2025届重庆高三上学期第一次质检数学试题+答案

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1、1.若集合1,0,1,2,3,4A=，2Bx xA=，则AB=（）A.0,1 B.1,0,1 C.0,1,2 D.1,0,1,2 2.“0 x”是“12xx+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数12xy=与12xy=的图象（）A.关于y轴对称 B.关于直线1x=对称 C.关于直线1x=对称 D.关于直线2x=对称 4.若函数()21f xxax=+在)0,+上单调递减，则实数a的取值范围为（）A.)0,+B.1,2+C.)1,+D.)2,+5.已知()1cos3+=，1cos cos2=，则()cos 22=（）A.23 B.19 C

2、.19 D.13 6.薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨 Heston Blumenthal 对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图 1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.学科网（北京）股份有限公司 图 1 图 2 在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t（单位：min）满足函数关系2patbtc=+（a、b、c 是常数），图 2 记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（）A.2.25min B.2.75min C.3.2

3、5min D.3.75min 7.已知定义在R上的奇函数()f x的导函数为()fx，()10f=，当0 x 时，()()f xfxx的解集为（）A.()1,0 B.()()1,01,+C.()(),10,1 D.()()1,00,1 8.已知2ea，0b，0c，当0 x时，()()2e0 xaxxbxc+恒成立，则3acb的最小值为（）A.19 B.3e27 C.2e9 D.1 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求.全部选对得全部选对得

4、 6 分，部分选对得部分分，有选错得分，部分选对得部分分，有选错得 0 分分.9.已知0 xy，且1xy+=，则（）A.111xy+=B.11yyxx+C.444xy+D.22445xy+10.关于函数()cos sin2f xxx=，下列说法中正确的是（）A.图象关于直线4x=对称 B.图象关于直线2x=对称 C.最小正周期为2 D.最大值为4 39 学科网（北京）股份有限公司 11.若函数()323f xxxaxb=+有三个零点1x，2x，3x，则下列说法中正确的是（）A.3a B.()()()1231110fxfxfx+=C.若1x，2x，3x成等差数列，则2ab+=D.若1x，2x，3

5、x成等比数列，则327ab=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.若0 x，0y，且()25logloglgxyxy=+，则11xy+=_.13.函数()321f xxx=+的值域为_.14.若函数()elnxf xaa x=有两个零点，则实数a的取值范围为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinsinsin22cbaAbBcC=+.（1）

6、求A；（2）若ABC的面积为3，周长为 8，求a.16.（15 分）广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为 10 平方公里.自 2017 年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的 124 种增加到 213 种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的 50 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 5 个作为样区，调查得到样本数据()(),1,

7、2,5iix yi=，其中ix和iy分别表示第i个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量.i 1 2 3 4 5 ix 0.171 0.152 0.192 0.189 0.196 iy 12 10 16 14 18（1）求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,5iix yi=的相关系数（精确到 0.01）；（3）根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.学科网（北京）股份有限公司 附：相关系数()()()(

8、)12211niiinniiiixxyyrxxyy=，0.18x=，()()5522110.232iiiixxyy=.17.（15 分）已知函数()()1 lnaf xxaxx=+，aR.（1）讨论()f x的单调性；（2）当1x时，()24f xa恒成立，求a的取值范围.18.（17 分）已知F为椭圆C：()222210 xyabab+=的左焦点，椭圆C过点()2,2P，且直线PF的斜率为24.（1）求椭圆C的方程；（2）若点()11,M x y，()22,N xy在椭圆C上，且90MFN=，过M，N分别作椭圆C的切线1l，2l，1l与2l相交于点Q.（i）求点Q的轨迹方程；（ii）求PQF

9、周长的最小值.19.（17 分）已知O为坐标原点，点()11,A x y，()22,B xy分别在曲线1C：xya=（0a 且1a）和曲线2C：logayx=（0a 且1a）上，ABx轴，直线OA与直线OB关于直线yx=对称.（1）若11x=，求a；（2）证明：当12ea 时，1x的取值是唯一的.学科网（北京）股份有限公司 重庆市高重庆市高 2025 届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测 数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 D C B C C C A B ACD BCD BC 一、单项选择题：本题共一、单项选择题

10、：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.D【解析】2,3,2,1,0,1,2,3,2B=，1,0,1,2AB=，选 D.2.C【解析】若0 x 则1122xxxx+=，若12xx+则0 x，故0 x 是12xx+的充要条件，选C.3.B【解析】设()12xf x=，()12xg x=，显然()()()2122xg xfx=，故()yf x=与()yg x=的图象关于直线1x=对称，选 B.4.C【解析】()21xfxax=+，由题知()0fx在)0,+上恒成立，即21xax+在)0,+上恒成立，0 x=时，0a，0 x 时，()2210,1111xxx=+，1

11、a，故1a，选 C.5.C【解析】由1cos cossin sin3=得1sin sin6=，()2coscos cossin sin3=+=，()221cos 222139=，选 C.6.C【解析】由图 2 知4250938016470abcabcabc+=+=+=，解得20a=，130b=，130c=，故3.252bta=对，选 C.7.A【解析】0 x 即()0f xx，()()f xg xx=在(),0上单增，又()f x为奇函数，()()f xg xx=为偶函数，()g x在()0,+上单减，()()110gf=，故()()110gg=，所以1x 时()0g x，11x，当1x 时，

12、()()()()1000 xf xf xg x，x；学科网（北京）股份有限公司 当1x，若01x则()0g x，x，若0 x，10 x 时即()2e0 xaxbxcx+恒成立，设()exf xax=，()2g xxbxc=+，则()()2e1xxfxx=，()f x在()0,1上单减，在()1,+上单增，()1e0fa=，0 x 时()f x +，x +时()f x +，故()f x在()0,+上有两个零点，记为()1212,x xxx，显然1xx时()0f x，12xxx时()0f x，要使()()0f xg x恒成立，则1x，2x也是()g x的两个零点，故12bxx=+，12cx x=，

13、又1212eexxaxx=，1212exxax x+=，ebac=，33ebacbb=，令()3ebh bb=，则()()4e3bbh bb=，()h b在()0,3上单减，在()3,+上单增，()h b的最小值为()3e327h=，选 B.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求.全部选对得全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得分，部分选对得部分分，有选错得 0 分分.9.ACD【解析】显然1012yx，故11111xyxy+=+=

14、，A 正确；因为01yx+，B 错误；40 x，40y且44xy，故由均值不等式知442 44xyx y+=，C 正确；()222221444145555xyyyy+=+=+，D 正确.10.BCD【解析】()()cossin 2sin sin222fxxxxxf x=，A 错误；()()()()cos sin 22cos sin2fxxxxxf x=，正确；()()()()2cos2 sin 24cos sin2f xxxxxf x+=+=，故2是()f x的周期，设正数T为()f x的周期，则()()f xTf x+=恒成立 学科网（北京）股份有限公司()()()*0cos sin202k

15、f TfTTTk=N，()()cossin 2sin sin222fxxxxxf x+=+=，()()()()cos sin 22cos sin2f xxxxxf x+=+=，()()33cossin 23sin sin222fxxxxxf x+=+=，故2为()f x的最小正周期，C 正确；()f x周期为2且()f x的图象关于2x=对称，故()f x的最大值即()f x在,2 2上的最大值，()()22cos1 3sinfxxx=，设003sin032xx=，即3a，A 错误；()()()()123f xxxxxxx=，则()()()()()()()23123fxxxxxxxxxxx=+

16、，()()()11213fxxxxx=，同理()()()22123fxxxxx=，()()()33132fxxxxx=，()()()()()()()()()123121321233132111111fxfxfxxxxxxxxxxxxx+=+()()()()()()2331121213230 xxxxxxxxxxxx+=，正确；()()()()()32321231231213231233xxaxbxxxxxxxxxxxx xx xx xxx x x+=+1233xxx+=，121323x xx xx xa+=，123x x xb=，若1x，2x，3x成等差数列，则132xx+=，21x=，132

17、2ax xb=+=，即2ab+=，C 正确；若1x，2x，3x成等比数列，则2132x xx=，故32xb=，()()213213222233axxxx xxxxx=+=+=，327ab=，D 错误.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.学科网（北京）股份有限公司 12.1【解析】令()25logloglgxyxyt=+=，则2tx=，5ty=，10txy+=，故111012 5tttxyxyxy+=.13.)1,+【解析】()32321,1,1,1.xxxf xxxx+=+1x时()f x显然单增，故()1,f x+；1x【解析】当

18、0a=时，()()e0 xf xx=，无零点；当0a 时，()elnxf xaa x=，在()0,+上单增，()f x至多一个零点；设()exg xa=，()lnh xa x=，当0ea 时，()g x与()h x的图象大致如图 1 所示，图 1 图 2 01x时()0g x，()0h x 时，()g x与()h x的图象大致如图 2 所示，显然有两个交点，故()f x有两个零点；综上，ea.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）解：（1）由正弦定理可得：222cb

19、abbcc=+，整理得222abcbc=+2221cos222bcabcAbcbc+=，3A=（2）由1sin32ABCSbcA=可得4bc=，学科网（北京）股份有限公司()222212abcbcbc=+=+又8abc+=，()22812aa=，解得134a=.16.（15 分）解：（1）由已知得样本平均数12 10 16 14 18145y+=，从而广阳岛这种鸟数量的估计值为14 50700=.（2）0.18x=，14y=()()510.009 20.028 40.012 20.016 40.218iiixyxy=+=，故样本的相关系数0.2180.940.232r （3）分层抽样：根据植物

20、覆盖面积的大小对地块分层，再对 50 个地块进行分层抽样。理由如下：由（2）知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计.17.（15 分）解：（1）()()()22111xxaaafxxxx+=+=.若0a，0 xa，当()0,1x时，()0fx，()f x单调递增.若01a，()f x单调递增；当(),1xa时，()0fx，()f x单调递增.若1a=，()0fx，()f x在()0,+上单调递增.若

21、1a，当()0,1x时，()0fx，()f x单调递增；当()1,xa时，()0fx，()f x单调递增.（2）由（1）知：当1a时，()f x在)1,+上单调递增，故()()min11f xfa=，124aa，解得5a 51a ；学科网（北京）股份有限公司 当1a 时，()f x在()1,a上单调递减，在(),a+上单调递增，故()()()min1 ln1f xf aaaa=+()1 ln124aaaa+，即()()311 ln0aaa+，3ln0a，解得3ea，31ea，()2*logtaatt=令()2logxaf xaxx=，则()112lnlog2lnlnlnxxxaxxfxa ax

22、axaxx ax aa=+=+当01x 时，()0f x 时，令()12lnlnxxg xxx aa=+，则()()212ln1lnxgxx axaa=+若ln1a，即ea，则()0gx，从而()g x在()1,+上单调递增()()122ln1lnlnaag xgaaa a=学科网（北京）股份有限公司 令()2lnh aaa=，则()210h aa=，故()()ee20h ah=()0g x 若ln1a，即1eeea，()e0=()0k，即()0g x 综上，()1,x+时()0g x，即()0fx，从而()f x在()1,+上单调递增.又()110f=，使得()0f x=，即1x的取值是唯一的.