苏教版2019版高考数学复习:选择性必修第一册全册知识点清单
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1、选择性必修第一册全册知识点清单第一章直线与方程1. 1直线的斜率与倾斜角一、直线的斜率1. 对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1x2,那么直线l的斜率k=y2-y1x2-x1 (x1x2). 如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在. 二、直线的倾斜角1. 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时,所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角. 2. 规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. 因此,直线的倾斜角的取值范围是|0. 三、直线的斜率与倾斜角的对应关系1. 当直线与x轴不垂直时,该直线的斜率k与倾斜角之间的关系为
2、k=tan 2. 四、倾斜角和斜率的关系及其应用1. 当直线l的倾斜角0,2时,k0,且越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角2,时,k0,且越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角=2时,它的斜率不存在. k=tan 00)叫作以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程. 特别地,当a=b=0时,方程为x2+y2=r2(r0),表示以原点为圆心,r为半径的圆. 2. 圆的一般方程方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)叫作圆的一般方程,化为标准形式为x+D22+y+E22=D2+E2-4F4,表示以点-D2,-E2为圆心, D2+E2-4F2为半径的圆. 当D2+E2-4F=0时,
3、方程表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),设所给点为M(x0,y0),则点与圆的位置关系如下表:位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MC=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2(或x02+y02+Dx0+Ey0+F=0)点在圆内MCr(x0-a)2+(y0-b)2r2(或x02+y02+Dx0+Ey0+Fr(x0-a)2+(y0-b)2r2(或x02+y02+Dx0+Ey0+F0)四、圆的方程的求解1. 直接代入法确定圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程即可,确定圆心坐标和半径的方法:(1)利用条件确定圆心C(a,b)
4、及半径r. (2)利用几何性质确定圆心C(a,b)及半径r,常用的几何性质如下:圆心与切点的连线垂直于圆的切线;圆心到切线的距离等于圆的半径r;圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;圆的弦的垂直平分线过圆心;已知圆心所在的直线l及圆上两点,则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l的交点为圆心. 2. 待定系数法(1)根据题意,设出所求圆的标准方程或一般方程;(2)根据已知条件,建立关于参数的方程组;(3)解方程组,求出参数的值;(4)将参数代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程. 五、与圆有关的轨迹问题1. 求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:根据已知
5、条件,先抽象出动点间的几何关系,再利用解析几何的有关公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式. (2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,则可先设方程,再确定其中的基本量,进而求出动点的轨迹方程. (3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点坐标所满足的条件即可求得动点的轨迹方程. 六、求与圆的方程有关的实际问题1. 建立平面直角坐标系的一般原则(1)原点取在某一定点处,坐标轴
6、为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴;(2)尽量充分利用图形的对称性;(3)设出各点的坐标,使未知参数尽量少. 2. 用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤(1)审题:认真审题,明确题意,从题目中抽象出几何模型,明确题中已知和待求的数据(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,通过点的左边及已知条件,求出几何模型的方程(3)求解:利用直线、圆的性质等有关知识求解(4)还原:将运算结果还原为对实际问题的解释2. 2直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 设直线l和圆M的方程分别为Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0. 如果直线l与圆M有公共点,那么公共点的坐标一定是这两个
7、方程的公共解;反之,如果这两个方程有公共解,那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆M的公共点. 2. 直线l与圆M的方程联立,得方程组Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0,有如下结论:方程组解的情况无解仅有一组解有两组不同的解直线与圆公共点的情况没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点直线与圆的位置关系相离相切相交二、直线与圆的位置关系的判断1. 代数法:通过联立直线与圆的方程组成方程组,根据方程组解的组数来判断,若有两组不同的实数解,即0,则直线与圆相交;若有两组相同的实数解,即=0,则直线与圆相切;若无实数解,即0,则直线与圆相离. 2. 几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的
8、大小关系来判断,当dr时,直线与圆相离. 3. 定点法:若直线恒过定点且定点在圆内,则直线与圆相交. 该法有一定的局限性,若定点在圆上或在圆外,则需利用代数法或几何法进行讨论. 三、倾过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法1. 过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法(1)直接法:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-1k (k0),由直线的点斜式方程可得切线方程为y-y0=-1k (x-x0). 如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0. 第 16 页 共 62 页(2)待定系数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆
9、心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即得切线方程. 注意此时切点与圆心的纵坐标不相等. 注:过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论:若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上,则过点P的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0. 2. 过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法通常用待定系数法,
10、其求法同1中的待定系数法. 当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条. 一般不用联立方程的方法求解k. 四、切线长的求法过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点所连线段的长称为切线长. 切线长可由勾股定理来计算. 如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的切线,则切线长为(x0-a)2+(y0-b)2-r2. 五、弦长与中点弦问题1. 直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为AB的长,则有AB22+d2=r
11、2,则AB=2. 图1图2(2)代数法:如图2所示,设直线l与圆的两个交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),将直线与圆的方程联立,消元,结合根与系数的关系,得AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 2. 中点弦问题若线段AB是圆C(a,b)的弦,D是弦AB的中点,则ABCD,若斜率kAB,kCD都存在,则kABkCD=-1;点差法:设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22,将A,B坐标分别代入圆C的方程,利用作差法得到y2-y1x2-x1=-x1+
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