2022-2023学年山东省济南市高二下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）已知函数f（x）lnx2x，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为（）A2B1C1D22（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（）A老年男性志愿者人数为90B青年女性志愿者人数为72C老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数D中年男性志愿者人数大于青年

2、男性志愿者人数3（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（）A70B256C1680D40964（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为，则P（1）（）A110B13C49D355（5分）已知（x+m）5a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a5（x+1）5，且i=05 ai32，则实数m（）A2B1C1D26（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）+f（x）0，f（1）=1e，则f(lnx)1x的解集是（）A（0，1

3、）B（0，e）C（1，+）D（e，+）7（5分）将三项式展开，得到下列等式：（x2+x+1）01；（x2+x+1）1x2+x+1；（x2+x+1）2x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：若关于x的多项式（x2+ax3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a（）A1B1C2D28（5分）已知函数f（x）x22ax+a2+（e2x+22a）2，若存在x0，使得f(x0)95成立，则x0a=（）A2B5C2D5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共

4、20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）x33x2，则（）Af（x）在区间（1，1）上单调递增Bf（x）有两个极值点Cf（x）有三个零点D直线y4是曲线yf（x）的切线（多选）10（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X101P38 2t2-32t-38 12t 则下列说法正确的是（）At1或-12BE(X)=18CD(X)=5564DD（8X+9）64（多选）11（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20

5、个区块，得到样本数据（xi，yi）（i1，2，20），经计算得：i=120 xi60，i=120 yi1200，i=120 (xi-x）280，i=120 (xi-x)(yi-y）640该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：y=b1x+a1和x关于y的线性回归方程l2：x=b2y+a2，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致则下列说法正确的是（）附：y关于x的线性回归方程y=a+bx中，b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a=y-bx，r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=

6、1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2Abi=8Bb1b21Cl1经过点（3，60）Dl2经过点（3，60）（多选）12（5分）记两个函数f(x)=Atanx，x(-2，2)，g（x）x的图象的公共点个数是（A，），则（）A（1，1）1B（1，1）1C（1，2）1D(2，12)=2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知An2=90，则Cn+2n的值为 14（5分）已知随机变量XN（，2），若P（X2）0.2，P（x3）0.5，则P（X4）的值为 15（5分）已知函数f（x）x（lnx+a）在（1，+）上单调递增，则a的最小值为 16（5分）为研究某新型番茄品种，

7、科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生75女生45合计200已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的

8、学生的概率为1320（1）请将上面的22列联表补充完整；（2）根据以上数据，依据小概率值0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？附：0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d18（12分）已知2Cn1+22Cn2+23Cn3+2nCnn=728（1）求n的值；（2）求(x+12x)n的二项展开式中的常数项19（12分）已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx（1）若f（x）在x2处取得极值，求实数a的

9、值；（2）讨论f（x）的单调性20（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止已知每次挑战是否成功相互独立（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为34，求选手甲可以进入第三轮的概率；（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分XN（212，2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰附：若随机

10、变量XN（，），则P（X+）0.683；P（2X+2）0.954；P（3X+3）0.99721（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0p1），且各件新产品是否为次品相互独立记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大22（12分）已知函数

11、f（x）ex1+ax2，其中aR（1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x12+x222(a+1)+e2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知函数f（x）lnx2x，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为（）A2B1C1D2【解答】解：函数f（x）lnx2x，可得f（x）=1x-2，所以f（1）121，因此曲线 y f （ x ）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1；故选：B2

12、（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（）A老年男性志愿者人数为90B青年女性志愿者人数为72C老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数D中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数【解答】解：根据饼状图老年志愿者占比10%，则人数为10%3003090，故A错，青年志愿者占比60%，则人数为30060%180人，而女性占比40%，则青年女性志愿者人数为18040%72，故B正确；

13、老年女性志愿者人数为3070%21人，中年女性人数为30030%30%27人，则C错误；中年男性志愿者人数为30030%70%63人，青年男性志愿者人数为30060%60%108，则D错误故选：B3（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（）A70B256C1680D4096【解答】解：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为A84=87651680故选：C4（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为，则P

14、（1）（）A110B13C49D35【解答】解：由题意可知1表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球，每一次取到黑球的概率为24+2=13，则取到白球的概率为23，所以P（1）=C3113(23)2=49故选：C5（5分）已知（x+m）5a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a5（x+1）5，且i=05 ai32，则实数m（）A2B1C1D2【解答】解：已知（x+m）5a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a5（x+1）5，且i=05 ai32，则令x0，可得i=05 aim532，解得m2故选：D6（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）+

15、f（x）0，f（1）=1e，则f(lnx)1x的解集是（）A（0，1）B（0，e）C（1，+）D（e，+）【解答】解：记g（x）exf（x），则g（x）exf（x）+exf（x）exf（x）+f（x），因为f（x）+f（x）0，所以g（x）0，所以g（x）在R上单调递增，由f(lnx)1x知x0，所以原不等式等价于xf（lnx）1，又因为f（1）=1e，所以g（1）ef（1）1，所以原不等式等价于elnxf（lnx）ef（1），即g（lnx）g（1），所以lnx1，解得0xe，即f(lnx)1x的解集是（0，e）故选：B7（5分）将三项式展开，得到下列等式：（x2+x+1）01；（x2+x+1

16、）1x2+x+1；（x2+x+1）2x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：若关于x的多项式（x2+ax3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a（）A1B1C2D2【解答】解：由题意可得：（x2+x+1）5x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，则（x2+ax3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为145+a30+（3）1530a，又x8的系数为30，则30a30，即a1故选：A8（5

17、分）已知函数f（x）x22ax+a2+（e2x+22a）2，若存在x0，使得f(x0)95成立，则x0a=（）A2B5C2D5【解答】解：已知函数f（x）x22ax+a2+（e2x+22a）2（xa）2+（e2x+22a）2，此时函数f（x）可以看作是动点M（x，e2x+2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，因为动点M在函数g（x）e2x+2的图象上，动点N在直线y2x上，要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，易知g（x）2e2x+2，y2，此时2e2x+22，解得x1，则点（1，1）到直线y2x的最小距离d=35，所以f（x）d2=95，若存在x0，使得f(x0)95成立，此时f（

18、x0）=95，即直线MN与直线y2x垂直，点N恰好为垂足，因为kMN=2a-1a-(-1)=2a-1a+1，所以2a-1a+121，解得a=15，则x0a=-115=-5故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）x33x2，则（）Af（x）在区间（1，1）上单调递增Bf（x）有两个极值点Cf（x）有三个零点D直线y4是曲线yf（x）的切线【解答】解：已知f（x）x33x2，函数定义域为R，可得f（x）3x233（x+1）（x1），当x1时，f（x

19、）0，f（x）单调递增；当1x1时，f（x）0，f（x）单调递减；当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，所以当x1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（1）0，当x1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）4，当x时，f（x）；当x+时，f（x）+，作出函数f（x）图象如下所示：所以函数f（x）在区间（1，1）上单调递减，故选项A错误；函数f（x）有两个极值点，别分为x1，x1，故选项B正确；函数f（x）存在两个零点，故选项C错误；不妨设切点为（x0，f（x0），则曲线yf（x）在切点处的切线方程为y（x03-3x02）（3x02-3）（xx0），即y（3x02-3）x2x03-2，若直线

20、y4是曲线yf（x）的切线，此时3x02-3=0-2x03-2=-4，解得x01，符合题意，则直线y4是曲线yf（x）的切线，故选项D正确故选：BD（多选）10（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X101P38 2t2-32t-38 12t 则下列说法正确的是（）At1或-12BE(X)=18CD(X)=5564DD（8X+9）64【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由X的分布列，有38+2t2-32t-38+12t1，解可得t1或-12，又由02t2-32t-381012t1，则t1，A错误；对于B，由A的结论，t1，则离散型随机变量X的分布列为X101P38 18 12 则E（X

21、）（1）38+018+112=18，B正确；对于C，D（X）（1-18）238+（0-18）218+（1-18）212=5564，C正确；对于D，D（8X+9）64D（x）55，D错误故选：BC（多选）11（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i1，2，20），经计算得：i=120 xi60，i=120 yi1200，i=120 (xi-x）280，i=120 (xi-x)(yi-y）640该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：y=b1x+a1和x

22、关于y的线性回归方程l2：x=b2y+a2，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致则下列说法正确的是（）附：y关于x的线性回归方程y=a+bx中，b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a=y-bx，r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2Abi=8Bb1b21Cl1经过点（3，60）Dl2经过点（3，60）【解答】解：对于选项A，b1=i=120 (xi-x)(yi-y)i=120 (xi-x)2=64080=8，即选项A正确；对于选项B，因为b2=i

23、=120 (xi-x)(yi-y)i=120 (yi-y)2，所以b1b2=r21，即选项B错误；对于选项C和D，由题意知，x=120i=120 xi3，y=120i=120 yi60，所以线性回归方程l1和l2均经过样本中心点（3，60），即选项C和D正确故选：ACD（多选）12（5分）记两个函数f(x)=Atanx，x(-2，2)，g（x）x的图象的公共点个数是（A，），则（）A（1，1）1B（1，1）1C（1，2）1D(2，12)=2【解答】解：对于A，当A1，1时，f（x）tanx，x（-2，2），g（x）x1，在同一坐标系中作出yf（x）与yg（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有

24、2个交点，所（1，1）2，故A错误；对于B，当A1，1时，f（x）tanx，x（-2，2），g（x）x，在同一坐标系中作出yf（x）与yg（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有1个交点，所（1，1）1，故B正确；对于C，当A1，2时，f（x）tanx，x（-2，2），g（x）x2，在同一坐标系中作出yf（x）与yg（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有1个交点，所（1，2）1，故C正确；对于D，当A2，=12时，f（x）2tanx，x（-2，2），g（x）=x12=x，在同一坐标系中作出yf（x）与yg（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有2个交点，所（2，12）2，故D正确故选：BCD

25、三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知An2=90，则Cn+2n的值为 66【解答】解：因为An2=90，即n（n1）90，且nN+，则n10，则C1210=C122=66故答案为：6614（5分）已知随机变量XN（，2），若P（X2）0.2，P（x3）0.5，则P（X4）的值为 0.8【解答】解：因为随机变量XN（，2），若P（X2）0.2，P（X3）0.5，则对称轴为3，则P（2X3）0.50.20.3，则P（X4）0.5+0.30.8故答案为：0.815（5分）已知函数f（x）x（lnx+a）在（1，+）上单调递增，则a的最小值为 1【解答】解：因为函数f（x）

26、x（lnx+a）在（1，+）上单调递增，所以f（x）lnx+a+10在（1，+）上恒成立，即alnx1在（1，+）上恒成立，令g（x）lnx1，因为g（x）在（1，+）上单调递减，所以g（x）g（1）1，所以a1，即a的最小值为1故答案为：116（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 14【解答】解：黄皮非红肉的番茄为P1=38(1-815)=38715=740，因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约

27、占730，所以730=P1P非红肉，解得P非红肉=307P1=307740=34，因此P红肉1P非红肉1-34=14故答案为：14四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生75女生45合计200已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为1320（1）请将上面的22列联表补充完整；（2）根据以上数据

28、，依据小概率值0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？附：0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d【解答】解：（1）由题意可得：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生7525100女生5545100合计13070200（2）零假设为H0：喜欢天宫课堂与性别之间无关联，x2=200(7545-5525)2100100130708.7916.635，根据小概率值0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢天

29、宫课堂与性别有关系，故依据小概率值0.010的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联18（12分）已知2Cn1+22Cn2+23Cn3+2nCnn=728（1）求n的值；（2）求(x+12x)n的二项展开式中的常数项【解答】解：（1）因为2Cn1+22Cn2+23Cn3+2nCnn=728=（1+2）n1，解得n6；（2）由（1）知，n6，(x+12x)n 的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(12x)r=C6r(12)rx6-32r，r0，1，6， 令6-32r=0，解得r4，展开式中的常数项为 T5=(12)4C64=1516，故二项展开式中的常数项为151619（12分）

30、已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx（1）若f（x）在x2处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性【解答】解：（1）依题意，f(x)=x-(a+1)+ax，则f(2)=2-(a+1)+a2=0，解得：a2，经检验，符合题意（2）函数定义域为 （0，+），因为 f(x)=x-(a+1)+ax=(x-a)(x-1)x，所以，当a1时 f(x)=(x-1)2x0，f（x）在 （0，+） 单调递增；当a0时，若0x1，f（x）0，f（x）在（0，1）递减，若x1，f（x）0，f（x）在 （1，+） 递增；当0a1时，若ax1，f（x）0，f（x）在 （a，1）单调递减，若0x

31、a或x1，f（x）0，f（x）在（0，a）和 （1，+） 递增；当a1时，若1xa，f（x）0，f（x）在（1，a）单调递减，若0x1或xa，f（x）0，f（x）在（0，1）和 （a，+） 单调递增；综上，当a0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增；当0a1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a）和（1，+）单调递增；当a1时，f（x）在（0，+）单调递增；当a1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1）和（a，+）单调递增20（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下

32、一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止已知每次挑战是否成功相互独立（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为34，求选手甲可以进入第三轮的概率；（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分XN（212，2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰附：若随机变量XN（，），则P（X+）0.683；P（2X+2）0.954；P（3X+3）0.997【解答】解：（1）设Bi：第i次通过第二关，Ai：第i次通过第一关，甲可以进入第三关

33、的概率为P，由题意知P（P（A1）+P（A1A2）（P（B1）+P（B1B2）（45+1545）（34+1434）=910（2）选手得分XN（212，2），对称轴为212，3172000=0.1585%，且 P(X+)=1-P(-X+)2=1-0.68320.1585，462000=0.023%，且 (X+2)=1-P(-2X+2)2=1-0.95420.023，+2270，则=270-2122=29，前317名参赛者的最低得分高于+241，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励21（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产（1）现从试

34、产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0p1），且各件新产品是否为次品相互独立记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大【解答】解：（1）根据题意可知X的取值可能为 2，3，4，5，则可以得到：P(x=2)=C22C62=115，P（X3）=2C21C41C61C511C41=215，P（X4）=3C41C31C21C61C51C411C31=

35、15，P（X5）=43224654312=415，P（X6）=43212565432=13，则X的分布列为：X 2 3 4 5 6 P 115 215 15 41513 所以E（X）2115+3215+415+5415+613=143；（2）由题意可得f(p)=C502p2(1-p)48(0p1)，所以f(p)=C5022p(1-p)48-48p2(1-p)47=C5022p(1-p)47(1-25p)，令f（p）0，解的P=125，因为当 0p125 时，f（p）0，所以f（p）为单调增函数；因为当 125p1 时，f（p）0，所以f（p）为单调减函数，所以，当 p=125 时，f（p）取得

36、最大值22（12分）已知函数f（x）ex1+ax2，其中aR（1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x12+x222(a+1)+e【解答】解：（1）已知f（x）ex1+ax2，其中aR，函数定义域为R，可得f（x）ex+2ax，不妨设g（x）f（x），函数定义域为R，可得g（x）ex+2a，当a0时，g（x）0，所以函数g（x）在R上单调递增，即函数f（x）在R上单调递增，又f（-1a）0，f（0）10，所以f（x）在R上存在唯一变号零点，即函数f（x）存在唯一的极值点，符合题意；当a0时，易知函数f（x）ex1在R上单调递增，此时函数

37、f（x）无极值点，不符合题意；当a0时，令g（x）0，解得xln（2a），因为g（x）为增函数，所以当xln（2a）时，f（x）单调递减；当xln（2a）时，f（x）单调递增，又f（ln（2a）2a1ln（2a），当ln（2a）1，即-e2a0时，易知f（ln（2a）0，所以f（x）0，f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）无极值点，不符合题意；当ln（2a）1，即a-e2时，易知f（ln（2a）0，又f（0）10，f（2a）e2a4a2（ea2a）（ea+2a）（ea2a）e（a）+2aa（ea2a）（e2）0，此时f（x）在R上存在两个变号零点，即函数f（x）在R上存在两个极值点，不符合

38、题意，综上，满足条件的a的取值范围为（0，+）；（2）证明：若f（x）存在两个极值点x1，x2，由（1）知，只有当a-e2且x1，x2均为正数时满足条件，此时2a+e0，x12+x222(x1+x22)2，即x12+x22(x1+x2)22，要证x12+x222(a+1)+e，需证(x1+x2)222，即证x1+x22，因为f（x1）=ex1+2ax10，f（x2）=ex2+2ax2，所以ex1x1=ex2x2，对等式两边同时取对数，可得lnex1x1=lnex2x2，此时x1lnx1x2lnx2，即x1-x2lnx1-lnx2=1，下证x1+x22x1-x2lnx1-lnx2，不妨设x2x1，令x2x1=t，t1，此时需证1+t21-t-lnt，即证lnt2(t-1)t+1，不妨设h（t）lnt-2(t-1)t+1，函数定义域为（1，+），可得h（t）=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20，所以函数h（t）在定义域上单调递增，此时h（t）h（1）0，所以当t1时，lnt2(t-1)t+1恒成立，即x1+x22x1-x2lnx1-lnx2成立，可得x1+x22x1-x2lnx1-lnx2=1，即x1+x22，故x12+x222(a+1)+e第20页（共20页）