2025届湖南长沙新高三8月摸底考试数学模拟试题+答案

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1、 答案第 1 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 湖南省湖南省长沙长沙市市 2022025 5 届届新新高三高三 8 8 月月摸底考试数摸底考试数学学模拟试题模拟试题 一、单选题一、单选题 1已知集合2log3Axx=Bcba Ccab Dbca 5已知椭圆22221(0)xyabab+=及圆 O：222xya+=，如图，过点(0,)Ba与椭圆相切的直线 l交圆 O于点A，若060AOB=，则椭圆离心率的为（）A33 B12 C32 D13 6已知m，Rn，且有222mnm n+=，则12m nmn+的最小值是（）A6 B7 C8 D9 7若函数()226

2、22,1,1axaxaxf xxx+=是R上的单调函数，则a的取值范围是（）A)1,3 B()3,+C()1,2 D1,2 答案第 2 页，共 18 页 8已知函数()sinf xx=，若存在12,mx xx满足1204mxxx，则971xx+C若“1,2x ，230 xax+”是真命题，则122a的一条渐近线方程为20 xy=，焦点到渐近线的距离为 1(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为12的直线l与双曲线C交于x轴上方的,A B两点，O为坐标原点，直线,OA OB的斜率之积为答案第 4 页，共 18 页 18，求OAB的面积 18在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹

3、，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得1分，其概率为13，获得2分，其概率为23.最多进行20轮答题，某同学累计得分为20分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.(1)当进行完3轮答题后，甲同学总分为Y，求Y的分布列及()E Y；(2)若累计得分为m的概率为mP，（初始得分为0分，01p=）求1mmPP的表达式(*019,Nmm).求获得亚军的概率.19已知函数()()21ln112f xa xxax=+()1当1a=时，求函数()f x的单调增区间；()2若函数()f x在()0,+上是增函数，求实数 a 的取

4、值范围；()3若0a，且对任意1x，()20,x+，12xx，都有()()12122f xf xxx，求实数 a 的最小值 参考答案：参考答案：1D【分析】解对数不等式求出08Axx=，进而求出交集.【详解】2log3x，解得08x，故08Axx=，因为31,NBx xkk=，所以2,5AB=.故选：D 答案第 5 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2C【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数z，即可得到其共轭复数；【详解】解：()1 ii3z+=，()()()()2i3 1 ii3ii33i24i12i1 i1 i 1 i22z+=+，12iz=故选

5、：C 3B【分析】先利用等差数列的性质求得2a，进而求得公差d，从而求得5S得解.【详解】因为 na是等差数列，设其公差为d，因为31232318Saaaa=+=，则26a=，所以4222daa=，则1d=，所以59a=，5345188935SSaa=+=+=.故选：B.4A【分析】利用对指函数的单调性求解.【详解】1212 12a=，2221log2log3log 212b=，10ln2lne2c=，所以abc .故选：A.5A【分析】由条件列出,a c的齐次方程，由此可求椭圆离心率的值.【详解】由题意得AOB是等边三角形，则直线l的倾斜角为30，其斜率为33，故直线l的方程为33yxa=+

6、，代入椭圆方程整理得22232212 3033baxa xa c+=，其判别式2322222 31=4033abaa c+=，化简可得4224340ca ca+=，则423410ee+=，又01emn，利用基本不等式知222 222 2+=mnmnm n，又222mnm n+=，()222 224 224+m nm nm nm nm n，即2mn+，当且仅当1mn=时等号成立 由不等式的同向可加性知：2122 127m nmn+=故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，解答本题的关键是利用基本不等式转化已知条件得到24m n+，即2mn+，考查学生的逻辑推理能力与数

7、学运算能力，属于基础题.7D【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减，建立不等关系解出即可.【详解】因为函数()f x在R上单调，由222yxaxa=+在上(,1不可能单调递增，则函数()f x在R上不可能单调递增，故()yf x=在 R 上单调递减，所以2612601 221aaaaa+，解得12a，所以a的取值范围是1,2.故选：D.8B【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意ix，(jx i，1j=，2，3，)m，都有maxmin|()()|()()2ijf xf xf xf x=，要使m取得最小值，尽可能多让(1ix i=，2，3，)m取得最值点，然后作图可得满足条件的最小m值【详解】因

8、为()sinf xx=对任意(),1,2,3,ijx xi jm=，都有()()maxmin()()2ijf xf xf xf x=，要使m取得最小值，应尽可能多让()1,2,3,ix im=取得最值点，考虑1204mxxx，所以10 x，则()999112112 3 17111xxxxxx+=+=+=（当且仅当4x=时，等号成立），故选项 B 正确；对于选项 C：由题意可得4230130aa+，解得：122a的两条相邻对称轴距离为2.11 2222T=，2=.()sin(2)f xx=+.1(0)2f=，1(0)sin2f=，又|2，则6=.()sin(2)6f xx=+.选项 A 正确；选

9、项 B：由2(Z)6xkk+=，可得函数()f x对称中心的横坐标：()6Z2212kkxk=.当0k=时，对称中心为(,0)12.B 正确；选项 C：当6x时，223x，22266x+，所以cos3sinBB=，所以3tan3B=，因为()0,B，所以6B=（2）因为2 3BC=，1BD=，6B=，根据余弦定理得 22232cos1 122 1 2 372CDBCBDBC BDB=+=+=，7CD=2BDCA=+，sinsincos2BDCAA=+=在BDC中，由正弦定理知，sinsinBCCDBDCB=，2 371cos2A=，答案第 11 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 学

10、科网（北京）股份有限公司 21cos7A=，0,2A，所以2 7sin7A=sin2 3tancos3ACDAAAC=，212AC=16(1)证明见解析(2)2 1717 【分析】（1）几何法：作CEAB交AB于点E，1EFBB交1AB于点F，连接DF，利用勾股定理和相似比可得四边形EFDC是平行四边形，所以DFCE，再根据面面垂直的性质定理和判断定理即可证明；向量法：利用勾股定理和线面垂直的性质定理可得1,AC BC CC两两垂直，以点C为原点，以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）由直三棱柱体积可得1132CC=，利用勾股定理和线

11、面垂直的性质定理可得1,AC BC CC两两垂直，以点C为原点，以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，分别求平面1AB D和平面1BB D的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）方法一（几何法）:如图，作CEAB交AB于点E，1EFBB交1AB于点F，连接DF，因为2,3,13ACBCAB=，所以22222223(13)ACBCAB+=+=，所以ACBC，所以由等面积可得2 36 131313AC BCCEAB=，由勾股定理得22226 134 1321313AEACCE=，答案第 12 页，共 18 页 所以114 134131313EFAECDBBAB

12、CC=，所以EFCD=，又1EFBB，1CDBB，所以EFCD，所以四边形EFDC是平行四边形，所以DFCE，因为直三棱柱平面ABC平面11ABB A，平面ABC平面11,ABB AAB CEAB=，所以CE 平面11ABB A，所以DF平面11ABB A，又DF 平面1AB D，所以平面1AB D 平面11ABB A.方法二（向量法）：因为2,3,13ACBCAB=，所以22222223(13)ACBCAB+=+=，所以ACBC，由题知1CC 平面ABC，又,AC BC 平面ABC，所以1,AC BC CC两两垂直，以点C为原点，以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示的

13、空间直角坐标系，设1(0)CCa a=，则()()()1142,0,0,2,0,0,3,0,0,13aAAaBaD，所以()()1142,3,2,0,0,0,13aABaADAAa=，设平面1AB D的法向量为()111,mx y z=，则11111123042013m ABxyazam ADxz=+=+=，答案第 13 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 令113z=，得平面1AB D的一个法向量为()2,3,13maa=，设平面11ABB A的法向量为()222,xny z=，则1222122300n ABxyazn AAaz=+=，令23x=得平面1

14、1ABB A的一个法向量为()3,2,0n=，因为6600m naa=+=，所以mn，平面1AB D 平面11ABB A.（2）因为直三棱柱111ABCABC的体积为392，所以11392 322CC =，解得1132CC=，所以192,2CDC D=，由题知1CC 平面ABC，又,AC BC 平面ABC，所以1,AC BC CC两两垂直，以点C为原点，以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()1132,0,0,0,3,0,0,22ABD，所以()1132,3,2,0,22ABAD=，设平面1AB D的法向量为()333,uxy z=，则13333

15、3132302220u ABxyzu ADxz=+=+=，令32z=，得平面1AB D的一个法向量为()2,3,2u=，答案第 14 页，共 18 页 易知平面1BB D的一个法向量为()1,0,0v=设二面角1AB DB的大小为，则()()2,3,21,0,02 17cos1717 1u vu v=，易知为锐角，所以二面角1AB DB的余弦值为2 1717.17(1)2212xy=，62e=；(2)2 3.【分析】（1）根据点到直线距离公式求出3c=，再根据渐近线方程及223ab+=，求出2a=，1b=，得到双曲线方程；（2）设出直线l：()102yxt t=+，与双曲线方程联立，得到两根之

16、和，两根之积，根据直线OA，OB的斜率之积为18，列出方程，得到1t=，得到直线方程，数形结合得到OAB的面积.【详解】（1）双曲线C的焦点(,0)c到渐近线20 xy=的距离为13c=，则3c=，由一条渐近线方程为20 xy=，得22ba=，而223ab+=，解得2a=，1b=，所以双曲线C的标准方程为2212xy=，离心率62cea.（2）依题意，设直线l：1(0)2yxt t=+，1122(,),(,)A x yB xy，由221212yxtxy=+=消去 y并整理得2244(1)0 xtxt+=，显然221616(1)0tt=+，则124xxt+=，122)4(1xtx+=，由1212

17、121211()()22OAOBxtxtyykkxxx x+=2212212()(4)11122444(1)8ttxxtttx xt+=+=+=+，而0t，解得1t=，于是124xx+=，128x x=，直线l：112yx=+交 y 轴于(0,1)D，又2121212|3|(164)432xxxxx x=+=+=，所以OAB的面积为1211|1 4 32 322SODxx=.答案第 15 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18(1)分布列见解析，()5E Y=(2)12()(1,2,3,19)3mmmPPm=；获得亚军的概率为20221()53 【分析】

18、（1）利用二项分布，来求概率即可；（2）利用递推思想，也就是要分析累计得m分，可能是上一次累计得2m分，再得 2 分，也可能是上一次累计得1m分，再得 1 分，然后计算相应的概率即可得到递推关系；有了递推关系和首项，就可以用数列中的累加思想求通项，然后求出20P的值即可表示得冠军的概率，而两人争夺冠亚军是对立事件，所以利用对立事件概率求法即可解决问题.【详解】（1）设进行完3轮答题时，得1分的次数为X，1(3,)3XB.()3312C33kkkP Xk=，0,1,2,3k=，随机变量Y表示甲同学的总分，其可能取值为3，4，5，6，()()303312133C3327P YP X=，()()32

19、121242C3392P YP X=，()()112312451C339P YP X=，()()30031260C33782P YP X=所以Y的分布列为：Y 3 4 5 6 P 127 29 49 827 答案第 16 页，共 18 页()124834565279927E Y=+=（2）当1m=时，即累计得分为1分，是第一轮抢答得1分，113P=，则1012133PP=，累计得分为m分的情况分两种：（i）()22mm=+，即累计得分为2m分，又一轮抢答得2分，其概率为223mP.（ii）()11mm=+，即累计得分为1m分，又一轮抢答得1分，其概率为113mP.则()21212,3,1933

20、mmmPPPm=+=，所以()11223mmmmPPPP=()2,3,19m=.所以数列()11,2,319mmPPm=是首项为23，公比为23的等比数列.所以()112221,2,3,19333mmmmPPm=.由得1023PP=，22123PP=，()121,2,3,193mmmPPm=，各式累加得：202213322222123335313mmmmPP=+=.而01P=，所以2223221553553mmmP=+=+.所以获得冠军的概率：20202032232 255355 3P=+=+.所以获得亚军的概率为：2020202032 222 22211155 355 353P=+=.19（

21、1）()1,+（2）)0,+（3）32 2【分析】()1把1a=代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于 0 求函数()f x的单调增区间；()2求原函数的导函数()()()()2111xaxaxxaafxxaxxx+=+=，由函数()f x在()0,+上是增函数，说明其导函数在()0,+上大于等于0 恒成立，在导函数中x与()1x+恒大于0，只需0 xa+对()0,x+恒成立，则 a 可求；答案第 17 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司()3由()2知，当0a 时()f x在()0,+上是增函数，任取1x，()20,x+，且规定12xx，则不等式()(

22、)12122f xf xxx可转化为()()112222f xxf xx恒成立，引入函数()()2g xf xx=，说明该函数为增函数，则其导函数在()0,+上大于等于 0 恒成立，分离变量后利用基本不等式可求 a 的最小值【详解】解：()1当1a=时，()21ln12f xxx=+则()1.fxxx=+令()0fx，得10 xx+，即210 xx，解得：0 x 因为函数的定义域为0 x x，所以函数()f x的单调增区间为()1,+()2由函数()()21ln112f xa xxax=+因为函数()f x在()0,+上是增函数，所以()()()()21110 xaxaxxaafxxaxxx+

23、=+=对()0,x+恒成立.即0 xa+对()0,x+恒成立 所以0.a 即实数 a 的取值范围是)0,+()3因为0a，由()2知函数()f x在()0,+上是增函数 因为1x，()20,x+，12xx，不妨设12xx，所以()()12.f xf x 由()()12122f xf xxx恒成立，可得()()()12122f xf xxx，即()()112222f xxf xx恒成立 令()()()212ln1122g xf xxa xxaxx=+，则()g x在()0,+上应是增函数.所以()()()21120 xaxaagxxaxx+=+=对()0,x+恒成立 即()210 xaxa+对()0,x+恒成立 即21xxax+对()0,x+恒成立 答案第 18 页，共 18 页 因为221332 2(11xxxxx=+当且仅当211xx+=+即21x=时取等号)，所以32 2a 所以实数 a 的最小值为32 2