2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）双曲线y28-x26=1的一条渐近线方程为（）A3x4y0B4x3y0C3x+2y=0D2x-3y=02（5分）已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）ln（2t+1），则该质点在t2s时的瞬时速度为（）A15B25C2D43（5分）等比数列an中，a72，a118，则a9（）A4B5C4D54（5分）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲

2、和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P（B|A）（）A15B25C925D9205（5分）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e，E(e)=0，D(e)=2得到线性回归模型y=bx+a，对应的残差如图所示，模型误差（）A满足一元线性回归模型的所有假设B满足回归模型E（e）0的假设C满足回归模型D（e）2的假设D不满足回归模型E（e）0和D（e）2的假设6（5分）设nN+，则5Cn1+52Cn2+53Cn3+5nCnn除以7的余数为（）A0或5B1或3C4或6D0或27（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x

3、（2，+）时，f（x）0，当x（0，2）时，f（x）0，且f（3）0，则关于x的不等式（x1）f（x）0的解集为（）A（3，3）B（3，0）（0，3）C（3，0）（1，3）D（，3）（0，3）8（5分）南宋数学家杨辉在详解九章算法中，研究了二阶等差数列若an+1an是公差不为零的等差数列，则称数列an为二阶等差数列现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，则第40层放小球的个数为（）A1640B1560C820D780二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

4、题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，32），则下列结论正确的是（）AE（X）1，D（X）9B随机变量Y满足2X+Y4，则E（Y）4CP（X1）=12D若P（X2）p，则P（0X1）=12-p（多选）10（5分）已知y与x线性相关，且求得回归方程为y=bx+3.5，变量x，y的部分取值如表所示，则（）x30405060y25304045Ay与x负相关Bb=0.7Cx10时，y的预测值为10.5D（40，30）处的残差为1.5（多选）11（5分）已知集合M0，1，2，3，4，5下列说法正确的是（）A从集合M中任取4个元素

5、能够组成300个没有重复数字的四位数B从集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数C从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码D从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种（多选）12（5分）抛物线：x24y，P是上的点，直线l：ykx+4（k0）与交于A，B两点，过的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则（）A|PF|的最小值为1B|PQ|的最小值为1CAFB为钝角D若PFAPFB，直线PF与l的斜率之积为-52三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）有朋自远方来，乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，则他迟到的概率为 1

6、4（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案）15（5分）已知数列an满足2a1+22a2+2nan=n(nN*)，bn=1log2anlog2an+1，Sn为数列bn的前n项和若对任意实数，都有Sn成立，则实数的取值范围为 16（5分）已知函数f（x）ex2lnx，g（x）a2x2+x2lna（a1），若f（x）的图象与g（x）的图象在1，+）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在(x-2x2)8的展开式中（）求第3项；（）

7、求含1x项的系数18（12分）数列an满足a11，an+1（n2+n）an（n1，2，），是常数（1）当a21时，求及a3的值；（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由19（12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下6540岁以上（包含40岁）60100合计

8、200（1）完成22列联表，并判断依据0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.82820（12分）设函数f（x）exax，x0且aR（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）x2+1恒成立，求实数a的取值范围21（12分）从甲、乙、丙等5人

9、中随机地抽取三个人去做传球训练训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n1，2，3，直接写出p1，p2，p3的值；求pn+1与pn的关系式（nN*），并求pn（nN*）22（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，直线xm与椭圆C交于A，B两点，且ABF1的周长最大值为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，P

10、，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为-34（O为坐标原点），D为射线OP上一点，且|OP|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|=23|ED|，求四边形OPEQ的面积2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线y28-x26=1的一条渐近线方程为（）A3x4y0B4x3y0C3x+2y=0D2x-3y=0【解答】解：由y28-x26=0，得y28=x26，得y86x233x，即23x3y0，即2x3y0故选：D2（5分）已

11、知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）ln（2t+1），则该质点在t2s时的瞬时速度为（）A15B25C2D4【解答】解：因为y（t）ln（2t+1），所以y(t)=22t+1，所以该质点在t2s时的瞬时速度为y(2)=222+1=25故选：B3（5分）等比数列an中，a72，a118，则a9（）A4B5C4D5【解答】解：因为等比数列an中，a72，a118，所以a92a7a112816，又因为a9与a7符号相同为正，所以a94故选：C4（5分）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选

12、择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P（B|A）（）A15B25C925D920【解答】解：由题知，P(A)=A52C51C51=45，P(AB)=C21A41C51C51=825，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=82545=25故选：B5（5分）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e，E(e)=0，D(e)=2得到线性回归模型y=bx+a，对应的残差如图所示，模型误差（）A满足一元线性回归模型的所有假设B满足回归模型E（e）0的假设C满足回归模型D（e）2的假设D不满足回归模型E（e）0和D（e）2的假设

13、【解答】解：由散点图可以看出，图中的散点不能拟合成一条直线，且不满足D（e）2故选：D6（5分）设nN+，则5Cn1+52Cn2+53Cn3+5nCnn除以7的余数为（）A0或5B1或3C4或6D0或2【解答】解：1+5n1+52n2+53n3+5nnn1（1+5）n1（71）n1=Cn07n-Cn17n1+Cn27n2+Cnn-17（1）n1+Cnn（1）n1，故除了最后2项外，其余的各项均能被7整除，故它除以7的余数即为1+（1）n除以7的余数，即为0或5，故选：A7（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x（2，+）时，f（x）0，当x（0，2）时，f（x）0

14、，且f（3）0，则关于x的不等式（x1）f（x）0的解集为（）A（3，3）B（3，0）（0，3）C（3，0）（1，3）D（，3）（0，3）【解答】解：由题可知，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，又f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）0，且f（x）在（，2）上单调递减，在（2，0）上单调递增不等式（x1）f（x）0等价于x-10f(x)0或x-10f(x)0，f（3）0，x（3，0）（1，3）故选：C8（5分）南宋数学家杨辉在详解九章算法中，研究了二阶等差数列若an+1an是公差不为零的等差数列，则称数列an为二阶等差数列现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一

15、个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，则第40层放小球的个数为（）A1640B1560C820D780【解答】解：设第n层放小球的个数为an，由题意a2a12，a3a23，数列an+1an是首项为2，公差为1的等差数列，所以an-an-1=2+(n-2)=n(n2，nN*)故an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=1+2+n=12n(n+1)，故a40=124041=820故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5

16、分）已知随机变量X服从正态分布N（1，32），则下列结论正确的是（）AE（X）1，D（X）9B随机变量Y满足2X+Y4，则E（Y）4CP（X1）=12D若P（X2）p，则P（0X1）=12-p【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，32），1，29，E（X）1，D（X）9，P（X1）=12，故AC正确，2X+Y4，E（Y）E（42X）2E（X）+42+42，故B错误，P（X2）p，P（0X1）P（1X2）P（X1）P（X2）=12-p，故D正确故选：ACD（多选）10（5分）已知y与x线性相关，且求得回归方程为y=bx+3.5，变量x，y的部分取值如表所示，则（）x30405060y2530

17、4045Ay与x负相关Bb=0.7Cx10时，y的预测值为10.5D（40，30）处的残差为1.5【解答】解：x=30+40+50+604=45，y=25+30+40+454=35，样本点的中心为（45，35），代入y=bx+3.5，得35=45b+3.5，解得b=0.7，y与x负相关，故A错误，B正确；y=0.7x+3.5，取x10，得y=10.5，故C正确；取x40，得y=0.740+3.5=31.5，则（40，30）处的残差为1.5，故D正确故选：BCD（多选）11（5分）已知集合M0，1，2，3，4，5下列说法正确的是（）A从集合M中任取4个元素能够组成300个没有重复数字的四位数B从

18、集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数C从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码D从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种【解答】解：对于A，取4个元素组成无重复数字的四位数，若取0，有C53C31A33=180，若不取0，有C54A44=120，共有180+120300，故A正确，对于B，M中有3个偶数，若末位为0，有A52=20，若末位为2或4，有C21C41C41=32 个，共有20+3252，故B正确，对于C，集合M中任取3个元素能够组成A63=120 个3位密码，故C错误，对于D，三个数和为3的有（0，1，2）有1种，3个数的和为6的有（0，1，5），

19、（1，2，3）（0，2，4）有3种，3个数的和为9的有（0，4，5），（1，3，5）（2，3，4）有3种，3个数的和为12的有（3，4，5有1种，故共有1+3+3+18种，故D错误故选：AB（多选）12（5分）抛物线：x24y，P是上的点，直线l：ykx+4（k0）与交于A，B两点，过的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则（）A|PF|的最小值为1B|PQ|的最小值为1CAFB为钝角D若PFAPFB，直线PF与l的斜率之积为-52【解答】解：A设P（x0，y0），则|PF|y0+1，y00，|PF|min1，故A正确，B设E（0，1），QFQE=0，则Q点的轨迹为x2+(y-52)2=94(x0)，

20、设R（0，52），P（x0，x024），则|PQ|min|PR|min-32，|PR|=x02+(x024-52)2=116(x0-2)2+66，则|PQ|min|PR|min-32=6-32，故B错误，C设A（x1，y1），B（x2，y2），将ykx+4，代入x24y 得x24kx160，则判别式16k2+640则x1+x24k，x1x216则y1y2=x124x224=(x1x2)216=(-16)216=16，由 F（0，1）得FAFB=x1x2+（y11）（y2+1）x1x2+y1y2（y1+y2）+174k20，则AFB为钝角，故C正确，D设P（x0，y0），PFAPFB，则FAFP

21、|FA|=FBFP|FB|，则x0x1+(y1-1)(y0-1)y1+1=x0x2+(y2-1)(y0-1)y2+1，所以x0x1（y2+1）+（y11）（y2+1）（y01）x0x2（y1+1）+（y21）（y1+1）（y01），x0x1y2+x0x1+（y01）（y1y2y2+y1+1）x0x2y1+x0x2+（y01）（y1y2+y2y1+1），则x04x1x2（x2x1）+x0（x1x2）+12（y01）（x12-x22）0，x1x2，5x0+x1+x22（y01）0，即5x0+2k（y01）0，即kk1=-52，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13

22、（5分）有朋自远方来，乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，则他迟到的概率为 0.22【解答】解：因为乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，因此他会迟到的概率为0.60.3+0.40.10.22故答案为：0.2214（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 16种（用数字填写答案）【解答】解：没有女生入选有C43=4种选法，从6名学生中任意选3人有C63=20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种故答案为：1615（5分）已知数列an满足2a1+22a2+

23、2nan=n(nN*)，bn=1log2anlog2an+1，Sn为数列bn的前n项和若对任意实数，都有Sn成立，则实数的取值范围为 1，+）【解答】解：2a1+22a2+2nan=n，2a1+22a2+2n+1an+1=n+1，得2n+1an+11，an+1=12n+1，当n2时，an=12n，当n1时，2a1=1a1=12，满足上式，故an=12n，bn=1log2anlog2an+1=1log22-nlog22-(n+1)=1-n(-n-1)=1n(n+1)=1n-1n+1，故Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1，Sn1，故1，即实数的取值范围为1，+）故答案为：1，

24、+）16（5分）已知函数f（x）ex2lnx，g（x）a2x2+x2lna（a1），若f（x）的图象与g（x）的图象在1，+）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 (e2，e【解答】解：f（x）ex2lnx关于x轴对称的函数为yex+2lnx，因为f（x）的图象与g（x）的图象在1，+）上恰有两对关于x轴对称的点，所以方程ex+2lnxa2x2+x2lna在1，+）上恰有两个不相等的实根，即a2x2+x2lnaex2lnx0，即a2x2ln（a2x2）+xex0，即eln(a2x2)-ln(a2x2)+x-ex=0，即eln(a2x2)-ln(a2x2)=ex-x在1，+）上恰有两

25、个不相等的实根，令t（x）exx，x1，+），则t（x）ex10，x1，+），所以函数t（x）exx在1，+）上单调递增，所以ln（a2x2）x，即a2x2ex，a2=exx2，故原问题等价于ya2与y=exx2在1，+）上恰有两个不同的交点，令h(x)=exx2，x1，+)，则h(x)=ex(x-2)x3，x1，+)，当1x2时，h（x）0，当x2时，h（x）0，所以函数h（x）在1，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，又h(1)=e，h(2)=e24，当x+时，h（x）+，如图，作出函数h（x）在1，+）上的大致图象，要使函数ya2与y=exx2在1，+）上恰有两个不同的交点，只要e2

26、4a2e，因为a1，所以e2ae，所以实数a的取值范围是(e2，e故答案为：(e2，e四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在(x-2x2)8的展开式中（）求第3项；（）求含1x项的系数【解答】（）(x-2x2)8展开式的通项Tr+1=C8rx8r（-2x2）r（2）rC8rx83r得：令r2，则T3（2）2C82x86112x2（）由（1）得：令83r1，解得r3，所以T4=(-1)323C83x-1=-448x，故含1x项的系数为44818（12分）数列an满足a11，an+1（n2+n）an（n1，2，），是常数（1）当a21时，求及a

27、3的值；（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由【解答】解：（1）由于an+1（n2+n）an（n1，2，），且a11，所以当a21时，得12，故3从而a3（22+23）（1）3（2）数列an不可能为等差数列，证明如下：由a11，an+1（n2+n）an，得a22，a3（6）（2），a4（12）（6）（2）若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即（5）（2）1，解得3于是a2a112，a4a3（12）（6）（2）24这与an为等差数列矛盾所以，对任意，an都不可能是等差数列19（12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标

28、的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下6540岁以上（包含40岁）60100合计200（1）完成22列联表，并判断依据0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）附：2=n(

29、ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.828【解答】解：（1）由题可知：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下653510040岁以上（包含40岁）4060100合计10595200所以2=200(6560-4035)21001001059512.53110.828，所以至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关（2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为0.4，所以XB（3，0.4），所以X的可能取

30、值为：0，1，2，3，且P(X=0)=C300.400.63=0.216；P(X=1)=C310.410.62=0.432；P(X=2)=C320.420.61=0.288；P(X=3)=C330.430.60=0.064；所以X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064数学期望E（X）10.432+20.288+30.0641.220（12分）设函数f（x）exax，x0且aR（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）x2+1恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）exa，x0，当a1时，f（x）0恒成立，则f（x）在0，+）上单调递增；当a1时，x0，

31、lna）时，f（x）0，则f（x）在0，lna）上单调递减；x（lna，+）时，f（x）0，则f（x）在0，lna）上单调递增综上，当a1时，f（x）在0，+）上单调递增；当a1时，f（x）在0，lna）上单调递减，在0，lna）上单调递增（2）方法一：exaxx2+1在x0恒成立，则当x0时，11，显然成立，符合题意；当x0时，得aex-x2-1x恒成立，即a(ex-x2-1x)min记g(x)=ex-x2-1x，x0，g(x)=(ex-x-1)(x-1)x2，构造函数yexx1，x0，则yex10，故yexx1为增函数，则exx1e0010故exx10对任意x0恒成立，则g（x）在（0，1

32、）递减，在（1，+）递增，所以g（x）ming（1）e2ae2，即实数a的取值范围是（，e2方法二：x2+ax+1ex1在0，+）上恒成立，即(x2+ax+1ex)max1记h(x)=x2+ax+1ex，x0，h(x)=-(x-1)(x+a-1)ex，当a1时，h（x）在（0，1）单增，在（1，+）单减，则h(x)max=h(1)=a+2e1，得ae2，舍：当0a1时，h（x）在（0，1a）单减，在（1a，1）单增，在（1，+）单减，h（0）1，h(1)=a+2e，得0ae2；当a0时，h（x）在（0，+）单减，成立；当a0时，h（x）在（0，1）单减，在（1，1a）单增，在（1a，+）单减，

33、h（0）1，h(1-a)=2-ae1-a，而e1a1a+1，显然成立综上所述，ae2，即实数a的取值范围是（，e221（12分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n1，2，3，直接写出p1，p2，p3的值；求pn+1与pn的关系式（nN*），并求pn（nN*）【解答】解：（1）X可能取值为1，2，3，p(X=1)

34、=C31C22C53=310；p(X=2)=C32C21C53=35；p(X=3)=C33C20C53=110，所以随机变量X的分布列为X123P310 35 110 （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为pn，n1，2，3，则有p10，p2=222=12，p3=223=14，记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，An+1=AnAn+1+AnAn+1所以pn+1=P(AnAn+1+AnAn+1)=P(AnAn+1)+P(AnAn+1) =P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|An)=(1-pn)12+pn0=12(1-pn)，即pn

35、+1=-12pn+12，n=1，2，3，所以pn+1-13=-12(pn-13)，且p1-13=-13，所以数列pn-13表示以-13为首项，-12为公比的等比数列，所以pn-13=-13(-12)n-1所以pn=-13(-12)n-1+13=131-(-12)n-1，即n次传球后球在甲手中的概率是131+(-1)n2n-122（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，直线xm与椭圆C交于A，B两点，且ABF1的周长最大值为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为-34（O为坐标原点），

36、D为射线OP上一点，且|OP|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|=23|ED|，求四边形OPEQ的面积【解答】解：（1）设AB与x轴的交点为H，由题意可知|AH|AF2|，则|AF1|+|AH|AF1|+|AF2|2a，当AB过右焦点F2时，ABF1的周长取最大值4a8，所以a2，因为椭圆C的离心率为e=ca=12，所以c1，b2a2c23，所以椭圆C的标准方程x24+y23=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因P，Q均在椭圆上，则x124+y123=1，x224+y223=1又kOPkOQ=-34，则y1y2x1x2=-343x1x2+4y1y2=0由|QE|=23|E

37、D|，|OP|=|PD|可得SPEQ=25SQPD=25SOPQ，则四边形OPEQ面积为75SOPQ当直线PQ斜率为0时，易知kOPkOQ，又kOPkOQ=-34，则kOP=32根据对称性不妨取kOP=32，y10，由y=32x3x2+4y2=12得x1=2y1=62，则P(2，62)，Q(-2，62)，得此时SOPQ=122262=3；当直线斜率不为0时，设PQ的方程为xmy+t，将直线方程与椭圆方程联立有：x=my+t3x2+4y2=12，消去x得：（3m2+4）y2+6mty+3t212036m2t24（3m2+4）（3t212）0，由韦达定理，有y1+y2=-6mt3m2+4，y1y2

38、=3t2-123m2+4所以3x1x2+4y1y23（my1+t）（my2+t）+4y1y20(3m2+4)y1y2+3mt(y1+y2)+3t2=0(3m2+4)3t2-123m2+4-18m2t23m2+4+3t2=0 2t23m2402t23m2+4，3m22t24，代入0可得12（2t24）t242t2（3t212）0，解得t0，|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=m2+1(y1+y2)2-4y1y2=1+m2(-6mt3m2+4)2-4(3t2-12)3m2+4=1+m248(-t2+3m2+4)(3m2+4)2=231+m2|t|，又原点到直线PQ距离为|t|1+m2，则此时SOPQ=12|t|m2+123m2+1|t|=3综上可得，SOPQ=3，四边形OPEQ面积为735第18页（共18页）