=2|x+2|+cos(2x)向右

34、平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(2x-)=2|x|-cos(2x)为偶函数，所以g（x）关于y轴对称，所以f（x）关于x2对称，当x0时，g(x)=2xln2+2sin(2x)，当x0，2时，因为sin(2x)0，所以g（x）0，当x（2，+）时，g(x)22ln2-20，所以g（x）在上单调0，+）递增，在（，0）上单调递减，所以f（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，由f（x+1）f（2x）得|x+1+2|2x+2|，即（x+3）2（2x+2）2，解得-53x1，所以使得f（x+1）f（2x）成立的x的取值范围是(-53，1)故答案为：(-53，1)四、解答题：本

35、题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在四面体ABCD中，AE=AB，AH=AD，CF=(1-)CB，CG=(1-)CD，（0，1）（1）求证：E、F、G、H四点共面（2）若=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD表示OM【解答】（1）证明：因为EH=AH-AE=AD-AB=BD，FG=CG-CF=(1-)CD-(1-)CB=(1-)BD，所以EH=1-FG，则EHFG，因此E、F、G、H四点共面（2）解：由（1）知，EH=13BD，FG=23BD，因此EH=12FG，EH、FG不在同一条直线上，EHFG，则EMMG=E

36、HFG=12，则EM=12MG，即OM-OE=12(OG-OM)，当=13时，AE=13AB，即OE-OA=13(OB-OA)，可得OE=23OA+13OB，因为CG=23CD，即OG-OC=23(OD-OC)，可得OG=13OC+23OD，所以，OM=23OE+13OG=23(23OA+13OB)+13(13OC+23OD)=49OA+29OB+19OC+29OD18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n=2an+1(nN*)（1）求数列an的通项公式（2）若an中的部分项abn组成的数列abn+1是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列bn的前n项和Tn【解

37、答】解：（1）设差数列an的公差为d，则由S44S2，a2n=2an+1(nN*)可得4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1，解得a1=1d=2，因此an=2n-1(nN*)（2）由an2n1，得abn=2bn-1，又由abn+1是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得abn+1=2n，因此2bn=2n，所以bn=2n-1，所以Tn=1-2n1-2=2n-119（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，A1AC60，A1B=6（1）证明：平面A1ACC1平面ABC；（2）求二面角BA1B1C1的正弦值【解答】（1）证明：取AC中点M，连

38、接A1M，BM，则BMACAA1AC，A1AC60，A1AC为等边三角形，A1MAC，A1M=BM=3，A1B=6，A1M2+BM2=A1B2，A1MBM，ACBMM，A1M平面ABC，A1M平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC（2）解：由题可知二面角BA1B1C1的正弦值与二面角A1ABC正弦值相等A1M平面ABC，过M作MNAB于点N，连接A1N，A1NM即为所求二面角A1ABC的平面角，A1M=3，MN=A1Mcos60=32，A1N=3+34=152，sinA1NM=A1MA1N=255故二面角BA1B1C1的正弦值为25520（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在

39、杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列22列联表，并根据小概率值0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁

40、_20100偏好其他60_合计_60_（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（MN*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p11，p20试证明pn-14为等比数列；设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5的大小附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+d0.0500.0100.001x3.8416.63510.828【解答】解：（1）列联表如下：出行方式国际大都市中小型城

41、市合计首选地铁8020100首选其他6040100合计14060200零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，2=200(8040-2060)2100100140609.5246.635，根据小概率值0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）证明：第n段行程上David坐地铁的概率为pn，则当n2时，第n1段行程上David坐地铁的概率为pn1，不坐地铁的概率为1pn1，则pn=pn-10+(1-pn-1)13=-13pn-1+13，从而pn-14=-13(pn-1-14)，又p1-14=34，所以pn-14是首项

42、为34，公比为-13的等比数列；由可知pn=34(-13)n-1+14，则p5=34(-13)4+1414，又q5=13(1-p5)14，故p5q521（12分）设抛物线C：y22px（p0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）当直线AB垂直于x轴时，|AB|2（1）求抛物线C的标准方程（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D求证：直线CD过定点；求PAB与PCD面积之和的最小值【解答】解：（1）由题意，当直线AB垂直于x轴时，x1=p2，代入抛物线方程得y1p，则|AB|2p，所以2p2，即p1，所以抛物线C：y22x（2）设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AB：x=my+12，与抛物线C：y22x联立，得y22my10，因此y1+y22m，y1y21设直线AC：xny+1，与抛物线C：y22x联立，得y22ny20，因此y1+y32n，y1y32，则y3=-2y1同理可得y4=-2y2所以kCD=y3-y4x3-x4=y3-y4y322-y422=2y3+y4=2-2y1+-2y2=-y1y2