第1章《一元二次方程》-2024-2025学年九年级上册数学单元测试卷（苏科版）

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1、2024-2025学年九年级上册数学单元测试卷第1章一元二次方程一、单项选择题（一共8个小题，每题3分，共24分）1下列方程中，关于x的一元二次方程是（）ABCD2若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（）Ax2-12x+5=0Bx2-5x+6=0Cx2-6x-5=0Dx2-6x+5=03某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，设该商品平均每次降价的百分率为x（x0），则（）A9（1-x）2=25B25（1-x）2=9C9（1+x）2=25D25（1+x）2=94方程x2+3x-5=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根

2、D无法确定是否有实数根5方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得的方程为（）A（x+3）2=14B（x-3）2=14C（x+6）2=41D（x-6）2=416若（a2+b2）2+5a2+5b2=6，则a2+b2的值是（）A-6B1C1或-6D1或67已知和是方程的两个根，则的值为（）AB2021CD20238使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（）A35B30C26D21二、填空题（一共10个小题，每题3分，满分30分）9方程的根是10已知a、b是方程的两根，则11若等腰的一边长，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为12方

3、程的两个实数根互为相反数，则的值是13某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为元/件14某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为15已知为实数，若，那么的值为16如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于17年月日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门口岸五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日

4、两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸18如图，过点作，延长到，使，连接若，则（结果保留根号）三、解答题（一共10题，满分86分）19解方程（1）（2）（3）（配方法）（4）20先化简，再求值，其中为方程的根21若，是方程的两实数根，求下列各式的值（1）；（2）；（3）22已知关于的方程有两个不相等的实数根（1）求n的取值范围；（2）若方程的一个根为4，求方

5、程的另一根23如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为，求纸盒的体积24某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？25在国家的调控下某市商品房成交价由今年8月份的50000元下降到10月份的40500元（1）同89两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破3

6、0000元/？请说明理由26如图，矩形中，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？27阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得（

7、1）解下列方程：（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值28某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二

8、，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求a的值参考答案一、单选题（一共8个小题，每题3分，共24分）1C【分析】根据一元二次方程的定义解答即可。【详解】解：A该方程化简后为6x=-1，是一元一次方程，不符合题意；B当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；C该方程化简后为x2+3=0，是一元二次方程，符

9、合题意；D该方程是分式方程，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键2D【分析】以，为根的一元二次方程的形式是，根据这个公式直接代入即可得到所求方程【详解】解：A、中，不符合题意；B、中，不符合题意；C、中，不符合题意；D、中，符合题意；故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，的两根分别为，则，3B【分析】根据增长率的计算方法，一元二次方程与实际问题的综合运用即可求解【详解】解：原来的每件元降到每件元，连续两次降价，

10、平均每次降价的百分率为，列方程得，故选：【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程与实际问题的综合运用是解题的关键4A【分析】根据根的判别式进行判断即可【详解】解：方程中，方程有两个不相等的实数根，故A正确故选：A【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根5A【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可【详解】解：移项得：，配方可得：，即，故选：A【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键6B【分析】

11、设，而，可得，再解一元二次方程即可【详解】解：设，或，解得：，（不符合题意舍去）；，故选B【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键7A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，由一元二次方程根的定义可得，即可求解；【详解】和是方程的两个根，故选A【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键8B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可【详解】解：整理不等式组得：

12、由得：，由得：x4不等式组有且只有4个整数解，不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，解得：，有实数根，解得：a9，方程是一元二次方程，a5，且a5，满足条件的整数有：6、7、8、9；6+7+8+9=30，故选：B【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键二、填空题（一共10个小题，每题3分，满分30分）9【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可【详解】解：，或，解得故答案为：【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的

13、关键10【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解【详解】解：a，b是方程的两根，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键11或【分析】当等腰的底边为，利用根的判别式的意义得到，求出得到后方程化为，解方程得到三角形的三边分别为、，即，过点作于，则，利用勾股定理计算出，则可计算出的面积；当等腰的腰为，把代入一元二次方程得，则方程化为，解方程得到此时三角形的三边分别为、，即，过点作于，则，利用勾股定理计算出，则可计算出的面积【详解】解：当等腰的底边为，则两腰为方程的

14、两个实数根，解得，方程化为，解得，此时三角形的三边分别为、，如图，过点作于，则，的面积；当等腰的腰为，把代入方程得，解得，方程化为，解得，此时三角形的三边分别为、，如图，过点作于，则，的面积；综上所述，的面积为或故答案为：或【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质12【分析】设方程的两根分别为，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定【详解】解：设方程的两根分别为，方程的两个实数根互为相反数，解得，当，方程变为：，方程没有实数根，所以舍去；当

15、，方程变为：，方程有两个不相等的实数根；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程（为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，则；也考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根13【分析】设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，根据题意，列方程求解即可【详解】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，由题意可得：解得：或（舍去）2021年此类服装的出厂价为（元）故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程149【分析】设有个球队参加比赛，那么第一个队和其他队打场球，第二个队和其他队打场，以此

16、类推可以知道共打场，然后列出方程求解【详解】解：设邀请个球队参加比赛，依题意得，即，或（不合题意，舍去）故答案为：9【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，该题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解152或3【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可【详解】解：，,，解解，故答案为：2或3【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键162【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分

17、的面积为，解方程即可求解【详解】设，与相交于点，是正方形剪开得到的，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，两个三角形重叠部分的面积为4，解得，即移动的距离为2故答案为：2【点睛】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键17【分析】先根据已知图中路程中千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为千米，即香港口岸距西人工岛的路程千米，千米，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，千米，分别根据时间相等列方程可解决问题【详解】解：如图1，由题意得：，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，当时，两家同时到达

18、西人工岛，则，解得：，设千米，则，即，解得：，检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边，故原方程的解是，穿梭巴士的时间，答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸故答案为：【点睛】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答，注意本题的轴表示两车距人工岛的路程和，容易被忽略，本题较难18/【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，为等腰直角三角形，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，设，为等腰直角三角形，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，经检验不符合题意；故答案为：【

19、点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键三、解答题（一共10题，满分86分）19（1），（2），（3），（4），【分析】（1）方程两边同时除以，然后根据直接开平方法解一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程；（3）根据配方法解一元二次方程；（4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解【详解】（1）解：，即，解得：，（2）解：,，,解得：，;（3）解：，解得：，；（4）解：，即，或，解得：，【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键20【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的

20、解，进而代值求解即可【详解】，解方程得：或，如果已知分式有意义，必须不等于2，1，为方程的根，只能为，当时，原式【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法21（1）；（2）；（3）【分析】（1），是方程的两实数根，再利用，从而可得答案；（2）利用，再整体代入即可得到答案；（3）由，是方程的两实数根，可得，再利用，再整体代入进行计算即可【详解】（1）解：，是方程的两实数根，；（2）；（3），是方程的两实数根，【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟记根与系数的关系是解本题的关键22（1）；（2）【分析】（1）根据判别式的意义

21、得到，然后解不等式即可得到的取值范围；（2）设方程另一个根为，根据根与系数的关系得到，然后解关于的一次方程即可【详解】（1）解：根据题意得：，解得：；（2）解：设方程另一个根为，根据题意得，解得，即方程的另一根为【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义233000cm3【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，也是纸盒的高则纸盒底面的长为（402x）cm，宽为（302x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程并解答【详解】设剪去小正方形的边长是xcm，根据题意得：（302x）（402x）600解得

22、x15，x230由题可知x15，所以x5，体积：V600x60053000cm3答：纸盒的体积为3000cm3 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，其中涉及长方形的面积、长方体体积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键24台灯的售价应定为50元或80元【分析】设售价为x元，根据“销售利润=一个灯泡的利润销售灯泡的个数”，列出方程解方程即可【详解】解：设售价定为x元，由题意得60010（x40）（x30）=10000 ，整理,得x2130x+4000=0 ，解得：x1=50，x2=80 .这种台灯的售价应定为50元或80元，答：台灯的售价应定为50元或80元【点睛】本题主要考查了一

23、元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解25（1）8、9两月平均每月降价的百分率是；（2）12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元，见解析【分析】（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x，那么9月份的房价为50000（1-x），10月份的房价为50000（1-x）2，然后根据10月份的40500元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m2进行比较即可作出判断【详解】解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x，根据题意得：解得：（不合题意，舍去）答：8、9两月平均每月降价的百分率是（2）不会跌

24、破30000元12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键26（1）经过秒四边形是菱形；（2）经过2秒、秒、秒时为直角三角形【分析】（1）根据矩形性质可得，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形，只需，四边形是菱形，设经过x秒四边形是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解；（2）由分为两种情况讨论：对，过Q作于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对，则，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解【详解】解：（1）由题可知,由于P、Q两点速度大

25、小相同，是平行四边形，当时，四边形是菱形；设经过了x秒四边形是菱形，则有：，由勾股定理得：解得：故经过秒四边形是菱形；（2）P、A两点不重合为直角三角形有两种情况：当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示，则有：，解得：，；当时，所以，解得；综上可知：经过2秒、秒、秒时为直角三角形【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）根据领边相等建立一元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键27（1），；（2）【分析】（1）结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案方程两

26、边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案；（2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分和两种情况，当时，根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到y的取值范围；当时，结合一元一次方程的性质分析，即可得到答案【详解】（1），即，（舍去）的解为：（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，当时，x为实数且；当时，得：，方程有解（x的值存在）；【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解28（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50.【分析】（1）设该小区有x套

27、80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；（2）50平方米住宅有50040%=200户参与活动一，80平方米住宅有25020%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1- a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1-a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可.【详解】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.由题意得知：解得答：该小区有250套80平方米住宅.（2）参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一；80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；由题意得：令.化简得：.解得：（舍去），（舍去）答：的值为50.【点睛】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键。