2022-2023学年广东省深圳市高二下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|0x3，则AB（）A1，0，1B0，1C1，1，2D1，22（5分）设复数z满足（1+i）z42i，则z=（）A13iB1+3iC3iD3+i3（5分）已知tan2，则cos2（）A45B35C-45D-354（5分）已知a=(-2，1)，b=(x，-2)，若ab，则x（）A1B1C4D45（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据本草纲目记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专

2、门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（）A556cm3B516cm3C476cm3D436cm36（5分）若正实数m，n满足m+n2，则下列不等式恒成立的为（）Alnm+lnn0B1m+1n2Cm2+n22Dm+n27（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，过原点的直线l与C交于A，B两点，若AFBF，且|AF|3|BF|，则C的离心率为（）A104B105C25D138（5分）已知点A在直线x2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线yx3x相切，则点A的轨迹长度为（

3、）A2B4C6D8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分已知各位评委对某名选手的打分如下：45 48 46 52 47 49 43 51 47 45则下列结论正确的为（）A平均数为48B极差为9C中位数为47D第75百分位数为51（多选）10（5分）已知函数f(x)=cos(2x+)(02)的图像关于直线x=-6对称，则（）Af(6)=-12Bf（x）在区间(-4，6)单调递减Cf（x）在区间(-2

4、，2)恰有一个极大值点Df（x）在区间(0，3)有两个零点（多选）11（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（）A当|AM|AF|时，AMlB当|AM|AF|MF|时，|AF|2|BF|C当MAMB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列D当MAMB时，|AM|BM|2|AF|BF|（多选）12（5分）在四面体ABCD中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m，则（）A当ABADm时，ACBDB当ABCDm时，四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)2Cm的取值范围为(0，2)D四面体ABCD体积的最大值为312三、填

5、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是 （用数字作答）14（5分）记Sn为等比数列an的前n项和，若a3a13，a4a26，则S5 15（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）2f（x+2），当x（0，2时，f（x）4x（2x），若方程f（x）a在区间(112，+)内有实数解，则实数a的取值范围为 16（5分）已知线段AB是圆C：（x1）2+（y1）24上的一条动弦，且|AB|=23，设点O为坐标原点，则|OA+OB|的最大值为 ；如果直线l1：xmy3m+10与l2：mx+y+3m+10相交于点M，则MAMB的最小值为 四、解答题：

6、本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an满足a1=1，an+1=anan+1(nN*)（1）证明：数列1an是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设bnanan+1，求数列bn的前n项和Tn18（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+12a=c（1）求B；（2）若c2a，且b=33，求ABC的面积19（12分）如图，已知三棱锥PABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，PAC是边长为2的正三角形，且平面PBC平面PAC（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）若BC=23，点E为PB的中点，点F为圆

7、O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF平面PAC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值20（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：红球蓝球白球A盒221B盒221（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得

8、1分（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）21（12分）已知f（x）axe2x（aR）（1）当a0时，讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）2xlnx0恒成立，求实数a的取值范围22（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1（1）求C的方程；（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，AMN的面积为S2，求S1S2的

9、取值范围2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|0x3，则AB（）A1，0，1B0，1C1，1，2D1，2【解答】解：集合A1，0，1，2，Bx|0x3，则AB1，2，故选：D2（5分）设复数z满足（1+i）z42i，则z=（）A13iB1+3iC3iD3+i【解答】解：因为（1+i）z42i，所以z=4-2i1+i=(4-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-6i2=1-3i，故z=1+3i故选：B3（5分）已知t

10、an2，则cos2（）A45B35C-45D-35【解答】解：因tan2，则cos2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-35故选：D4（5分）已知a=(-2，1)，b=(x，-2)，若ab，则x（）A1B1C4D4【解答】解：由ab可得，2（2）x0，解得x4故选：C5（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据本草纲目记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米）

11、，则该组合体的体积为（）A556cm3B516cm3C476cm3D436cm3【解答】解：由题意可得该组合体的体积V（32）26-13（32）2+12+132（62）=436故选：D6（5分）若正实数m，n满足m+n2，则下列不等式恒成立的为（）Alnm+lnn0B1m+1n2Cm2+n22Dm+n2【解答】解：由m+n2及m，n均为正实数可得：0mn(m+n2)2=1，当且仅当mn1时取等号，选项A，函数ylnx在（0，+）上单调递增，所以lnm+lnnln（mn）ln10，A错误；选项B，由均值不等式，1m+1n21mn2，当且仅当mn1时取等B正确；选项C，m2+n2（m+n）22mn

12、42mn2，当且仅当mn1时取等，C错误；选项D，（m+n）2m+n+2mn=2+2mn4，当且仅当mn1时取等，所以m+n2，D错误故选：B7（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，过原点的直线l与C交于A，B两点，若AFBF，且|AF|3|BF|，则C的离心率为（）A104B105C25D13【解答】解：设左焦点为F，由O是FF，AB的中点，|AF|BF|，AFAF，设|BF|m，则|AF|3m，又|AF|+|AF|2a，m=12a，|AF|=32a，|AF|=12a，（12a）2+（32a）2（2c）2，c2a2=1016e=ca=104故选：A8（5分）已知点

13、A在直线x2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线yx3x相切，则点A的轨迹长度为（）A2B4C6D8【解答】解：由题意设点A（2，a），过点A的直线l与曲线yx3x相切于点B（x0，y0），yx3x，y3x21，l的方程为y=(3x02-1)(x-x0)+x03-x0，把A（2，a）代入，可得(3x02-1)(2-x0)=a-x03+x0，化简得a=-2x03+6x02-2，设g（x）2x3+6x22，g（x）6x2+12x，g（x）在区间（，0），（2，+）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，若过点A恰有三条不同的直线与曲线yx3x相切，满足条件的x0恰有3个，g（0）ag（2），即

14、2a6，则点A的轨迹长度为8故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分已知各位评委对某名选手的打分如下：45 48 46 52 47 49 43 51 47 45则下列结论正确的为（）A平均数为48B极差为9C中位数为47D第75百分位数为51【解答】解：平均数是110（45+48+46+52+47+49+43+51+47+45）47.3，选项A错误；极差为52439，选项B正确；按从小到大顺序

15、排列为：43，45，45，46，47，47，48，49，51，52；所以中位数是12（47+47）47，选项C正确；因为1075%7.5，所以第75百分位数是第8个数，为49，选项D错误故选：BC（多选）10（5分）已知函数f(x)=cos(2x+)(02)的图像关于直线x=-6对称，则（）Af(6)=-12Bf（x）在区间(-4，6)单调递减Cf（x）在区间(-2，2)恰有一个极大值点Df（x）在区间(0，3)有两个零点【解答】解：f（x）的图像关于直线x=-6对称，2（-6）+k，kZ，得=3+k，kZ，02，当k0时，=3，则f（x）cos（2x+3），则f（6）cos（26+3）cos

16、23=-12，故A正确，当-4x6时，-22x3，-62x+323，则f（x）不单调，故B错误，当-2x2时，2x，-232x+343，则当2x+3=0时，函数f（x）取得唯一一个极大值，故C正确当0x3，02x23，32x+3，则只有当2x+3=2时，函数f（x）0，即f（x）在区间(0，3)只有1个零点，故D错误故选：AC（多选）11（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（）A当|AM|AF|时，AMlB当|AM|AF|MF|时，|AF|2|BF|C当MAMB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列D当MAMB时，|

17、AM|BM|2|AF|BF|【解答】解：对于选项A：由抛物线定义可知，若|AM|AF|，则AMl，故选项A正确；对于选项B：当|AM|AF|MF|时，AMF为正三角形，直线AB的倾斜角为3 设直线AB的方程为y=3(x-p2)，A（x1，y1），B（x，y2），由y=3(x-p2)y2=2px，可得y2-2p3y-p2=0，y1=3p，y2=-33p，|AF|BF|=|y1|y2|=3，故选项B错误；对于选项C：过点A，B作直线垂直于l，垂足分别为A，B，由B可知A（-p2，y1），B（-p2，y2），作AB的中点N，MAMB，|MN|=12|AB|，由定义可知|AB|AF|+|BF|AA|+

18、|BB|，|MN|=12（|AA|+|BB|），M为AB的中点，A，M，B三点的纵坐标成等差数列，故选项C正确；对于选项D：设M（-p2，y0），直线MF的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则k1=y0-p2-p2=-y0p，由B可知k2=y1-y2x1-x2=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2，由C可知y1+y22y0，k2=2py1+y2=py0，k1k2=-y0ppy0=-1，MFAB，又MAMB，|AM|BM|MF|AB|，且|MF|2|AF|BF|，由基本不等式可得|AM|BM|MF|AB|（|AF|+|BF|）|AF|BF|2|AF|BF|，故选项D正确故选：ACD（

19、多选）12（5分）在四面体ABCD中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m，则（）A当ABADm时，ACBDB当ABCDm时，四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)2Cm的取值范围为(0，2)D四面体ABCD体积的最大值为312【解答】解：当ABADm时，可知ABD与BCD为等腰三角形，取BD中点E，ABAD，BCCD，AEBD，CEBD，AEECE，BD平面AEC，可得ACBD，故A正确；当ABCDm时，可知四面体ABCD的所有对棱相等，将四面体ABCD补为长方体，其中四面体ABCD的各条棱为该长方体各面的对角线，四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别

20、为x，y，z，则x2+y21，y2+z21，x2+z2m2，外接球的半径为R=12x2+y2+z2=12m2+22=142m2+4，四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)2，故B正确；当ABADm时，取BD的中点E，则AE=m2-14，CE=32，AC1，则在ACE中，由三角形性质可得m2-14+321，m2-14-321，解得：2-3m2+3；当ABCDm时，取CD的中点F，则AFBF=1-m24，则在ABF中由三角形性质可知21-m24m，0m2综上可得，0m2+3，故C错误；当ABADm时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，即AC平面BCD，此时四面体ABCD体

21、积的最大值为312；当ABCDm时，由（3）可知此时AF=BF=1-m24，则ABF的面积为12m1-m22，四面体ABCD的体积为16m21-m22=16m4(2-m2)2，设f（x）x4（2x2），f（x）2x3（43x2），当x（0，233）时，f（x）0，当x（233，2）时，f（x）0，当x=233时，f（x）的最大值为3227，四面体ABCD体积的最大值为2327，又3122327，四面体ABCD体积的最大值为312，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是 15（用数字作答）【解答】解：(x+1x2)6展开

22、式的通项Tk+1=C6kx6-k(1x2)k=C6kx6-3k，令63k0，解得k2，所以常数项是C62=15故答案为：1514（5分）记Sn为等比数列an的前n项和，若a3a13，a4a26，则S531【解答】解：因为等比数列an中，a3a13，a4a2（a3a1）q6，所以q2，则a3a14a1a13，所以a11，则S5=1-251-2=31故答案为：3115（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）2f（x+2），当x（0，2时，f（x）4x（2x），若方程f（x）a在区间(112，+)内有实数解，则实数a的取值范围为 0，34)【解答】解：因为f（x）2f（x+2），所以f（x

23、2）2f（x），f（x）=12f（x2），又因为当x（0，2时，f（x）4x（2x），所以当x（2，4时，x2（0，2，所以f（x）=12f（x2）=124（x2）（4x）2（x2）（4x），当x（4，6时，x2（2，4，所以f（x）=12f（x2）（x4）（6x），所以f（112）（112-4）（6-112）=34，作出函数f（x）的部分图象，如图所示：又因为方程f（x）a在区间(112，+)内有实数解，即ya与yf（x）的图象在(112，+)内有交点，结合图象可知a0，34）故答案为：0，34）16（5分）已知线段AB是圆C：（x1）2+（y1）24上的一条动弦，且|AB|=23，设点O为

24、坐标原点，则|OA+OB|的最大值为 22+2；如果直线l1：xmy3m+10与l2：mx+y+3m+10相交于点M，则MAMB的最小值为 6-42【解答】解：设D为AB中点，则|CD|1，点D的轨迹方程为（x1）2+（y1）21，|OA+OB|=2|OD|，则最大值为22+2；又直线l1：xmy3m+10与l2：mx+y+3m+10，l1l2，且l1过定点（1，3），l2过定点（3，1），点M的轨迹为（x+2）2+（y+2）22，MAMB=(MD+DA)(MD+DB)=(MD+DA)(MD-DA)=MD2-DA2，MAMB=|MD|2-3，又|MD|(1+2)2+(1+2)2-1-2=22-

25、1，MAMB=|MD|2-3(22-1)2-3=6-42，MAMB的最小值为6-42故答案为：22+2；6-42四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an满足a1=1，an+1=anan+1(nN*)（1）证明：数列1an是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设bnanan+1，求数列bn的前n项和Tn【解答】（1）证明：依题意，由an+1=anan+1两边取倒数，可得1an+1=an+1an=1an+1，即1an+1-1an=1，1a1=1，数列1an是以1为首项，1为公差的等差数列，1an=1+1（n1）n，an=1n，nN*

26、（2）解：由（1）可得，bnanan+1=1n1n+1=1n-1n+1，则Tnb1+b2+bn1-12+12-13+1n-1n+11-1n+1=nn+118（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+12a=c（1）求B；（2）若c2a，且b=33，求ABC的面积【解答】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC和bcosA+12a=c，可得sinBcosA+12sinA=sinC，又sinCsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA，sinBcosA+12sinA=sinC=sinAcosB+sinBcosA，12sinA=sinAcosBA（

27、0，），sinA0，cosB=12，0B，B=3（2）记ABC的面积为S，由余弦定理b2a2+c22accosB，及B=3，b33可得a2+c2ac27，将c2a代入上式，得a29，故a3，c6，S=12acsinB=93219（12分）如图，已知三棱锥PABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，PAC是边长为2的正三角形，且平面PBC平面PAC（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）若BC=23，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF平面PAC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值【解答】解：（1）证明：取PC的中点D，PAC为等边三角形，AD

28、PC，平面PBC平面PAC，平面PBC平面PACPC，AD平面PBC，BC平面PBC，BCAD，AB为圆O的直径，BCAC，又ACADA，BC平面PAC，BC平面ABC，平面PAC平面ABC（2）（法一）由三角形中位线的性质可知EOAP，又EO平面PAC，AP平面PAC，EO平面PAC，EF平面PAC，EOEFE，平面EOF平面PAC，平面EOF平面AFBCFO，平面PAC平面AFBCAC，FOAC，由题可知BC=23，AB=4，取AC中点M连接PM，则PMAC，平面PAC平面AFBCAC，由（1）可知PM平面ABC，如图1建立空间直角坐标系，P(0，0，3)，A(1，0，0)，B(-1，23

29、，0)，E(-12，3，32)，F(2，3，0)，BF=(3，-3，0)，EF=(52，0，-32)，设平面BEF的一个法向量m=(x，y，z)，则3x-3y=0，5x-3z=0，令x=3，则y3，z5，m=(3，3，5)，由（1）可知平面ABC的一个法向量n=(0，0，1)，设平面BEF与平面ABC的夹角为，则cos=mn|mn|=537=53737，平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为53737（法二）如图2，由三角形中位线的性质可知EOAP，又EO平面PAC，AP平面PAC，EO平面PAC，EF平面PAC，EOEFE，平面EOF平面PAC，平面EOF平面AFBCFO，平面PAC平面AF

30、BCAC，FOAC，由题可知BC=23，AB=4，取AC中点M连接PM，则PMAC，平面PAC平面AFBCAC，由（1）可知PM平面ABC，连接BM，过点E作EHPM，H为BM的中点，且EH平面ABC，BF平面ABC，EHBF，过点H作HNBF，垂足为N，连接EN，EHHNH，BF平面ENH，ENBF，则ENH为平面EFB与平面ABC的夹角，在BHF中，FH=52，BFH=6，HN=FHsin6=54，EH=12PM=32，由勾股定理可得EN=374，cosENH=54374=53737，平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5373720（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒

31、内摸球规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：红球蓝球白球A盒221B盒221（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）【解答】解：（1）记“在一轮游戏中

32、甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，根据条件概率可知P(C)=15C22C62=175，故在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为175（2）（i）X的可能取值为1，3，5，对应概率分别为：P(X=5)=25C32C62+25C22C62+15C22C62=325，P(X=3)=25C31C31C62+25C21C41C62+15C21C41C62=1425，P(X=1)=25C32C62+25C42C62+15C42C62=825，故X的分布列为：X135P825 1425 325 （ii）由（i）中分布列可知：E(X)=5325+31425+1825=135，甲共参

33、加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，每轮游戏的结果相互独立，根据期望的性质公式可知E（Y）5E（X）1321（12分）已知f（x）axe2x（aR）（1）当a0时，讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）2xlnx0恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）a（e2x+xe2x2）a（2x+1）e2x，当a0时，由f（x）0，解得x-12，由f（x）0，解得x-12，当a0时，由f（x）0，解得x-12，由f（x）0，解得x-12，当a0时，f（x）的单调增区间为(-12，+)，单调减区间为(-，-12)，当a0时，f（x）的单调增区间为(-，-12)，单调减区间为(

34、-12，+)（2）由f（x）2xlnx0，得axe2x2xlnx0，令g（x）axe2x2xlnx，则g(x)=a(1+2x)e2x-2-1x=(1+2x)(axe2x-1)x，当a0时，g（1）ae220不满足条件，a0不成立，当a0时，令k（x）axe2x1，k（x）a（1+2x）e2x0，当x0+时，k(x)-1，k(1a)=e2a-10，x0(0，1a)，使得k（x0）0，即ax0e2x0=1，当x（0，x0）时，k（x）0，当x（x0，+）时，k（x）0，g（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，+）上单调递增，当xx0时，g（x）取得最小值g（x0），由ax0e2x0=1

35、，取对数得lna+lnx0+2x00，则g(x0)=ax0e2x0-2x0-lnx0=1+lna，要使不等式恒成立，需1+lna0，解得a1e，实数a的取值范围是1e，+）22（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1（1）求C的方程；（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围【解答】解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，由题可知C的一条渐近线方程为bxay0，右

36、焦点为（c，0），右焦点到渐近线的距离d=|bc|b2+a2=b1，由离心率e=ca=2，有a2+b2a=2，解得a1，双曲线C的方程为x2y21（2）设直线l的方程：xty+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由x2-y2=1x=ty+3（t21）y2+6ty+80，因为直线l与双曲线C的右支交于两点，（6t）24（t21）84t2+320恒成立，还需y1y2=8t2-10t2-10，解得1t1，A点坐标为（1，0），kAPkAQ=y1x1+1y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)=y1y2t2y1y2+4t(y1+y2)+16，将y1+y2=-6tt2-1，y1y2=8t2

37、-1代入，得kAPkAQ=8t2-1t28t2-1+4t-6tt2-1+16=88t2-24t2+16t2-16=-12，设AP：xm1y1，AQ：xm2y1，且|m1|1，|m2|1，1m11m2=-12，即m1m22，故|m1|m2|2，|m2|=2|m1|1，1|m1|2，由x2-y2=1x=m1y-1(m12-1)y2-2m1y=0，yP=2m1m12-1，同理可得yQ=2m2m22-1，由x2+y2=1x=m1y-1(m12+1)y2-2m1y=0，yM=2m1m12+1，同理可得yN=2m2m22+1，SAPQSAMN=12|AQ|AP|sinQAP12|AN|AM|sinQAP=

38、|AQ|AP|AN|AM|=yQyPyNyM=2m2m22-12m1m12-12m2m22+12m1m12+1=(m12+1)(m21+1)(m12-1)(m22-1) =m12m22+m12+m22+1m12m22-m12-m22+1=5+(m12+m22)5-(m12+m22)，令t=m12+m22，由|m1|m2|2，1|m1|2，得t=m12+4m12，t4，5），SAPQSAMN=5+t5-t=10-t+5-1，t4，5），令f（t）=10-t+5-1，t4，5），f（t）在区间4，5）上为增函数，所以f（t）的取值范围为9，+），S1S2=SMNPQSAMN=SAPQ-SAMNSAMN，S1S2的取值范围为8，+）第20页（共20页）