浙江省宁波市重点中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷（含答案解析）

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1、 2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷一、单选题1. 已知函数在R上单调递增，则a取值范围是（）AB. C. D. 2. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个4. 已知，且，则下列不等式中恒成立是（）A. B. C. D. 5. 已知集合，定义集合，则中元素的个数为A 77B. 49C. 45D. 30二、多选题6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名

2、命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A. B. 函数是偶函数C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立D. 存在三个点，使得ABC为等边三角形7. 已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B. C. 函数是偶函数D. 函数是减函数三、填空题8. ，则的最小值为_.9. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要

3、支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_四、解答题10. 已知集合，集合（1）当时，求和；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围参考答案一、单选题1. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.2. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【

4、解析】【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件故选：B3. 已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（）A0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】B【解析】【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验.【详解】由题意若不等式在上恒成立，则必须满足，即，由，两式相加得，再由，两式相加得，结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得，经检验，当，时，有，满足在上恒成立，综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.故

5、选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.4. 已知，且，则下列不等式中恒成立是（）A. B. CD. 【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果【详解】解：已知，且，所以，则，故错误利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，且，所以：，故正确，故错误由于，且，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立故错误故选：【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项

6、之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5. 已知集合，定义集合，则中元素的个数为A. 77B. 49C. 45D. 30【答案】C【解析】【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个考点：1集合的相关知识，2新定义题型二、多选题6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其

7、名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A. B. 函数是偶函数C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立D. 存在三个点，使得ABC为等边三角形【答案】ABCD【解析】【分析】依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案.【详解】，正确；，偶函数，正确；，正确；易知三点构成等边三角形，正确；故选：【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.7. 已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B. C. 函数是偶函数D. 函数是减函数【答案】ABD【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；

8、对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数性质，代入，即可得.【详解】令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；令，则有，即，故函数是奇函数，有，即，即函数是减函数，令，有，故B正确、C错误、D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到.三、填空题8. ，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据条件等式可设，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.【详解】，则，即，设，则，其中是辅助角，且，当时，原式取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查条件等式求

9、最值，解题的关键是设，利用三角恒等变换化简可求出.9. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】 . 130. . 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大

10、值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.四、解答题10. 已知集合，集合（1）当时，求和；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】（1）或，；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出；(2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）由题可知，当时，则，或，则，所以.（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，当时，解得：；当时，或，解得：或；综上所得：或.【点睛】结论点睛：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含